Exercices corrigés : Statistiques
Exercice 1 : Moyenne simple
Voici les notes obtenues par un élève au cours du trimestre :
$$12 \quad 15 \quad 8 \quad 14 \quad 11 \quad 16$$
Calculer la note moyenne de cet élève.
Corrigé :
On additionne toutes les valeurs et on divise par le nombre total de notes ($N = 6$) :
$S = 12 + 15 + 8 + 14 + 11 + 16 = 76$.
Moyenne : $M = \dfrac{76}{6} = \dfrac{38}{3} \approx$ 12,67 / 20.
Exercice 2 : Moyenne pondérée
Le tableau ci-dessous donne la répartition des notes à un devoir :
| Note | 8 | 10 | 12 | 15 | 18 |
| Effectif | 3 | 7 | 8 | 5 | 2 |
1) Quel est l'effectif total ?
2) Calculer la moyenne pondérée de la classe.
Corrigé :
1) Effectif total : $N = 3 + 7 + 8 + 5 + 2 =$ 25 élèves.
2) Somme des produits note $\times$ effectif :
$S = (8 \times 3) + (10 \times 7) + (12 \times 8) + (15 \times 5) + (18 \times 2)$
$S = 24 + 70 + 96 + 75 + 36 = 301$.
Moyenne : $M = \dfrac{301}{25} =$ 12,04 / 20.
Exercice 3 : Médiane d'une série avec effectif impair
Voici le nombre de livres lus par 9 élèves pendant les vacances :
$$5 \quad 2 \quad 7 \quad 1 \quad 4 \quad 8 \quad 3 \quad 2 \quad 6$$
1) Ordonner la série par ordre croissant.
2) Déterminer la médiane de cette série et interpréter le résultat.
Corrigé :
1) Série ordonnée (9 valeurs) :
$$1 \;\le\; 2 \;\le\; 2 \;\le\; 3 \;\le\; 4 \;\le\; 5 \;\le\; 6 \;\le\; 7 \;\le\; 8$$
2) L'effectif total est $N = 9$ (impair). La médiane est la $5^e$ valeur ($9 = 4 + 1 + 4$).
La $5^e$ valeur est 4.
Médiane : Me = 4 livres.
Interprétation : Au moins $50\,\%$ des élèves ont lu 4 livres ou moins, et au moins $50\,\%$ ont lu 4 livres ou plus.
Exercice 4 : Médiane d'une série avec effectif pair
Voici les températures maximales (en °C) relevées pendant 8 jours :
$$18 \quad 22 \quad 15 \quad 19 \quad 24 \quad 17 \quad 20 \quad 21$$
Déterminer la médiane de cette série.
Corrigé :
• On range la série par ordre croissant (8 valeurs) :
$$15 \;\le\; 17 \;\le\; 18 \;\le\; 19 \;\le\; 20 \;\le\; 21 \;\le\; 22 \;\le\; 24$$
• L'effectif total est $N = 8$ (pair). La médiane se situe entre la $4^e$ valeur ($19$) et la $5^e$ valeur ($20$).
On calcule la demi-somme :
$Me = \dfrac{19 + 20}{2} =$ 19,5 °C.
Exercice 5 : Étendue d'une série statistique
On considère les deux séries de notes suivantes obtenues par deux élèves A et B :
Élève A : $10 \quad 11 \quad 12 \quad 10 \quad 12$
Élève B : $4 \quad 18 \quad 7 \quad 19 \quad 7$
1) Calculer la moyenne de chaque élève.
2) Calculer l'étendue des notes de chaque élève. Comparer les deux profils.
Corrigé :
1) Moyennes :
• Élève A : $M_A = \dfrac{10+11+12+10+12}{5} = \dfrac{55}{5} =$ 11 / 20.
• Élève B : $M_B = \dfrac{4+18+7+19+7}{5} = \dfrac{55}{5} =$ 11 / 20.
Les deux élèves ont exactement la même moyenne.
2) Étendues (valeur maximale $-$ valeur minimale) :
• Élève A : $E_A = 12 - 10 =$ 2 points.
• Élève B : $E_B = 19 - 4 =$ 15 points.
L'élève A est très régulier, tandis que l'élève B est très irrégulier.
Exercice 6 : Tableau d'effectifs et fréquences
On a interrogé 50 personnes sur leur moyen de transport pour aller au travail :
Voiture : 22 ; Transports en commun : 16 ; Vélo : 8 ; Marche : 4.
Calculer la fréquence (en pourcentage) de chaque moyen de transport.
Corrigé :
Effectif total $N = 50$. Formule : $f = \dfrac{\text{effectif}}{50} \times 100\,\%$.
• Voiture : $\dfrac{22}{50} = \dfrac{44}{100} =$ 44 %
• Transports en commun : $\dfrac{16}{50} = \dfrac{32}{100} =$ 32 %
• Vélo : $\dfrac{8}{50} = \dfrac{16}{100} =$ 16 %
• Marche : $\dfrac{4}{50} = \dfrac{8}{100} =$ 8 %
(Vérification : $44 + 32 + 16 + 8 = 100\,\%$).
Exercice 7 : Diagramme circulaire et angles
Pour représenter la répartition des 50 personnes de l'exercice précédent dans un diagramme circulaire ($360^\circ$) :
Calculer la mesure en degrés de l'angle de chaque secteur.
Corrigé :
Coefficient de proportionnalité : $\dfrac{360^\circ}{50} = 7{,}2^\circ$ par personne (ou angle $= \text{fréquence} \times 360^\circ$).
• Voiture ($44\,\%$) : $0{,}44 \times 360^\circ =$ 158,4°
• Transports ($32\,\%$) : $0{,}32 \times 360^\circ =$ 115,2°
• Vélo ($16\,\%$) : $0{,}16 \times 360^\circ =$ 57,6°
• Marche ($8\,\%$) : $0{,}08 \times 360^\circ =$ 28,8°
(Vérification : $158{,}4 + 115{,}2 + 57{,}6 + 28{,}8 = 360^\circ$).
Exercice 8 : Effectifs cumulés croissants et médiane
On a relevé le nombre d'heures passées sur écran par jour chez 40 collégiens :
| Heures | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Effectif | 6 | 12 | 14 | 5 | 3 |
1) Construire la ligne des effectifs cumulés croissants (ECC).
2) En déduire la médiane de cette série.
Corrigé :
1) Ligne des Effectifs Cumulés Croissants (ECC) :
• Pour 1 h : $6$
• Pour 2 h : $6 + 12 = 18$
• Pour 3 h : $18 + 14 = 32$
• Pour 4 h : $32 + 5 = 37$
• Pour 5 h : $37 + 3 = 40$
2) L'effectif total est $N = 40$. La moitié est $\dfrac{40}{2} = 20$.
La médiane se situe entre la $20^e$ et la $21^e$ valeur.
D'après la ligne des ECC :
- Les 18 premières valeurs sont $\le 2\text{ h}$.
- De la $19^e$ à la $32^e$ valeur, la valeur est $3\text{ h}$.
La $20^e$ et la $21^e$ valeur sont donc toutes deux égales à 3.
Conclusion : Médiane = 3 heures.