Suites arithmético-géométriques
I - Les suites arithmético-géométriques
Méthode : terme général d'une suite arithmético-géométrique
$u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$ ($a = 2$, $b = 1$).
1 - $\ell = 2\ell + 1 \iff \ell = -1$ ; on pose $v_n = u_n + 1$.
2 - $v_{n+1} = u_{n+1} + 1 = 2u_n + 2 = 2(u_n + 1) = 2v_n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $2$.
3 - $v_0 = u_0 + 1 = 4$ donc $v_n = 4 \times 2^n$.
4 - $u_n = v_n - 1 = 4 \times 2^n - 1$.
II - Limite d'une suite arithmético-géométrique
- Si $0 < a < 1$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$ : la suite converge vers $\ell$.
- Si $a > 1$ et $u_0 \neq \ell$, alors la suite tend vers $+\infty$ si $u_0 > \ell$ et vers $-\infty$ si $u_0 < \ell$.
Exemple
$u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$ : on a trouvé $u_n = 4 \times 2^n - 1$. Comme $2 > 1$ et $4 > 0$, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
$v_0 = 1$ et $v_{n+1} = 0{,}5\,v_n + 2$ : $\ell = \dfrac{2}{1 - 0{,}5} = 4$ et $v_n = -3 \times 0{,}5^n + 4$. Comme $0 < 0{,}5 < 1$, $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 4$.
III - Algorithme de seuil
Pour déterminer le premier rang $n$ à partir duquel $u_n$ dépasse (ou passe sous) une valeur donnée, on calcule les termes successifs à l'aide d'une boucle « tant que ».
Programme en Python : premier rang tel que $v_n > 3{,}9$
v = 1
n = 0
while v <= 3.9:
v = 0.5 * v + 2
n = n + 1
print(n)
Le programme affiche $5$ : en effet $v_4 = 3{,}8125$ et $v_5 = 3{,}90625$.
Arithmetic-geometric sequences
I - Arithmetic-geometric sequences
Method: general term of an arithmetic-geometric sequence
$u_0 = 3$ and $u_{n+1} = 2u_n + 1$ ($a = 2$, $b = 1$).
1 - $\ell = 2\ell + 1 \iff \ell = -1$; let $v_n = u_n + 1$.
2 - $v_{n+1} = u_{n+1} + 1 = 2u_n + 2 = 2(u_n + 1) = 2v_n$: $(v_n)$ is geometric with ratio $2$.
3 - $v_0 = u_0 + 1 = 4$ so $v_n = 4 \times 2^n$.
4 - $u_n = v_n - 1 = 4 \times 2^n - 1$.
II - Limit of an arithmetic-geometric sequence
- If $0 < a < 1$, then $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$: the sequence converges to $\ell$.
- If $a > 1$ and $u_0 \neq \ell$, the sequence tends to $+\infty$ if $u_0 > \ell$ and to $-\infty$ if $u_0 < \ell$.
Example
$u_0 = 3$ and $u_{n+1} = 2u_n + 1$: we found $u_n = 4 \times 2^n - 1$. Since $2 > 1$ and $4 > 0$, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
$v_0 = 1$ and $v_{n+1} = 0.5\,v_n + 2$: $\ell = \dfrac{2}{1 - 0.5} = 4$ and $v_n = -3 \times 0.5^n + 4$. Since $0 < 0.5 < 1$, $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 4$.
III - Threshold algorithm
To find the first rank $n$ from which $u_n$ exceeds (or falls below) a given value, we compute the successive terms with a “while” loop.
Python program: first rank such that $v_n > 3.9$
v = 1
n = 0
while v <= 3.9:
v = 0.5 * v + 2
n = n + 1
print(n)
The program displays $5$: indeed $v_4 = 3.8125$ and $v_5 = 3.90625$.
Sucesiones aritmético-geométricas
I - Las sucesiones aritmético-geométricas
Método: término general de una sucesión aritmético-geométrica
$u_0 = 3$ y $u_{n+1} = 2u_n + 1$ ($a = 2$, $b = 1$).
1 - $\ell = 2\ell + 1 \iff \ell = -1$; se define $v_n = u_n + 1$.
2 - $v_{n+1} = u_{n+1} + 1 = 2u_n + 2 = 2(u_n + 1) = 2v_n$: $(v_n)$ es geométrica de razón $2$.
3 - $v_0 = u_0 + 1 = 4$ así que $v_n = 4 \times 2^n$.
4 - $u_n = v_n - 1 = 4 \times 2^n - 1$.
II - Límite de una sucesión aritmético-geométrica
- Si $0 < a < 1$, entonces $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$: la sucesión converge hacia $\ell$.
- Si $a > 1$ y $u_0 \neq \ell$, la sucesión tiende a $+\infty$ si $u_0 > \ell$ y a $-\infty$ si $u_0 < \ell$.
Ejemplo
$u_0 = 3$ y $u_{n+1} = 2u_n + 1$: se obtuvo $u_n = 4 \times 2^n - 1$. Como $2 > 1$ y $4 > 0$, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
$v_0 = 1$ y $v_{n+1} = 0{,}5\,v_n + 2$: $\ell = \dfrac{2}{1 - 0{,}5} = 4$ y $v_n = -3 \times 0{,}5^n + 4$. Como $0 < 0{,}5 < 1$, $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 4$.
III - Algoritmo de umbral
Para determinar el primer rango $n$ a partir del cual $u_n$ supera (o queda por debajo de) un valor dado, se calculan los términos sucesivos con un bucle «mientras».
Programa en Python: primer rango tal que $v_n > 3{,}9$
v = 1
n = 0
while v <= 3.9:
v = 0.5 * v + 2
n = n + 1
print(n)
El programa muestra $5$: en efecto $v_4 = 3{,}8125$ y $v_5 = 3{,}90625$.