La symétrie centrale
1 - Figures symétriques
Définition 1 : Deux figures sont symétriques par rapport à un point O si elles se superposent par un demi-tour autour de ce point, appelé centre de symétrie.
Remarque : Deux figures symétriques par rapport à un point ont la même forme : en tournant de $180°$ autour de O, elles se superposent. Elles ont la même aire.
Définition 2 : Le symétrique du point M par rapport au point O est le point M' tel que O est le milieu du segment [MM'].
Construction : on trace la demi-droite [MO), puis on reporte la longueur MO au compas de l'autre côté de O. Le point O est son propre symétrique.
2 - Propriétés de la symétrie centrale
Propriété 1 : Si deux segments sont symétriques par rapport à un point, alors ils ont la même longueur.
Propriété 2 : Si deux droites sont symétriques par rapport à un point, alors elles sont parallèles (ou confondues).
[AB] et [A'B'] sont symétriques par rapport à O : A'B' $=$ AB et (A'B') // (AB).
Propriété 3 : Si deux angles sont symétriques par rapport à un point, alors ils ont la même mesure.
Remarque : La symétrie centrale conserve aussi l'alignement : si A, B et C sont alignés, leurs symétriques A', B' et C' sont alignés.
3 - Construction de figures symétriques
Propriété 4 : Le symétrique du cercle de centre A passant par B est le cercle de centre A' passant par B', où A' et B' sont les symétriques de A et B.
Remarque : Pour construire le symétrique d'une figure complexe, on trace d'abord les symétriques des points particuliers (sommets, centres, points des cercles…), puis on utilise les propriétés précédentes.
Figures connues ayant un centre de symétrie O :