Intégration - Exercices Integration - Exercises Integración - Ejercicios

a)

Rectangle de largeur $4$ et de hauteur $4$.

$\displaystyle\int_{-1}^{3} 4\,\mathrm{d}x = 16$

b)

Triangle rectangle de base $6$ et de hauteur $3$ : $\dfrac{6 \times 3}{2}$.

$\displaystyle\int_{0}^{6} \dfrac{x}{2}\,\mathrm{d}x = 9$

c)

Trapèze de hauteur $2$ et de bases $3$ et $5$ : $2 \times \dfrac{3 + 5}{2}$.

$\displaystyle\int_{2}^{4} (x + 1)\,\mathrm{d}x = 8$

a)

$\big[x^3 - x^2 + x\big]_0^2 = 8 - 4 + 2 - 0$

$6$

b)

$\left[\dfrac{x^4}{4} + \dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^1 = \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3}\right) - \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3}\right)$

$\dfrac{2}{3}$

c)

$(x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3$ ; $\left[\dfrac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x\right]_1^3 = 0 - \dfrac{4}{3}$

$-\dfrac{4}{3}$ (la fonction est négative sur $[1\,;\,3]$)

a)

$\big[e^x + x^2\big]_0^1 = (e + 1) - 1$

$e$

b)

$\big[3\ln x\big]_1^{e^2} = 3 \times 2 - 0$

$6$

c)

$\left[-\dfrac{1}{x} + x\right]_1^2 = \left(-\dfrac{1}{2} + 2\right) - (-1 + 1)$

$\dfrac{3}{2}$

d)

Une primitive de $e^{-x}$ est $-e^{-x}$ : $\big[-e^{-x}\big]_0^2 = -e^{-2} + 1$

$1 - e^{-2}$

a)

Primitive : $\dfrac{(2x + 1)^4}{8}$ ; $\dfrac{81}{8} - \dfrac{1}{8}$

$10$

b)

Primitive : $\ln(x^2 + 1)$ ; $\ln 2 - \ln 1$

$\ln 2$

c)

Primitive : $\dfrac{1}{2}e^{2x}$ ; $\dfrac{1}{2}(e - 1)$

$\dfrac{e - 1}{2}$

d)

Primitive : $\sqrt{2x + 1}$ ; $\sqrt{9} - \sqrt{1}$

$2$

a)

Relation de Chasles : $3 + 5$.

$8$

b)

Linéarité : $2 \times 3 - 3 \times (-2)$.

$12$

c)

On échange les bornes.

$-5$

a)

$\mu = \dfrac{1}{2}\big[x^3\big]_0^2 = \dfrac{8}{2}$

$\mu = 4$

b)

$\mu = \dfrac{1}{\ln 4}\big[e^x\big]_0^{\ln 4} = \dfrac{4 - 1}{\ln 4}$

$\mu = \dfrac{3}{\ln 4} \approx 2{,}16$

c)

$\mu = \dfrac{1}{e - 1}\big[\ln x\big]_1^e$

$\mu = \dfrac{1}{e - 1} \approx 0{,}58$

1)

$f(x) = x(4 - x) \geqslant 0$ sur $[0\,;\,4]$.

2)

$\displaystyle\int_{0}^{4} (-x^2 + 4x)\,\mathrm{d}x = \left[-\dfrac{x^3}{3} + 2x^2\right]_0^4 = -\dfrac{64}{3} + 32$

$\dfrac{32}{3} \approx 10{,}67$ cm²

3)

Sur $[4\,;\,5]$, $f(x) \leqslant 0$ : l'aire est $\displaystyle\int_{4}^{5} (x^2 - 4x)\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3} - 2x^2\right]_4^5 = \left(\dfrac{125}{3} - 50\right) - \left(\dfrac{64}{3} - 32\right)$

$\dfrac{7}{3} \approx 2{,}33$ cm²

1)

$x^2 - 2x - 3 = 0$, $\Delta = 16$.

$x = -1$ ou $x = 3$

2)

$g(x) - f(x) = -(x^2 - 2x - 3) = -(x + 1)(x - 3) \geqslant 0$ sur $[-1\,;\,3]$.

3)

$\displaystyle\int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3)\,\mathrm{d}x = \left[-\dfrac{x^3}{3} + x^2 + 3x\right]_{-1}^3 = 9 - \left(-\dfrac{5}{3}\right)$

$\dfrac{32}{3}$ u.a.

1)

Pour $1 \leqslant x \leqslant 2$ : $\dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant 1$, et on multiplie par $e^x > 0$.

2)

Par comparaison : $\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{e^x}{2}\,\mathrm{d}x \leqslant J \leqslant \displaystyle\int_{1}^{2} e^x\,\mathrm{d}x$.

$\dfrac{e^2 - e}{2} \leqslant J \leqslant e^2 - e$

3)

$2{,}34 \leqslant J \leqslant 4{,}67$

1)

Primitive : $-0{,}01t^3 + 0{,}36t^2 + 2t$. $\big[\dots\big]_0^{24} = -138{,}24 + 207{,}36 + 48$

$117{,}12$ MWh

2)

$\mu = \dfrac{117{,}12}{24}$

$4{,}88$ MW

3)

$\big[\dots\big]_8^{18} = (-58{,}32 + 116{,}64 + 36) - (-5{,}12 + 23{,}04 + 16)$

$94{,}32 - 33{,}92 = 60{,}4$ MWh