Applications de la proportionnalité
1 - Les échelles
Définition 1 : Une échelle est un rapport de deux distances $x$ et $y$ exprimées dans la même unité, noté $x/y$ ou $x : y$, où $x$ est une distance sur le plan et $y$ la distance réelle correspondante.
Exemples : sur une carte routière, on lit « échelle : $1 : 1\,000\,000$ ». Une longueur de $1$ sur la carte correspond à une longueur de $1\,000\,000$ dans la réalité : c'est une réduction.
Dans un livre de biologie, une puce est dessinée à l'échelle $20/1$ : une longueur de $20$ sur le dessin correspond à $1$ en réalité : c'est un agrandissement.
Remarque : En général, pour une réduction $x = 1$ et $y > 1$ ; pour un agrandissement $x > 1$ et $y = 1$. Les distances sur le plan et les distances réelles sont proportionnelles.
Application : calcul d'une longueur. Quelle distance y a-t-il entre Bayonne et Bordeaux, distantes de $1{,}9$ cm sur une carte à l'échelle $1 : 10\,000\,000$ ?
| Distance sur la carte (cm) | $1$ | $1{,}9$ |
|---|---|---|
| Distance réelle (cm) | $10\,000\,000$ | $?$ |
Produit en croix : $? = \dfrac{1{,}9 \times 10\,000\,000}{1} = 19\,000\,000$ cm. On convertit : $19\,000\,000$ cm $= 190\,000$ m $= 190$ km.
Application : calcul d'une échelle. Quelle est l'échelle d'un plan si $7$ cm sur le plan correspondent à $28$ m en réalité ?
1) Même unité : $28$ m $= 2\,800$ cm.
| Distance sur le plan (cm) | $7$ | $x$ |
|---|---|---|
| Distance réelle (cm) | $2\,800$ | $y$ |
2) Distance plan $<$ distance réelle : c'est une réduction, donc $x = 1$ et $y = \dfrac{2\,800 \times 1}{7} = 400$. L'échelle du plan est $1/400$.
2 - Unités de temps
$1$ h $= 60$ min et $1$ min $= 60$ s, donc $1$ h $= 3\,600$ s. Les durées ne s'écrivent pas en base $10$ : il faut faire attention aux conversions.
Exemples : $2{,}5$ h $= 2{,}5 \times 60 = 150$ min $= 2$ h $30$ min ; $1$ h $45$ min $= 1 + \dfrac{45}{60} = 1{,}75$ h ; $390$ s $= 390 \div 60 = 6{,}5$ min $= 6$ min $30$ s.