Suites arithmético-géométriques - Exercices Arithmetic-geometric sequences - Exercises Sucesiones aritmético-geométricas - Ejercicios

1)

$u_1 = 0{,}6 + 4 = 4{,}6$ et $u_2 = 0{,}6 \times 4{,}6 + 4 = 6{,}76$

2)

$\ell - 0{,}6\ell = 4 \iff 0{,}4\ell = 4$

$\ell = 10$

3)

$v_{n+1} = u_{n+1} - 10 = 0{,}6\,u_n + 4 - 10 = 0{,}6\,u_n - 6 = 0{,}6\,(u_n - 10) = 0{,}6\,v_n$.

$(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}6$, de premier terme $v_0 = 1 - 10 = -9$

4)

$v_n = -9 \times 0{,}6^n$ donc $u_n = v_n + 10$.

$u_n = 10 - 9 \times 0{,}6^n$

$0 < 0{,}6 < 1$ donc $\lim 0{,}6^n = 0$.

$\lim u_n = 10$

1)

Perdre $15\,\%$ revient à multiplier par $1 - 0{,}15 = 0{,}85$, puis on ajoute les $6\,000$ nouveaux abonnés.

$a_{n+1} = 0{,}85\,a_n + 6\,000$

2)

$b_{n+1} = a_{n+1} - 40\,000 = 0{,}85\,a_n - 34\,000 = 0{,}85\,(a_n - 40\,000) = 0{,}85\,b_n$.

$(b_n)$ est géométrique de raison $0{,}85$ et $b_0 = 20\,000 - 40\,000 = -20\,000$

3)

$b_n = -20\,000 \times 0{,}85^n$ donc $a_n = 40\,000 - 20\,000 \times 0{,}85^n$.

En 2036, $n = 10$ : $a_{10} = 40\,000 - 20\,000 \times 0{,}85^{10} \approx 36\,063$.

environ $36\,063$ abonnés en 2036

4)

$0 < 0{,}85 < 1$ donc $\lim 0{,}85^n = 0$ et $\lim a_n = 40\,000$.

Le nombre d'abonnés se stabilise vers $40\,000$

1)

$u_1 = 3 \times (-2) + 4 = -2$, puis $u_2 = -2$ et $u_3 = -2$.

$\ell = 3\ell + 4 \iff \ell = -2$ : le premier terme est égal à $\ell$, donc chaque terme reste égal à $-2$.

$(u_n)$ est constante, égale à $-2$

2)

$w_1 = 4$, $w_2 = 16$, $w_3 = 52$

$w_1 - w_0 = 4 \neq w_2 - w_1 = 12$ : pas arithmétique ; $\dfrac{w_2}{w_1} = 4 \neq \dfrac{w_3}{w_2} = 3{,}25$ : pas géométrique.

$(w_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique

1)

$\ell - 1{,}5\ell = -1 \iff -0{,}5\ell = -1$

$\ell = 2$

2)

$v_{n+1} = u_{n+1} - 2 = 1{,}5\,u_n - 3 = 1{,}5\,(u_n - 2) = 1{,}5\,v_n$.

$(v_n)$ est géométrique de raison $1{,}5$ et $v_0 = 4 - 2 = 2$

3)

$u_n = 2 \times 1{,}5^n + 2$ et $u_5 = 2 \times 7{,}59375 + 2 = 17{,}1875$

4)

$1{,}5 > 1$ donc $\lim 1{,}5^n = +\infty$ ; comme $2 > 0$ :

$\lim u_n = +\infty$

1)

$\ell = 0{,}5\ell + 5 \iff \ell = 10$ ; $(u_n - 10)$ est géométrique de raison $0{,}5$ et de premier terme $4 - 10 = -6$.

$u_n = 10 - 6 \times 0{,}5^n$

2)

$u_{n+1} - u_n = -6 \times 0{,}5^{n+1} + 6 \times 0{,}5^n = 6 \times 0{,}5^n \times (1 - 0{,}5) = 3 \times 0{,}5^n > 0$.

$(u_n)$ est croissante

3)

$\lim 0{,}5^n = 0$ car $0 < 0{,}5 < 1$.

$\lim u_n = 10$

4)

La suite est croissante donc $u_n \geqslant u_0 = 4$ ; et $6 \times 0{,}5^n > 0$ donc $u_n < 10$.

$4 \leqslant u_n < 10$ pour tout $n$

1)

Les intérêts de $2\,\%$ multiplient le capital par $1{,}02$, puis on ajoute $100$ €.

$C_{n+1} = 1{,}02\,C_n + 100$

2)

$D_{n+1} = C_{n+1} + 5\,000 = 1{,}02\,C_n + 5\,100 = 1{,}02\,(C_n + 5\,000) = 1{,}02\,D_n$.

$(D_n)$ est géométrique de raison $1{,}02$ et $D_0 = 6\,000$

3)

$D_n = 6\,000 \times 1{,}02^n$ donc $C_n = D_n - 5\,000$.

$C_n = 6\,000 \times 1{,}02^n - 5\,000$ et $C_{10} \approx 2\,313{,}97$ €

4)

$1{,}02 > 1$ donc $\lim 1{,}02^n = +\infty$.

$\lim C_n = +\infty$

1)

C = 1000
n = 0
while C < 3000 :
    C = 1.02 * C + 100
    n = n + 1
print(n)

2)

$C_{14} = 6\,000 \times 1{,}02^{14} - 5\,000 \approx 2\,916{,}87$ et $C_{15} \approx 3\,075{,}21$.

Le programme affiche $15$ : le capital dépasse $3\,000$ € en $2026 + 15 = 2041$

1)

$u_1 = a u_0 + b$ et $u_2 = a u_1 + b$ donnent le système $a + b = 5$ et $5a + b = 13$. Par soustraction, $4a = 8$.

$a = 2$ et $b = 3$

2)

$\ell = 2\ell + 3 \iff \ell = -3$ ; $(u_n + 3)$ est géométrique de raison $2$ et de premier terme $4$.

$u_n = 4 \times 2^n - 3$ et $u_5 = 128 - 3 = 125$

1)

Éliminer $20\,\%$ revient à multiplier par $0{,}8$, puis la perfusion ajoute $10$ mg.

$q_{n+1} = 0{,}8\,q_n + 10$

2)

$\ell = 0{,}8\ell + 10 \iff \ell = 50$ ; $(q_n - 50)$ est géométrique de raison $0{,}8$ et de premier terme $-50$.

$q_n = 50 - 50 \times 0{,}8^n$

3)

$\lim q_n = 50$ : la quantité de médicament se stabilise autour de $50$ mg

4)

$q_n > 45 \iff 50 \times 0{,}8^n < 5 \iff 0{,}8^n < 0{,}1$. Or $0{,}8^{10} \approx 0{,}107$ et $0{,}8^{11} \approx 0{,}086$.

Au bout de $11$ heures

1)

$a_{n+1} = 0{,}75\,a_n + 90$

2)

$\ell = 0{,}75\ell + 90 \iff 0{,}25\ell = 90 \iff \ell = 360$ ; $(a_n - 360)$ est géométrique de raison $0{,}75$ et de premier terme $300 - 360 = -60$.

$a_n = 360 - 60 \times 0{,}75^n$

3)

Pour tout $n$, $60 \times 0{,}75^n > 0$ donc $a_n < 360$.

Non, le nombre d'adhérents restera toujours inférieur à $360$

4)

$0 < 0{,}75 < 1$ donc $\lim 0{,}75^n = 0$.

Il se stabilise vers $360$ adhérents