Convexité - Exercices Convexity - Exercises Convexidad - Ejercicios

a)

$f'(x) = 6x^2 - 10x + 1$ et $f''(x) = 12x - 10$

b)

$f'(x) = 3e^{3x}$ et $f''(x) = 9e^{3x}$

c)

$f'(x) = \ln x + 1$ et $f''(x) = \dfrac{1}{x}$

d)

$f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ et $f''(x) = \dfrac{2}{x^3}$

a)

$f''(x) = -4 < 0$.

$f$ est concave sur $\mathbb{R}$

b)

$g'(x) = -2e^{-2x} + 1$, $g''(x) = 4e^{-2x} > 0$.

$g$ est convexe sur $\mathbb{R}$

c)

$h''(x) = -\dfrac{3}{x^2} < 0$.

$h$ est concave sur $]0\,;\,+\infty[$

1)

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$, $f''(x) = 6x - 12 = 6(x - 2)$.

2)

$f$ est concave sur $]-\infty\,;\,2]$ et convexe sur $[2\,;\,+\infty[$

3)

$f''$ s'annule en changeant de signe en $2$ ; $f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3$.

Point d'inflexion $I(2\,;\,3)$

1)

$f'(x) = 4x^3 - 12x$, $f''(x) = 12x^2 - 12$.

$f''(x) = 12(x - 1)(x + 1)$

2)

$f$ est convexe sur $]-\infty\,;\,-1]$ et sur $[1\,;\,+\infty[$, concave sur $[-1\,;\,1]$

3)

$f(-1) = f(1) = 0$.

Deux points d'inflexion : $(-1\,;\,0)$ et $(1\,;\,0)$

1)

$f'(x) = e^x + (x - 2)e^x = (x - 1)e^x$ ; $f''(x) = e^x + (x - 1)e^x = x\,e^x$.

2)

$e^x > 0$ donc $f''(x)$ a le signe de $x$.

$f$ est concave sur $]-\infty\,;\,0]$ et convexe sur $[0\,;\,+\infty[$

3)

Point d'inflexion d'abscisse $0$ : $f(0) = -2$, $f'(0) = -1$.

$T : y = -x - 2$

1)

$f'(x) = 2x - \dfrac{4}{x}$ et $f''(x) = 2 + \dfrac{4}{x^2}$

2)

$f''(x) > 0$ pour tout $x > 0$.

$f$ est convexe sur $]0\,;\,+\infty[$

3)

$f(1) = 1$, $f'(1) = -2$ : $T : y = -2(x - 1) + 1 = -2x + 3$. $f$ étant convexe, sa courbe est au-dessus de ses tangentes.

$x^2 - 4\ln x \geqslant -2x + 3$ pour tout $x > 0$

1)

$f$ est convexe là où $f'$ est croissante et concave là où $f'$ est décroissante.

$f$ convexe sur $[-4\,;\,-1]$ et sur $[2\,;\,4]$, concave sur $[-1\,;\,2]$

2)

La convexité change en $-1$ et en $2$ : deux points d'inflexion, d'abscisses $-1$ et $2$

1)

$(e^x)'' = e^x > 0$ ; tangente en $0$ : $y = e^0(x - 0) + e^0$.

$y = x + 1$

2)

Une fonction convexe a sa courbe au-dessus de ses tangentes.

$e^x \geqslant x + 1$

3)

$\ln''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0$ : $\ln$ est concave ; sa tangente en $1$ est $y = x - 1$ et la courbe est en dessous.

$\ln x \leqslant x - 1$

4)

$x = 0{,}1$ dans la première inégalité, $x = 1{,}1$ dans la seconde

1)

$f''(x) = 6x + 2a$

2)

$f''$ est affine de coefficient $6 \neq 0$ : elle s'annule en changeant de signe en $-\dfrac{a}{3}$. Il faut $-\dfrac{a}{3} = 2$.

$a = -6$

3)

$f(2) = 8 - 24 + 1$.

$I(2\,;\,-15)$

1)

$C'(x) = -3x^2 + 18x + 15$ et $C''(x) = -6x + 18$

2)

$C''(x) \geqslant 0 \iff x \leqslant 3$.

$C$ est convexe sur $[0\,;\,3]$ et concave sur $[3\,;\,10]$

3)

$C(3) = -27 + 81 + 45 + 50 = 149$.

$I(3\,;\,149)$ : au-delà de $3\,000$ € de publicité, chaque euro supplémentaire rapporte de moins en moins ($C'$ diminue)