Exercices corrigés : Triangles constructibles
Exercice 1 : Point sur un segment
Le point K appartient au segment [RS]. RK $= 3{,}8$ cm et KS $= 5{,}7$ cm. Calculer RS.
Corrigé détaillé :
RS $=$ RK $+$ KS $= 3{,}8 + 5{,}7 = $ $9{,}5$ cm.
Exercice 2 : Calculer une longueur
Le point M est sur [AB] avec AB $= 12$ cm et MB $= 4{,}5$ cm. Calculer AM.
Corrigé détaillé :
AM $=$ AB $-$ MB $= 12 - 4{,}5 = $ $7{,}5$ cm.
Exercice 3 : Le point appartient-il au segment ?
On donne AB $= 9$ cm, AC $= 4$ cm, CB $= 6$ cm. Le point C appartient-il au segment [AB] ? Et si CB valait $5$ cm ?
Corrigé détaillé :
AC $+$ CB $= 10 > 9$ : non. Avec CB $= 5$ : AC $+$ CB $= 9 = $ AB : oui.
Exercice 4 : Constructible ?
Les triangles suivants sont-ils constructibles ? a) $5$ ; $7$ ; $10$ cm. b) $3$ ; $8$ ; $4$ cm. c) $6$ ; $2{,}5$ ; $3{,}5$ cm.
Corrigé détaillé :
a) $10 < 12$ : oui ; b) $8 > 7$ : non ; c) $6 = 6$ : aplati.
Exercice 5 : Rédiger une justification
Le triangle IJK tel que IJ $= 7{,}5$ cm, JK $= 3{,}2$ cm et IK $= 4{,}1$ cm est-il constructible ? Rédiger en trois étapes (énoncé, cours, conclusion).
Corrigé détaillé :
Plus grand côté [IJ] ; JK $+$ IK $= 7{,}3$ cm $< 7{,}5$ cm. Un triangle est constructible si son plus grand côté est inférieur à la somme des deux autres. Donc IJK n'est pas constructible.
Exercice 6 : Troisième côté
Dans un triangle ABC, AB $= 9$ cm et AC $= 5$ cm. Entre quelles valeurs la longueur BC peut-elle varier pour que le triangle soit constructible (non aplati) ?
Corrigé détaillé :
BC $< 9 + 5 = 14$ et $9 < $ BC $+ 5$ donc BC $> 4$ : $4$ cm $<$ BC $< 14$ cm.
Exercice 7 : Construire
Construire le triangle DEF tel que DE $= 6$ cm, EF $= 4$ cm et DF $= 5$ cm. Décrire la construction.
Corrigé détaillé :
On trace [DE] de $6$ cm ; arc de centre D de rayon $5$ cm ; arc de centre E de rayon $4$ cm ; F est l'intersection des arcs. Le triangle existe car $6 < 9$.
Exercice 8 : Les trois villes
Trois villes A, B et C : AB $= 35$ km, BC $= 20$ km. Un panneau indique AC $= 60$ km. Est-ce possible ?
Corrigé détaillé :
AB $+$ BC $= 55$ km $< 60$ km : en passant par B, on irait plus vite que « tout droit ». Ce n'est pas possible (à vol d'oiseau).
Exercice 9 : Triangle isocèle
Un triangle isocèle a deux côtés de $4$ cm. Quelles longueurs entières peut avoir le troisième côté (triangle non aplati) ?
Corrigé détaillé :
Le 3e côté doit être $< 8$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ ; $6$ ou $7$ cm.
Exercice 10 : Problème : la clôture
Paul veut faire un enclos triangulaire avec $3$ planches de $1{,}5$ m, $2{,}4$ m et $4$ m. a) Est-ce possible ? b) Il remplace la planche de $4$ m par une de $3{,}9$ m : et maintenant ?
Corrigé détaillé :
a) $1{,}5 + 2{,}4 = 3{,}9 < 4$ : non. b) $3{,}9 = 3{,}9$ : triangle aplati, toujours impossible.