Longueurs et périmètres
1 - Périmètre d'une figure
Définition 1 : Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour. Il s'exprime dans une unité de longueur (mm, cm, m, km, …).
Le périmètre d'un polygone est la somme des longueurs de ses côtés.
- Rectangle de longueur $7$ cm et de largeur $4$ cm : $\mathcal{P} = 7 + 4 + 7 + 4 = 2 \times (7 + 4) = 22$ cm.
- Carré de côté $5$ cm : $\mathcal{P} = 4 \times 5 = 20$ cm.
2 - Périmètre d'un cercle et nombre $\pi$
Propriété 1 : Le périmètre d'un cercle est proportionnel à son diamètre : on obtient toujours le périmètre en multipliant le diamètre par le même nombre, appelé pi et noté $\boldsymbol{\pi}$.
En mesurant le tour de plusieurs objets ronds avec une ficelle, on trouve que le périmètre fait toujours « un peu plus de $3$ fois » le diamètre.
$\pi$ n'est pas un nombre décimal : $\pi = 3{,}141~592~6\dots$ On utilise souvent la valeur approchée $\pi \approx 3{,}14$.
Propriété 2 : Le périmètre $\mathcal{P}$ d'un cercle de diamètre $D$ et de rayon $R$ est : $$\mathcal{P} = \pi \times D \qquad \text{ou} \qquad \mathcal{P} = 2 \times \pi \times R$$
- Cercle de diamètre $10$ cm : $\mathcal{P} = \pi \times 10 \approx 3{,}14 \times 10 \approx 31{,}4$ cm.
- Cercle de rayon $4$ cm : $\mathcal{P} = 2 \times \pi \times 4 \approx 2 \times 3{,}14 \times 4 \approx 25{,}12$ cm.
Remarque : Le diamètre est le double du rayon : $D = 2 \times R$. Les deux formules donnent donc le même résultat. Le périmètre d'un cercle s'appelle aussi sa longueur.
3 - Périmètre d'une figure composée
Propriété 3 : Pour calculer le périmètre d'une figure composée, on repère les morceaux qui forment son contour (segments, demi-cercles, …) et on additionne leurs longueurs. On ne compte pas les traits intérieurs.
La figure est formée d'un rectangle et d'un demi-cercle de diamètre $6$ cm.
Longueur du demi-cercle : $\pi \times 6 \div 2 \approx 3{,}14 \times 3 \approx 9{,}42$ cm.
Contour : $6 + 4 + 4 + 9{,}42 = 23{,}42$ cm (le segment en pointillé ne compte pas).