Les nombres relatifs
Pour résoudre certains problèmes, on a eu besoin de nouveaux nombres : les nombres négatifs. L'ensemble des nombres positifs et des nombres négatifs s'appelle l'ensemble des nombres relatifs.
Un nombre relatif est composé d'un signe ($+$ ou $-$) suivi d'une valeur numérique. On l'écrit en général entre parenthèses pour éviter les confusions de signe.
$(+4)$, $(-7)$, $(+1{,}52)$, $(-0{,}34)$, $(+7~213)$…
Remarque : Le nombre zéro s'écrit simplement $0$. Les nombres utilisés jusqu'ici sont les nombres positifs : $4 = (+4)$ ; $2{,}5 = (+2{,}5)$…
1 - La droite graduée
On choisit un point origine O et un point I qui détermine l'unité : $\text{OI} = 1$. Les points d'abscisses négatives sont à gauche de zéro, ceux d'abscisses positives à droite.
La valeur numérique d'un nombre relatif représente sa distance à zéro. Le point M a pour abscisse $(-2)$ : il est à gauche de zéro et $\text{OM} = 2$.
Définition 1 : On appelle nombres opposés deux nombres de signes contraires qui ont la même valeur numérique.
$(-8)$ est l'opposé de $(+8)$ ; $(+5)$ est l'opposé de $(-5)$. Conséquence : si A et A' ont des abscisses opposées, O est le milieu de $[\text{AA}']$.
Pour comparer deux nombres de la droite graduée, le nombre le plus à droite est le plus grand.
$0 > (-1{,}5)$ ; $(+1) < (+1{,}5)$ ; $(+2) > (-3)$ ; $(-1) > (-2)$ ; $(+4) < (+5)$
Notation : On utilise aussi le symbole $\ge$ qui se lit supérieur ou égal et le symbole $\le$ qui se lit inférieur ou égal : $(+3) \ge (+2)$, $(+3) \ge (+3)$, $(+2) \le (+3)$.
2 - Repérage dans le plan
Pour repérer un point du plan, on utilise deux axes gradués sécants en O (en général perpendiculaires). O est l'origine du repère. Un point est repéré par deux coordonnées : la 1re est l'abscisse (axe (OI)), la 2e est l'ordonnée (axe (OJ)).
Notation : Les coordonnées d'un point se notent entre parenthèses, en commençant toujours par l'abscisse : M (abscisse ; ordonnée).
Remarque : Sur le graphique : O$(0~;~0)$ ; I$(1~;~0)$ ; J$(0~;~1)$ ; A$(2~;~3)$ ; B$(-2~;~1)$ ; C$(2~;~-2)$ ; D$(-4~;~-2)$. Pour les coordonnées, on écrit les relatifs sans parenthèses et sans le signe $+$.