Convexité

I - Fonction convexe, fonction concave

1 - Définitions

Définition 1 : Soit $f$ une fonction, $\mathcal{C}_f$ sa courbe et $A$, $B$ deux points de $\mathcal{C}_f$. La droite $(AB)$ est appelée sécante à $\mathcal{C}_f$.

Définition 2 : Une fonction $f$ est convexe sur un intervalle $I$ lorsque, pour tous points $A$ et $B$ de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses dans $I$, le segment $[AB]$ est au-dessus de la partie de $\mathcal{C}_f$ située entre $A$ et $B$.

Exemples de fonctions convexes

$x \mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

$x \mapsto e^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

Définition 3 : Une fonction $f$ est concave sur un intervalle $I$ lorsque, pour tous points $A$ et $B$ de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses dans $I$, le segment $[AB]$ est en dessous de la partie de $\mathcal{C}_f$ située entre $A$ et $B$.

Exemples de fonctions concaves

$x \mapsto \ln x$ est concave sur $]0\,;\,+\infty[$.

$x \mapsto \sqrt{x}$ est concave sur $[0\,;\,+\infty[$.

2 - Dérivée seconde

Propriété 1 :

Une fonction dérivable sur $I$ est convexe sur $I$ si et seulement si sa dérivée est croissante sur $I$.
Une fonction dérivable sur $I$ est concave sur $I$ si et seulement si sa dérivée est décroissante sur $I$.

Remarque : si $f'$ est elle-même dérivable sur $I$, on note $f''$ la dérivée seconde de $f$ (dérivée de $f'$). Alors :

$f$ est convexe sur $I$ $\iff$ $f''(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in I$ ;
$f$ est concave sur $I$ $\iff$ $f''(x) \leqslant 0$ pour tout $x \in I$.

Méthode : étudier la convexité

$f(x) = x^3 + 1$ sur $\mathbb{R}$ : $f'(x) = 3x^2$ et $f''(x) = 6x$.

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$f''(x)$		$-$	$0$	$+$
$f$		concave		convexe

$f''(x) \leqslant 0$ sur $]-\infty\,;\,0]$ : $f$ est concave sur $]-\infty\,;\,0]$ ;
$f''(x) \geqslant 0$ sur $[0\,;\,+\infty[$ : $f$ est convexe sur $[0\,;\,+\infty[$.

II - Tangentes et point d'inflexion

1 - Tangentes

Propriété 2 : Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation :$$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

Propriété 3 :

$f$ est convexe sur $I$ si et seulement si sa courbe est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes ;
$f$ est concave sur $I$ si et seulement si sa courbe est entièrement en dessous de chacune de ses tangentes.

Exemples

$x^2$ : courbe au-dessus de ses tangentes.

$\ln x$ : courbe en dessous de ses tangentes.

2 - Point d'inflexion

Définition 4 : On appelle point d'inflexion un point où la courbe d'une fonction traverse sa tangente.

Exemple : point d'inflexion sur un graphique

$f(x) = x^3 + 1$ ; $f'(0) = 0$ et $f(0) = 1$ : la tangente en $A(0\,;\,1)$ est la droite $y = 1$. La courbe traverse cette tangente en $A$ : $A$ est un point d'inflexion.

Propriété 4 : Soit $f$ deux fois dérivable sur $I$ et $a \in I$. La courbe de $f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $a$ si et seulement si $f''$ s'annule en changeant de signe en $a$.

Remarque : en un point d'inflexion, la fonction change de convexité (elle passe de concave à convexe, ou inversement).

Méthode : trouver un point d'inflexion par le calcul

$g(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ : $g'(x) = 3x^2 - 6x$ et $g''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$.

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
$g''(x)$		$-$	$0$	$+$
$g$		concave		convexe

$g''$ s'annule en changeant de signe en $1$ et $g(1) = 0$ : le point $I(1\,;\,0)$ est un point d'inflexion.

Application : une inégalité de convexité

La fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$ ($\exp'' = \exp > 0$). Sa tangente en $0$ est $y = x + 1$, donc la courbe est au-dessus : $e^x \geqslant x + 1$ pour tout réel $x$.

De même, $\ln$ est concave ($\ln''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0$) et sa tangente en $1$ est $y = x - 1$ : $\ln x \leqslant x - 1$ pour tout $x > 0$.

Convexity

I - Convex and concave functions

1 - Definitions

Definition 1 : Let $f$ be a function, $\mathcal{C}_f$ its curve and $A$, $B$ two points of $\mathcal{C}_f$. The line $(AB)$ is called a secant of $\mathcal{C}_f$.

Definition 2 : A function $f$ is convex on an interval $I$ when, for all points $A$ and $B$ of $\mathcal{C}_f$ with $x$-coordinates in $I$, the segment $[AB]$ lies above the part of $\mathcal{C}_f$ between $A$ and $B$.

Examples of convex functions

$x \mapsto x^2$ is convex on $\mathbb{R}$.

$x \mapsto e^x$ is convex on $\mathbb{R}$.

Definition 3 : A function $f$ is concave on an interval $I$ when, for all points $A$ and $B$ of $\mathcal{C}_f$ with $x$-coordinates in $I$, the segment $[AB]$ lies below the part of $\mathcal{C}_f$ between $A$ and $B$.

Examples of concave functions

$x \mapsto \ln x$ is concave on $]0\,;\,+\infty[$.

$x \mapsto \sqrt{x}$ is concave on $[0\,;\,+\infty[$.

2 - Second derivative

Property 1 :

A function differentiable on $I$ is convex on $I$ if and only if its derivative is increasing on $I$.
A function differentiable on $I$ is concave on $I$ if and only if its derivative is decreasing on $I$.

Remark : if $f'$ is itself differentiable on $I$, we write $f''$ for the second derivative of $f$ (derivative of $f'$). Then:

$f$ is convex on $I$ $\iff$ $f''(x) \geqslant 0$ for all $x \in I$;
$f$ is concave on $I$ $\iff$ $f''(x) \leqslant 0$ for all $x \in I$.

Method: studying convexity

$f(x) = x^3 + 1$ on $\mathbb{R}$: $f'(x) = 3x^2$ and $f''(x) = 6x$.

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$f''(x)$		$-$	$0$	$+$
$f$		concave		convex

$f''(x) \leqslant 0$ on $]-\infty\,;\,0]$: $f$ is concave on $]-\infty\,;\,0]$;
$f''(x) \geqslant 0$ on $[0\,;\,+\infty[$: $f$ is convex on $[0\,;\,+\infty[$.

II - Tangents and inflection point

1 - Tangents

Property 2 : If $f$ is differentiable at $a$, the tangent to $\mathcal{C}_f$ at the point with $x$-coordinate $a$ has equation:$$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

Property 3 :

$f$ is convex on $I$ if and only if its curve lies entirely above each of its tangents;
$f$ is concave on $I$ if and only if its curve lies entirely below each of its tangents.

Examples

$x^2$: curve above its tangents.

$\ln x$: curve below its tangents.

2 - Inflection point

Definition 4 : An inflection point is a point where the curve of a function crosses its tangent.

Example: inflection point on a graph

$f(x) = x^3 + 1$; $f'(0) = 0$ and $f(0) = 1$: the tangent at $A(0\,;\,1)$ is the line $y = 1$. The curve crosses this tangent at $A$: $A$ is an inflection point.

Property 4 : Let $f$ be twice differentiable on $I$ and $a \in I$. The curve of $f$ has an inflection point with $x$-coordinate $a$ if and only if $f''$ vanishes and changes sign at $a$.

Remark : at an inflection point, the function changes convexity (from concave to convex, or the reverse).

Method: finding an inflection point by computation

$g(x) = x^3 - 3x^2 + 2$: $g'(x) = 3x^2 - 6x$ and $g''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$.

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
$g''(x)$		$-$	$0$	$+$
$g$		concave		convex

$g''$ vanishes and changes sign at $1$ and $g(1) = 0$: the point $I(1\,;\,0)$ is an inflection point.

Application: a convexity inequality

The exponential function is convex on $\mathbb{R}$ ($\exp'' = \exp > 0$). Its tangent at $0$ is $y = x + 1$, so the curve lies above it: $e^x \geqslant x + 1$ for every real $x$.

Similarly, $\ln$ is concave ($\ln''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0$) and its tangent at $1$ is $y = x - 1$: $\ln x \leqslant x - 1$ for all $x > 0$.

Convexidad

I - Función convexa, función cóncava

1 - Definiciones

Definición 1 : Sea $f$ una función, $\mathcal{C}_f$ su curva y $A$, $B$ dos puntos de $\mathcal{C}_f$. La recta $(AB)$ se llama secante a $\mathcal{C}_f$.

Definición 2 : Una función $f$ es convexa en un intervalo $I$ cuando, para todos los puntos $A$ y $B$ de $\mathcal{C}_f$ de abscisas en $I$, el segmento $[AB]$ está por encima de la parte de $\mathcal{C}_f$ comprendida entre $A$ y $B$.

Ejemplos de funciones convexas

$x \mapsto x^2$ es convexa en $\mathbb{R}$.

$x \mapsto e^x$ es convexa en $\mathbb{R}$.

Definición 3 : Una función $f$ es cóncava en un intervalo $I$ cuando, para todos los puntos $A$ y $B$ de $\mathcal{C}_f$ de abscisas en $I$, el segmento $[AB]$ está por debajo de la parte de $\mathcal{C}_f$ comprendida entre $A$ y $B$.

Ejemplos de funciones cóncavas

$x \mapsto \ln x$ es cóncava en $]0\,;\,+\infty[$.

$x \mapsto \sqrt{x}$ es cóncava en $[0\,;\,+\infty[$.

2 - Derivada segunda

Propiedad 1 :

Una función derivable en $I$ es convexa en $I$ si y solo si su derivada es creciente en $I$.
Una función derivable en $I$ es cóncava en $I$ si y solo si su derivada es decreciente en $I$.

Observación : si $f'$ es derivable en $I$, se denota $f''$ la derivada segunda de $f$ (derivada de $f'$). Entonces:

$f$ es convexa en $I$ $\iff$ $f''(x) \geqslant 0$ para todo $x \in I$;
$f$ es cóncava en $I$ $\iff$ $f''(x) \leqslant 0$ para todo $x \in I$.

Método: estudiar la convexidad

$f(x) = x^3 + 1$ en $\mathbb{R}$: $f'(x) = 3x^2$ y $f''(x) = 6x$.

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$f''(x)$		$-$	$0$	$+$
$f$		cóncava		convexa

$f''(x) \leqslant 0$ en $]-\infty\,;\,0]$: $f$ es cóncava en $]-\infty\,;\,0]$;
$f''(x) \geqslant 0$ en $[0\,;\,+\infty[$: $f$ es convexa en $[0\,;\,+\infty[$.

II - Tangentes y punto de inflexión

1 - Tangentes

Propiedad 2 : Si $f$ es derivable en $a$, la tangente a $\mathcal{C}_f$ en el punto de abscisa $a$ tiene por ecuación:$$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

Propiedad 3 :

$f$ es convexa en $I$ si y solo si su curva está totalmente por encima de cada una de sus tangentes;
$f$ es cóncava en $I$ si y solo si su curva está totalmente por debajo de cada una de sus tangentes.

Ejemplos

$x^2$: curva por encima de sus tangentes.

$\ln x$: curva por debajo de sus tangentes.

2 - Punto de inflexión

Definición 4 : Se llama punto de inflexión a un punto donde la curva de una función atraviesa su tangente.

Ejemplo: punto de inflexión en una gráfica

$f(x) = x^3 + 1$; $f'(0) = 0$ y $f(0) = 1$: la tangente en $A(0\,;\,1)$ es la recta $y = 1$. La curva atraviesa esta tangente en $A$: $A$ es un punto de inflexión.

Propiedad 4 : Sea $f$ dos veces derivable en $I$ y $a \in I$. La curva de $f$ tiene un punto de inflexión de abscisa $a$ si y solo si $f''$ se anula cambiando de signo en $a$.

Observación : en un punto de inflexión, la función cambia de convexidad (pasa de cóncava a convexa, o al revés).

Método: hallar un punto de inflexión por cálculo

$g(x) = x^3 - 3x^2 + 2$: $g'(x) = 3x^2 - 6x$ y $g''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$.

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
$g''(x)$		$-$	$0$	$+$
$g$		cóncava		convexa

$g''$ se anula cambiando de signo en $1$ y $g(1) = 0$: el punto $I(1\,;\,0)$ es un punto de inflexión.

Aplicación: una desigualdad de convexidad

La función exponencial es convexa en $\mathbb{R}$ ($\exp'' = \exp > 0$). Su tangente en $0$ es $y = x + 1$, luego la curva está por encima: $e^x \geqslant x + 1$ para todo real $x$.

Del mismo modo, $\ln$ es cóncava ($\ln''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0$) y su tangente en $1$ es $y = x - 1$: $\ln x \leqslant x - 1$ para todo $x > 0$.