Angles du triangle
1 - Le triangle quelconque
Propriété 1 : La somme des angles aux sommets d'un triangle est égale à $180°$.
Justification : par construction, (DE) // (BC). $\widehat{\text{ABC}}$ et $\widehat{\text{BAD}}$ sont alternes-internes ; $\widehat{\text{BCA}}$ et $\widehat{\text{CAE}}$ aussi. Or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, elles forment des angles alternes-internes égaux. Donc $\widehat{\text{ABC}} = \widehat{\text{BAD}}$ et $\widehat{\text{BCA}} = \widehat{\text{CAE}}$. Ainsi $\widehat{\text{BAD}} + \widehat{\text{BAC}} + \widehat{\text{CAE}} = \widehat{\text{DAE}} = 180°$ (angle plat).
Application : calculer la mesure d'un angle. MNP est un triangle tel que $\widehat{\text{MNP}} = 30°$ et $\widehat{\text{MPN}} = 60°$. Prouver que MNP est rectangle en M.
Hypothèse : dans le triangle MNP, $\widehat{\text{MNP}} = 30°$ et $\widehat{\text{MPN}} = 60°$.
Propriété : la somme des angles d'un triangle est égale à $180°$.
Conclusion : $30° + 60° + \widehat{\text{NMP}} = 180°$, donc $\widehat{\text{NMP}} = 180° - 90° = 90°$. Le triangle MNP est rectangle en M.
2 - Le triangle isocèle
Propriété 2 : Si un triangle a deux angles de même mesure, alors il est isocèle en son troisième sommet.
Propriété 3 : Si un triangle est isocèle, alors les angles à la base ont la même mesure.
Exemple 1 : EFG est isocèle en F et $\widehat{\text{FEG}} = 40°$. Les angles à la base sont égaux : $\widehat{\text{EGF}} = 40°$. Puis $\widehat{\text{EFG}} = 180° - (40° + 40°) = 100°$.
Exemple 2 : IJK est isocèle en J et $\widehat{\text{IJK}} = 50°$. On a $\widehat{\text{JKI}} + \widehat{\text{KIJ}} = 180° - 50° = 130°$ et ces deux angles sont égaux, donc $\widehat{\text{JKI}} = \widehat{\text{KIJ}} = 130° \div 2 = 65°$.
3 - Le triangle équilatéral
Propriété 4 : Si un triangle est équilatéral, alors ses trois angles mesurent $60°$.
$180° \div 3 = 60°$
Remarque : Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires (leur somme vaut $90°$).