Intégration

I - Notion d'intégrale

Dans un repère orthogonal, l'unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle de côtés 1 unité sur l'axe des abscisses et 1 unité sur l'axe des ordonnées.

Définition 1 : Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\,;\,b]$. On appelle intégrale de $a$ à $b$ de la fonction $f$ l'aire $\mathcal{A}$ du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$, exprimée en unités d'aire. On note : $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$.

Remarque :

$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$ se lit « intégrale (ou somme) de $a$ à $b$ de $f(x)\,\mathrm{d}x$ ».
$x$ est appelée la variable muette ; $a$ et $b$ sont les bornes de l'intégrale.

Intégrale d'une fonction affine

Calculer $\displaystyle\int_{1}^{3} (2x + 1)\,\mathrm{d}x$.

Le domaine est le trapèze $ABCD$ : $\displaystyle\int_{1}^{3} (2x + 1)\,\mathrm{d}x = DC \times \dfrac{AD + BC}{2} = 2 \times \dfrac{3 + 7}{2} = $ $10$ u.a.

Approximation par la méthode des rectangles

On découpe $[1\,;\,5]$ en $4$ intervalles de longueur $1$ pour approcher $\displaystyle\int_{1}^{5} \sqrt{x}\,\mathrm{d}x$ :

Par défaut (rectangles verts) : $1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 \approx 6{,}1$ u.a.

Par excès (rectangles rouges) : $\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{5} \approx 7{,}4$ u.a.

Donc $6{,}1 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{5} \sqrt{x}\,\mathrm{d}x \leqslant 7{,}4$ (valeurs arrondies au dixième). Plus les rectangles sont fins, meilleur est l'encadrement.

II - Intégrale d'une fonction continue

1 - Intégrale et primitive

Propriété 1 : Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a\,;\,b]$. La fonction $F$ définie sur $[a\,;\,b]$ par $F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est dérivable sur $[a\,;\,b]$ et $F'(x) = f(x)$.

Démonstration (cas où $f$ est croissante)

Soit $x_0 \in [a\,;\,b]$ et $h > 0$ tel que $x_0 + h \in [a\,;\,b]$. D'après la relation de Chasles, $F(x_0+h) - F(x_0) = \displaystyle\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\,\mathrm{d}t$ : c'est l'aire sous $\mathcal{C}_f$ entre $x_0$ et $x_0 + h$, comprise entre les aires des rectangles $h \times f(x_0)$ et $h \times f(x_0+h)$.

$$f(x_0) \leqslant \dfrac{F(x_0+h) - F(x_0)}{h} \leqslant f(x_0+h)$$

$f$ est continue donc $\lim\limits_{h \to 0} f(x_0+h) = f(x_0)$ ; d'après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{F(x_0+h) - F(x_0)}{h} = f(x_0)$. On procède de même avec $h < 0$. Donc $F'(x_0) = f(x_0)$.

Propriété 2 : Si $F$ est une primitive d'une fonction continue $f$ sur $[a\,;\,b]$, alors :$$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$$

Démonstration

Soit $G(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$. D'après la propriété 1, $G$ est une primitive de $f$, donc $G = F + k$ avec $k \in \mathbb{R}$. Or $G(a) = 0$ donc $k = -F(a)$, et $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = G(b) = F(b) - F(a)$.

Notation : on note aussi $F(b) - F(a) = \big[F(x)\big]_a^b$. Cette formule sert de définition de l'intégrale pour une fonction continue de signe quelconque.

Méthode : calcul d'une intégrale

Calculer $\displaystyle\int_{1}^{2} x^2\,\mathrm{d}x$.

1) Une primitive de $f(x) = x^2$ est $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$.

2) $\displaystyle\int_{1}^{2} x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^2 = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = $ $\dfrac{7}{3}$.

Exemples

$\displaystyle\int_{0}^{\ln 3} e^x\,\mathrm{d}x = \big[e^x\big]_0^{\ln 3} = e^{\ln 3} - e^0 = 2$
$\displaystyle\int_{1}^{e} \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \big[\ln x\big]_1^{e} = \ln e - \ln 1 = 1$
$\displaystyle\int_{1}^{4} \dfrac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x = \left[-\dfrac{1}{x}\right]_1^{4} = -\dfrac{1}{4} + 1 = \dfrac{3}{4}$

2 - Propriétés de l'intégrale

Propriété 3 : Linéarité. Soit $f$ et $g$ continues sur un intervalle $I$ contenant $a$ et $b$, et $\alpha$ un réel :$$\displaystyle\int_{a}^{b} \left[f(x) + g(x)\right]\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x + \displaystyle\int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x \qquad \displaystyle\int_{a}^{b} \alpha f(x)\,\mathrm{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$$

Propriété 4 :

$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int_{a}^{c} f(x)\,\mathrm{d}x + \displaystyle\int_{c}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$ (relation de Chasles) ;
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = -\displaystyle\int_{b}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x$ et $\displaystyle\int_{a}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ ;
pour $a \leqslant b$ : si $f \geqslant 0$ sur $[a\,;\,b]$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x \geqslant 0$ (positivité) ;
pour $a \leqslant b$ : si $f \geqslant g$ sur $[a\,;\,b]$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x \geqslant \displaystyle\int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x$ (comparaison).

Application : encadrer une intégrale

Pour $x \in [0\,;\,1]$ : $0 \leqslant x^2 \leqslant x$ donc, la fonction exponentielle étant croissante, $1 \leqslant e^{x^2} \leqslant e^x$.

Par comparaison (avec $0 \leqslant 1$) : $\displaystyle\int_{0}^{1} 1\,\mathrm{d}x \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} e^{x^2}\,\mathrm{d}x \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} e^x\,\mathrm{d}x$, soit $1 \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} e^{x^2}\,\mathrm{d}x \leqslant e - 1$.

III - Applications du calcul intégral

1 - Valeur moyenne

Définition 2 : On appelle valeur moyenne d'une fonction $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ ($a < b$) le nombre :$$\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$$

Interprétation graphique

Pour une fonction positive, $\mu$ est la hauteur du rectangle de largeur $b - a$ qui a la même aire que le domaine situé sous la courbe entre $x = a$ et $x = b$.

Exemple

Valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0\,;\,3]$ : $\mu = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_{0}^{3} x^2\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{3}\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3$.

2 - Calcul d'aire

Propriété 5 : Soit $f$ continue et négative sur $[a\,;\,b]$. L'aire du domaine limité par $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$ est égale, en u.a., à $\displaystyle\int_{a}^{b} -f(x)\,\mathrm{d}x$.

Propriété 6 : Soit $f$ et $g$ continues sur $[a\,;\,b]$ avec $f \leqslant g$. L'aire du domaine limité par $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$ et les droites $x = a$ et $x = b$ est égale, en u.a., à $\displaystyle\int_{a}^{b} \left[g(x) - f(x)\right]\,\mathrm{d}x$.

Exemple

Aire entre $\mathcal{C}_f : y = x^2$ et $\mathcal{C}_g : y = x$ sur $[0\,;\,1]$ (où $x^2 \leqslant x$) :

$$\displaystyle\int_{0}^{1} (x - x^2)\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\ \text{u.a.}$$

Integration

I - Notion of integral

In an orthogonal coordinate system, the area unit (a.u.) is the area of the rectangle with sides 1 unit on the $x$-axis and 1 unit on the $y$-axis.

Definition 1 : Let $f$ be a continuous positive function on an interval $[a\,;\,b]$. The integral from $a$ to $b$ of $f$ is the area $\mathcal{A}$ of the region bounded by the curve $\mathcal{C}_f$, the $x$-axis and the lines $x = a$ and $x = b$, in area units. We write: $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$.

Remark :

$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$ is read “integral from $a$ to $b$ of $f(x)\,\mathrm{d}x$”.
$x$ is called the dummy variable; $a$ and $b$ are the bounds of the integral.

Integral of an affine function

Compute $\displaystyle\int_{1}^{3} (2x + 1)\,\mathrm{d}x$.

The region is the trapezoid $ABCD$: $\displaystyle\int_{1}^{3} (2x + 1)\,\mathrm{d}x = DC \times \dfrac{AD + BC}{2} = 2 \times \dfrac{3 + 7}{2} = $ $10$ a.u.

Approximation by the rectangle method

We split $[1\,;\,5]$ into $4$ intervals of length $1$ to approximate $\displaystyle\int_{1}^{5} \sqrt{x}\,\mathrm{d}x$:

Lower sum (green rectangles): $1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 \approx 6.1$ a.u.

Upper sum (red rectangles): $\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{5} \approx 7.4$ a.u.

So $6.1 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{5} \sqrt{x}\,\mathrm{d}x \leqslant 7.4$ (rounded to one decimal place). The thinner the rectangles, the better the bounds.

II - Integral of a continuous function

1 - Integral and antiderivative

Property 1 : Let $f$ be continuous and positive on $[a\,;\,b]$. The function $F$ defined on $[a\,;\,b]$ by $F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ is differentiable on $[a\,;\,b]$ and $F'(x) = f(x)$.

Proof (case where $f$ is increasing)

Let $x_0 \in [a\,;\,b]$ and $h > 0$ with $x_0 + h \in [a\,;\,b]$. By Chasles' relation, $F(x_0+h) - F(x_0) = \displaystyle\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\,\mathrm{d}t$: it is the area under $\mathcal{C}_f$ between $x_0$ and $x_0 + h$, between the areas of the rectangles $h \times f(x_0)$ and $h \times f(x_0+h)$.

$$f(x_0) \leqslant \dfrac{F(x_0+h) - F(x_0)}{h} \leqslant f(x_0+h)$$

$f$ is continuous so $\lim\limits_{h \to 0} f(x_0+h) = f(x_0)$; by the squeeze theorem, $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{F(x_0+h) - F(x_0)}{h} = f(x_0)$. Same with $h < 0$. So $F'(x_0) = f(x_0)$.

Property 2 : If $F$ is an antiderivative of a continuous function $f$ on $[a\,;\,b]$, then:$$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$$

Proof

Let $G(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$. By property 1, $G$ is an antiderivative of $f$, so $G = F + k$ with $k \in \mathbb{R}$. Since $G(a) = 0$, $k = -F(a)$, and $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = G(b) = F(b) - F(a)$.

Notation : we also write $F(b) - F(a) = \big[F(x)\big]_a^b$. This formula defines the integral of a continuous function of any sign.

Method: computing an integral

Compute $\displaystyle\int_{1}^{2} x^2\,\mathrm{d}x$.

1) An antiderivative of $f(x) = x^2$ is $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$.

2) $\displaystyle\int_{1}^{2} x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^2 = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = $ $\dfrac{7}{3}$.

Examples

$\displaystyle\int_{0}^{\ln 3} e^x\,\mathrm{d}x = \big[e^x\big]_0^{\ln 3} = e^{\ln 3} - e^0 = 2$
$\displaystyle\int_{1}^{e} \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \big[\ln x\big]_1^{e} = \ln e - \ln 1 = 1$
$\displaystyle\int_{1}^{4} \dfrac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x = \left[-\dfrac{1}{x}\right]_1^{4} = -\dfrac{1}{4} + 1 = \dfrac{3}{4}$

2 - Properties of the integral

Property 3 : Linearity. Let $f$ and $g$ be continuous on an interval $I$ containing $a$ and $b$, and $\alpha$ a real:$$\displaystyle\int_{a}^{b} \left[f(x) + g(x)\right]\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x + \displaystyle\int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x \qquad \displaystyle\int_{a}^{b} \alpha f(x)\,\mathrm{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$$

Property 4 :

$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int_{a}^{c} f(x)\,\mathrm{d}x + \displaystyle\int_{c}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$ (Chasles' relation);
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = -\displaystyle\int_{b}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x$ and $\displaystyle\int_{a}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x = 0$;
for $a \leqslant b$: if $f \geqslant 0$ on $[a\,;\,b]$, then $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x \geqslant 0$ (positivity);
for $a \leqslant b$: if $f \geqslant g$ on $[a\,;\,b]$, then $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x \geqslant \displaystyle\int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x$ (comparison).

Application: bounding an integral

For $x \in [0\,;\,1]$: $0 \leqslant x^2 \leqslant x$ so, the exponential being increasing, $1 \leqslant e^{x^2} \leqslant e^x$.

By comparison (with $0 \leqslant 1$): $\displaystyle\int_{0}^{1} 1\,\mathrm{d}x \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} e^{x^2}\,\mathrm{d}x \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} e^x\,\mathrm{d}x$, i.e. $1 \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} e^{x^2}\,\mathrm{d}x \leqslant e - 1$.

III - Applications of integration

1 - Mean value

Definition 2 : The mean value of a function $f$ continuous on $[a\,;\,b]$ ($a < b$) is the number:$$\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$$

Graphical interpretation

For a positive function, $\mu$ is the height of the rectangle of width $b - a$ having the same area as the region under the curve between $x = a$ and $x = b$.

Example

Mean value of $f(x) = x^2$ on $[0\,;\,3]$: $\mu = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_{0}^{3} x^2\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{3}\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3$.

2 - Computing areas

Property 5 : Let $f$ be continuous and negative on $[a\,;\,b]$. The area of the region bounded by $\mathcal{C}_f$, the $x$-axis and the lines $x = a$ and $x = b$ equals, in a.u., $\displaystyle\int_{a}^{b} -f(x)\,\mathrm{d}x$.

Property 6 : Let $f$ and $g$ be continuous on $[a\,;\,b]$ with $f \leqslant g$. The area of the region between $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$ and the lines $x = a$ and $x = b$ equals, in a.u., $\displaystyle\int_{a}^{b} \left[g(x) - f(x)\right]\,\mathrm{d}x$.

Example

Area between $\mathcal{C}_f : y = x^2$ and $\mathcal{C}_g : y = x$ on $[0\,;\,1]$ (where $x^2 \leqslant x$):

$$\displaystyle\int_{0}^{1} (x - x^2)\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\ \text{a.u.}$$

Integración

I - Noción de integral

En un sistema de referencia ortogonal, la unidad de área (u.a.) es el área del rectángulo de lados 1 unidad en el eje de abscisas y 1 unidad en el eje de ordenadas.

Definición 1 : Sea $f$ una función continua y positiva en un intervalo $[a\,;\,b]$. Se llama integral de $a$ a $b$ de la función $f$ al área $\mathcal{A}$ del dominio limitado por la curva $\mathcal{C}_f$, el eje de abscisas y las rectas $x = a$ y $x = b$, expresada en unidades de área. Se escribe: $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$.

Observación :

$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$ se lee «integral de $a$ a $b$ de $f(x)\,\mathrm{d}x$».
$x$ se llama variable muda; $a$ y $b$ son los límites de la integral.

Integral de una función afín

Calcular $\displaystyle\int_{1}^{3} (2x + 1)\,\mathrm{d}x$.

El dominio es el trapecio $ABCD$: $\displaystyle\int_{1}^{3} (2x + 1)\,\mathrm{d}x = DC \times \dfrac{AD + BC}{2} = 2 \times \dfrac{3 + 7}{2} = $ $10$ u.a.

Aproximación por el método de los rectángulos

Se divide $[1\,;\,5]$ en $4$ intervalos de longitud $1$ para aproximar $\displaystyle\int_{1}^{5} \sqrt{x}\,\mathrm{d}x$:

Por defecto (rectángulos verdes): $1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 \approx 6{,}1$ u.a.

Por exceso (rectángulos rojos): $\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{5} \approx 7{,}4$ u.a.

Luego $6{,}1 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{5} \sqrt{x}\,\mathrm{d}x \leqslant 7{,}4$ (valores redondeados a la décima). Cuanto más finos los rectángulos, mejor el encuadre.

II - Integral de una función continua

1 - Integral y primitiva

Propiedad 1 : Sea $f$ continua y positiva en $[a\,;\,b]$. La función $F$ definida en $[a\,;\,b]$ por $F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ es derivable en $[a\,;\,b]$ y $F'(x) = f(x)$.

Demostración (caso en que $f$ es creciente)

Sea $x_0 \in [a\,;\,b]$ y $h > 0$ con $x_0 + h \in [a\,;\,b]$. Por la relación de Chasles, $F(x_0+h) - F(x_0) = \displaystyle\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\,\mathrm{d}t$: es el área bajo $\mathcal{C}_f$ entre $x_0$ y $x_0 + h$, comprendida entre las áreas de los rectángulos $h \times f(x_0)$ y $h \times f(x_0+h)$.

$$f(x_0) \leqslant \dfrac{F(x_0+h) - F(x_0)}{h} \leqslant f(x_0+h)$$

$f$ es continua luego $\lim\limits_{h \to 0} f(x_0+h) = f(x_0)$; por el teorema del sándwich, $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{F(x_0+h) - F(x_0)}{h} = f(x_0)$. Igual con $h < 0$. Así $F'(x_0) = f(x_0)$.

Propiedad 2 : Si $F$ es una primitiva de una función continua $f$ en $[a\,;\,b]$, entonces:$$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$$

Demostración

Sea $G(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$. Por la propiedad 1, $G$ es una primitiva de $f$, luego $G = F + k$ con $k \in \mathbb{R}$. Como $G(a) = 0$, $k = -F(a)$, y $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = G(b) = F(b) - F(a)$.

Notación : también se escribe $F(b) - F(a) = \big[F(x)\big]_a^b$. Esta fórmula define la integral de una función continua de signo cualquiera.

Método: cálculo de una integral

Calcular $\displaystyle\int_{1}^{2} x^2\,\mathrm{d}x$.

1) Una primitiva de $f(x) = x^2$ es $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$.

2) $\displaystyle\int_{1}^{2} x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^2 = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = $ $\dfrac{7}{3}$.

Ejemplos

$\displaystyle\int_{0}^{\ln 3} e^x\,\mathrm{d}x = \big[e^x\big]_0^{\ln 3} = e^{\ln 3} - e^0 = 2$
$\displaystyle\int_{1}^{e} \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \big[\ln x\big]_1^{e} = \ln e - \ln 1 = 1$
$\displaystyle\int_{1}^{4} \dfrac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x = \left[-\dfrac{1}{x}\right]_1^{4} = -\dfrac{1}{4} + 1 = \dfrac{3}{4}$

2 - Propiedades de la integral

Propiedad 3 : Linealidad. Sean $f$ y $g$ continuas en un intervalo $I$ que contiene $a$ y $b$, y $\alpha$ un real:$$\displaystyle\int_{a}^{b} \left[f(x) + g(x)\right]\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x + \displaystyle\int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x \qquad \displaystyle\int_{a}^{b} \alpha f(x)\,\mathrm{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$$

Propiedad 4 :

$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int_{a}^{c} f(x)\,\mathrm{d}x + \displaystyle\int_{c}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$ (relación de Chasles);
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = -\displaystyle\int_{b}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x$ y $\displaystyle\int_{a}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x = 0$;
para $a \leqslant b$: si $f \geqslant 0$ en $[a\,;\,b]$, entonces $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x \geqslant 0$ (positividad);
para $a \leqslant b$: si $f \geqslant g$ en $[a\,;\,b]$, entonces $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x \geqslant \displaystyle\int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x$ (comparación).

Aplicación: acotar una integral

Para $x \in [0\,;\,1]$: $0 \leqslant x^2 \leqslant x$ luego, siendo creciente la exponencial, $1 \leqslant e^{x^2} \leqslant e^x$.

Por comparación (con $0 \leqslant 1$): $\displaystyle\int_{0}^{1} 1\,\mathrm{d}x \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} e^{x^2}\,\mathrm{d}x \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} e^x\,\mathrm{d}x$, es decir $1 \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} e^{x^2}\,\mathrm{d}x \leqslant e - 1$.

III - Aplicaciones del cálculo integral

1 - Valor medio

Definición 2 : Se llama valor medio de una función $f$ continua en $[a\,;\,b]$ ($a < b$) al número:$$\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$$

Interpretación gráfica

Para una función positiva, $\mu$ es la altura del rectángulo de anchura $b - a$ que tiene la misma área que el dominio bajo la curva entre $x = a$ y $x = b$.

Ejemplo

Valor medio de $f(x) = x^2$ en $[0\,;\,3]$: $\mu = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_{0}^{3} x^2\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{3}\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3$.

2 - Cálculo de áreas

Propiedad 5 : Sea $f$ continua y negativa en $[a\,;\,b]$. El área del dominio limitado por $\mathcal{C}_f$, el eje de abscisas y las rectas $x = a$ y $x = b$ es igual, en u.a., a $\displaystyle\int_{a}^{b} -f(x)\,\mathrm{d}x$.

Propiedad 6 : Sean $f$ y $g$ continuas en $[a\,;\,b]$ con $f \leqslant g$. El área del dominio limitado por $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$ y las rectas $x = a$ y $x = b$ es igual, en u.a., a $\displaystyle\int_{a}^{b} \left[g(x) - f(x)\right]\,\mathrm{d}x$.

Ejemplo

Área entre $\mathcal{C}_f : y = x^2$ y $\mathcal{C}_g : y = x$ en $[0\,;\,1]$ (donde $x^2 \leqslant x$):

$$\displaystyle\int_{0}^{1} (x - x^2)\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\ \text{u.a.}$$