Exercices corrigés : Équations du premier degré
Exercice 1 : Vérification de solution
On considère l'égalité $3x - 5 = 2x + 4$.
1) Le nombre $x = 2$ est-il solution de cette équation ?
2) Le nombre $x = 9$ est-il solution de cette équation ?
Corrigé :
1) Pour $x = 2$ :
Membre de gauche : $3 \times 2 - 5 = 6 - 5 = 1$.
Membre de droite : $2 \times 2 + 4 = 4 + 4 = 8$.
Comme $1 \neq 8$, 2 n'est pas solution de l'équation.
2) Pour $x = 9$ :
Membre de gauche : $3 \times 9 - 5 = 27 - 5 = 22$.
Membre de droite : $2 \times 9 + 4 = 18 + 4 = 22$.
Les deux membres sont égaux, donc 9 est bien solution de l'équation.
Exercice 2 : Équations de base : $x + a = b$ et $ax = b$
Résoudre les équations suivantes :
1) $x + 8 = 3$
2) $x - 7 = -12$
3) $4x = 28$
4) $-5x = 35$
Corrigé :
1) $x = 3 - 8 \implies$ $$x = -5$$
2) $x = -12 + 7 \implies$ $$x = -5$$
3) $x = \dfrac{28}{4} \implies$ $$x = 7$$
4) $x = \dfrac{35}{-5} \implies$ $$x = -7$$
Exercice 3 : Équations à deux étapes : $ax + b = c$
Résoudre les équations suivantes :
1) $3x + 7 = 25$
2) $5x - 9 = -24$
3) $-2x + 11 = 3$
Corrigé :
1) $3x = 25 - 7 = 18 \iff x = \dfrac{18}{3} \implies$ $$x = 6$$
2) $5x = -24 + 9 = -15 \iff x = \dfrac{-15}{5} \implies$ $$x = -3$$
3) $-2x = 3 - 11 = -8 \iff x = \dfrac{-8}{-2} \implies$ $$x = 4$$
Exercice 4 : Inconnue dans les deux membres : $ax + b = cx + d$
Résoudre les équations suivantes :
1) $7x - 4 = 3x + 12$
2) $2x + 9 = 5x - 6$
3) $4 - 3x = 2x - 11$
Corrigé :
1) $7x - 3x = 12 + 4 \iff 4x = 16 \implies$ $$x = 4$$
2) $2x - 5x = -6 - 9 \iff -3x = -15 \implies x = \dfrac{-15}{-3} \implies$ $$x = 5$$
3) $-3x - 2x = -11 - 4 \iff -5x = -15 \implies x = \dfrac{-15}{-5} \implies$ $$x = 3$$
Exercice 5 : Équations avec parenthèses
Résoudre les équations en développant préalablement :
1) $2(x + 3) = 14$
2) $3(2x - 1) = 4x + 7$
3) $5(x - 2) - 2(3x + 1) = 0$
Corrigé :
1) $2x + 6 = 14 \iff 2x = 8 \implies$ $$x = 4$$
2) $6x - 3 = 4x + 7 \iff 6x - 4x = 7 + 3 \iff 2x = 10 \implies$ $$x = 5$$
3) $5x - 10 - 6x - 2 = 0 \iff -x - 12 = 0 \iff -x = 12 \implies$ $$x = -12$$
Exercice 6 : Problème géométrique : dimensions d'un rectangle
Un rectangle a une longueur qui mesure $4\text{ cm}$ de plus que sa largeur. Son périmètre total est de $36\text{ cm}$.
1) En appelant $x$ la largeur du rectangle, exprimer sa longueur en fonction de $x$.
2) Écrire une équation traduisant le problème.
3) Résoudre l'équation et en déduire les dimensions du rectangle.
Corrigé :
1) Longueur : $L = x + 4$.
2) Périmètre : $P = 2 \times (\text{largeur} + \text{longueur}) = 2(x + x + 4) = 4x + 8$.
L'équation est : $$4x + 8 = 36$$
3) Résolution : $4x = 36 - 8 = 28 \implies x = 7$.
Largeur = 7 cm et Longueur = $7 + 4 =$ 11 cm.
(Vérification : $2 \times (7 + 11) = 36\text{ cm}$).
Exercice 7 : Problème d'âges
Thomas a 3 ans de plus que sa sœur Léa. Leur père a le triple de l'âge de Thomas. La somme de leurs trois âges est égale à 67 ans.
Quel est l'âge de chacun ?
Corrigé :
• Choix de l'inconnue : Soit $x$ l'âge de Léa.
Âge de Thomas : $x + 3$.
Âge du père : $3(x + 3) = 3x + 9$.
• Équation :
$x + (x + 3) + (3x + 9) = 67$
$5x + 12 = 67 \iff 5x = 55 \implies x = 11$.
• Conclusion :
- Léa a 11 ans
- Thomas a 14 ans ($11 + 3$)
- Le père a 42 ans ($3 \times 14$)
(Vérification : $11 + 14 + 42 = 67$).
Exercice 8 : Équations produit nul
Résoudre les équations produit nul suivantes :
1) $(x - 4)(x + 7) = 0$
2) $(2x - 6)(3x + 15) = 0$
3) $x(5 - 2x) = 0$
Corrigé :
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
1) $x - 4 = 0$ ou $x + 7 = 0 \implies$ $$S = \{-7 \;;\; 4\}$$
2) $2x - 6 = 0 \implies x = 3$, ou $3x + 15 = 0 \implies x = -5$.
Donc : $$S = \{-5 \;;\; 3\}$$
3) $x = 0$ ou $5 - 2x = 0 \implies 2x = 5 \implies x = 2{,}5$.
Donc : $$S = \{0 \;;\; 2{,}5\}$$