Une équation est une égalité qui comporte un nombre inconnu, que l'on représente généralement par une lettre ($x$, $t$, $a$, ...).
Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de l'inconnue qui vérifie l'égalité (cette valeur est appelée solution).
Explication : L'analogie de la balance
Les deux membres d'une égalité sont comme les deux plateaux d'une balance dont l'équilibre doit être conservé en permanence : tout changement sur l'un doit être répercuté sur l'autre.
Propriété 1 (Addition & Soustraction) : Une égalité reste vraie lorsqu'on ajoute ou qu'on soustrait un même nombre aux deux membres de cette égalité.
$$\text{Si } a = b \text{ alors } a + c = b + c \quad \text{et} \quad a - c = b - c$$
Propriété 2 (Multiplication & Division) : Une égalité reste vraie lorsqu'on multiplie ou qu'on divise les deux membres par un même nombre différent de zéro.
$$\text{Si } a = b \text{ alors } a \times c = b \times c \quad \text{et} \quad \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c} \quad (c \neq 0)$$
Application 2 : Trouver la valeur de $1x$
• Si $3x = 7$, alors $\dfrac{3x}{3} = \dfrac{7}{3}$ d'où $x = \dfrac{7}{3}$.
• Si $-\dfrac{5}{2}x = 4$, on multiplie par $-\dfrac{2}{5}$ : d'où $x = 4 \times \left(-\dfrac{2}{5}\right) = -\dfrac{8}{5}$.
Méthode générale : Résoudre une équation
Exemple complet : Résoudre $3x + 2 = -7x + 5$
Étape 1 : Regrouper les termes en $x$ d'un côté et les nombres de l'autre.
On ajoute $7x$ aux deux membres :
$3x + 7x + 2 = -7x + 7x + 5 \implies 10x + 2 = 5$
On soustrait 2 aux deux membres :
$10x + 2 - 2 = 5 - 2 \implies 10x = 3$
Étape 2 : Isoler l'inconnue $x$ (trouver $1x$).
On divise chaque membre par 10 :
$$x = \dfrac{3}{10}$$
Étape 3 : Conclure avec une phrase.
La solution de l'équation est $\dfrac{3}{10}$ (soit $0{,}3$).
Étape 4 : Vérification (conseillée).
Membre de gauche : $3 \times 0{,}3 + 2 = 0{,}9 + 2 = 2{,}9$
Membre de droite : $-7 \times 0{,}3 + 5 = -2{,}1 + 5 = 2{,}9$
Les deux membres sont égaux, la solution est vérifiée !
Une équation est une égalité qui comporte un nombre inconnu, que l'on représente généralement par une lettre ($x$, $t$, $a$, ...).
Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de l'inconnue qui vérifie l'égalité (cette valeur est appelée solution).
Explication : The Balance Scale Analogy
Les deux membres d'une égalité sont comme les deux plateaux d'une balance dont l'équilibre doit être conservé en permanence : tout changement sur l'un doit être répercuté sur l'autre.
Propriété 1 (Addition & Soustraction) : Une égalité reste vraie lorsqu'on ajoute ou qu'on soustrait un même nombre aux deux membres de cette égalité.
$$\text{Si } a = b \text{ alors } a + c = b + c \quad \text{et} \quad a - c = b - c$$
Propriété 2 (Multiplication & Division) : Une égalité reste vraie lorsqu'on multiplie ou qu'on divise les deux membres par un même nombre différent de zéro.
$$\text{Si } a = b \text{ alors } a \times c = b \times c \quad \text{et} \quad \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c} \quad (c \neq 0)$$
Application 2 : Trouver la valeur de $1x$
• Si $3x = 7$, alors $\dfrac{3x}{3} = \dfrac{7}{3}$ d'où $x = \dfrac{7}{3}$.
• Si $-\dfrac{5}{2}x = 4$, on multiplie par $-\dfrac{2}{5}$ : d'où $x = 4 \times \left(-\dfrac{2}{5}\right) = -\dfrac{8}{5}$.
General Method : Résoudre une équation
Exemple complet : Résoudre $3x + 2 = -7x + 5$
Étape 1 : Regrouper les termes en $x$ d'un côté et les nombres de l'autre.
On ajoute $7x$ aux deux membres :
$3x + 7x + 2 = -7x + 7x + 5 \implies 10x + 2 = 5$
On soustrait 2 aux deux membres :
$10x + 2 - 2 = 5 - 2 \implies 10x = 3$
Étape 2 : Isoler l'inconnue $x$ (trouver $1x$).
On divise chaque membre par 10 :
$$x = \dfrac{3}{10}$$
Étape 3 : Conclure avec une phrase.
La solution de l'équation est $\dfrac{3}{10}$ (soit $0{,}3$).
Étape 4 : Vérification (conseillée).
Membre de gauche : $3 \times 0{,}3 + 2 = 0{,}9 + 2 = 2{,}9$
Membre de droite : $-7 \times 0{,}3 + 5 = -2{,}1 + 5 = 2{,}9$
Les deux membres sont égaux, la solution est vérifiée !
Une équation est une égalité qui comporte un nombre inconnu, que l'on représente généralement par une lettre ($x$, $t$, $a$, ...).
Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de l'inconnue qui vérifie l'égalité (cette valeur est appelée solution).
Explication : La analogía de la balanza
Les deux membres d'une égalité sont comme les deux plateaux d'une balance dont l'équilibre doit être conservé en permanence : tout changement sur l'un doit être répercuté sur l'autre.
Propriété 1 (Addition & Soustraction) : Une égalité reste vraie lorsqu'on ajoute ou qu'on soustrait un même nombre aux deux membres de cette égalité.
$$\text{Si } a = b \text{ alors } a + c = b + c \quad \text{et} \quad a - c = b - c$$
Propriété 2 (Multiplication & Division) : Une égalité reste vraie lorsqu'on multiplie ou qu'on divise les deux membres par un même nombre différent de zéro.
$$\text{Si } a = b \text{ alors } a \times c = b \times c \quad \text{et} \quad \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c} \quad (c \neq 0)$$
Application 2 : Trouver la valeur de $1x$
• Si $3x = 7$, alors $\dfrac{3x}{3} = \dfrac{7}{3}$ d'où $x = \dfrac{7}{3}$.
• Si $-\dfrac{5}{2}x = 4$, on multiplie par $-\dfrac{2}{5}$ : d'où $x = 4 \times \left(-\dfrac{2}{5}\right) = -\dfrac{8}{5}$.
Método general : Résoudre une équation
Exemple complet : Résoudre $3x + 2 = -7x + 5$
Étape 1 : Regrouper les termes en $x$ d'un côté et les nombres de l'autre.
On ajoute $7x$ aux deux membres :
$3x + 7x + 2 = -7x + 7x + 5 \implies 10x + 2 = 5$
On soustrait 2 aux deux membres :
$10x + 2 - 2 = 5 - 2 \implies 10x = 3$
Étape 2 : Isoler l'inconnue $x$ (trouver $1x$).
On divise chaque membre par 10 :
$$x = \dfrac{3}{10}$$
Étape 3 : Conclure avec une phrase.
La solution de l'équation est $\dfrac{3}{10}$ (soit $0{,}3$).
Étape 4 : Vérification (conseillée).
Membre de gauche : $3 \times 0{,}3 + 2 = 0{,}9 + 2 = 2{,}9$
Membre de droite : $-7 \times 0{,}3 + 5 = -2{,}1 + 5 = 2{,}9$
Les deux membres sont égaux, la solution est vérifiée !
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