Exercices corrigés : Exercices corrigés : Fonctions linéaires - 3ème
Exercice 1 : Exercice 1 : Reconnaître une fonction linéaire
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions linéaires ? Préciser leur coefficient le cas échéant :
a) $f(x) = 3{,}5x$
b) $g(x) = 2x - 4$
c) $h(x) = -\dfrac{2}{3}x$
d) $k(x) = x^2$
a) $f(x) = 3{,}5x$
b) $g(x) = 2x - 4$
c) $h(x) = -\dfrac{2}{3}x$
d) $k(x) = x^2$
Corrigé détaillé :
Une fonction linéaire s'écrit sous la forme $f(x) = ax$ :
a) $f(x) = 3{,}5x$ est linéaire de coefficient $a = 3{,}5$.
b) $g(x) = 2x - 4$ est une fonction affine non linéaire ($b = -4 \neq 0$).
c) $h(x) = -\dfrac{2}{3}x$ est linéaire de coefficient $a = -\dfrac{2}{3}$.
d) $k(x) = x^2$ n'est pas linéaire ($x$ est au carré).
Les fonctions linéaires sont $f$ (avec $a = 3{,}5$) et $h$ (avec $a = -\dfrac{2}{3}$).
a) $f(x) = 3{,}5x$ est linéaire de coefficient $a = 3{,}5$.
b) $g(x) = 2x - 4$ est une fonction affine non linéaire ($b = -4 \neq 0$).
c) $h(x) = -\dfrac{2}{3}x$ est linéaire de coefficient $a = -\dfrac{2}{3}$.
d) $k(x) = x^2$ n'est pas linéaire ($x$ est au carré).
Les fonctions linéaires sont $f$ (avec $a = 3{,}5$) et $h$ (avec $a = -\dfrac{2}{3}$).
Exercice 2 : Exercice 2 : Déterminer le coefficient d'une fonction linéaire
Soit $f$ une fonction linéaire telle que $f(4) = -14$.
1) Déterminer l'expression de $f(x)$.
2) En déduire la valeur de $f(7)$ et de $f(-3)$.
1) Déterminer l'expression de $f(x)$.
2) En déduire la valeur de $f(7)$ et de $f(-3)$.
Corrigé détaillé :
1) Comme $f$ est linéaire, $f(x) = ax$.
$$f(4) = 4a = -14 \implies a = \dfrac{-14}{4} = -3{,}5$$
L'expression est $f(x) = -3{,}5x$.
2) Calculs :
$f(7) = -3{,}5 \times 7 = -24{,}5$
$f(-3) = -3{,}5 \times (-3) = 10{,}5$
On a $f(7) = -24{,}5$ et $f(-3) = 10{,}5$.
$$f(4) = 4a = -14 \implies a = \dfrac{-14}{4} = -3{,}5$$
L'expression est $f(x) = -3{,}5x$.
2) Calculs :
$f(7) = -3{,}5 \times 7 = -24{,}5$
$f(-3) = -3{,}5 \times (-3) = 10{,}5$
On a $f(7) = -24{,}5$ et $f(-3) = 10{,}5$.
Exercice 3 : Exercice 3 : Antécédent par une fonction linéaire
Soit la fonction linéaire $g(x) = \dfrac{3}{5}x$.
1) Quel est l'antécédent de $12$ par $g$ ?
2) Quel est l'antécédent de $-9$ par $g$ ?
1) Quel est l'antécédent de $12$ par $g$ ?
2) Quel est l'antécédent de $-9$ par $g$ ?
Corrigé détaillé :
1) On résout $g(x) = 12$ :
$$\dfrac{3}{5}x = 12 \implies x = 12 \times \dfrac{5}{3} = 4 \times 5 = 20$$
L'antécédent de $12$ est $20$.
2) On résout $g(x) = -9$ :
$$\dfrac{3}{5}x = -9 \implies x = -9 \times \dfrac{5}{3} = -3 \times 5 = -15$$
L'antécédent de $-9$ est $-15$.
$$\dfrac{3}{5}x = 12 \implies x = 12 \times \dfrac{5}{3} = 4 \times 5 = 20$$
L'antécédent de $12$ est $20$.
2) On résout $g(x) = -9$ :
$$\dfrac{3}{5}x = -9 \implies x = -9 \times \dfrac{5}{3} = -3 \times 5 = -15$$
L'antécédent de $-9$ est $-15$.
Exercice 4 : Exercice 4 : Représentation graphique
Soit la fonction linéaire $f(x) = -2x$.
1) Quelle est la nature de sa représentation graphique ? Par quel point particulier passe-t-elle ?
2) Donner les coordonnées d'un second point permettant de tracer cette droite.
3) Le point $C(5 ; -10)$ appartient-il à cette droite ?
1) Quelle est la nature de sa représentation graphique ? Par quel point particulier passe-t-elle ?
2) Donner les coordonnées d'un second point permettant de tracer cette droite.
3) Le point $C(5 ; -10)$ appartient-il à cette droite ?
Corrigé détaillé :
1) La représentation graphique est une droite qui passe par l'origine $O(0 ; 0)$.
2) Pour $x = 1$, on a $f(1) = -2(1) = -2$. Un second point est par exemple $A(1 ; -2)$ (ou $B(-2 ; 4)$).
3) Pour $x = 5$, $f(5) = -2 \times 5 = -10 = y_C$. Le point $C(5 ; -10)$ appartient bien à la droite.
2) Pour $x = 1$, on a $f(1) = -2(1) = -2$. Un second point est par exemple $A(1 ; -2)$ (ou $B(-2 ; 4)$).
3) Pour $x = 5$, $f(5) = -2 \times 5 = -10 = y_C$. Le point $C(5 ; -10)$ appartient bien à la droite.
Exercice 5 : Exercice 5 : Lecture graphique du coefficient
La droite $(d)$ représente une fonction linéaire $f$ dans un repère. Elle passe par l'origine $O(0 ; 0)$ et par le point $P(3 ; 6)$.
1) Déterminer graphiquement ou par le calcul le coefficient directeur de la droite $(d)$.
2) Donner l'expression algébrique de $f(x)$.
1) Déterminer graphiquement ou par le calcul le coefficient directeur de la droite $(d)$.
2) Donner l'expression algébrique de $f(x)$.
Corrigé détaillé :
1) Le coefficient directeur d'une droite passant par l'origine est :
$$a = \dfrac{y_P - y_O}{x_P - x_O} = \dfrac{6 - 0}{3 - 0} = \dfrac{6}{3} = 2$$
Le coefficient directeur est $a = 2$.
2) L'expression de la fonction est $f(x) = 2x$.
$$a = \dfrac{y_P - y_O}{x_P - x_O} = \dfrac{6 - 0}{3 - 0} = \dfrac{6}{3} = 2$$
Le coefficient directeur est $a = 2$.
2) L'expression de la fonction est $f(x) = 2x$.
Exercice 6 : Exercice 6 : Pourcentage comme fonction linéaire
Un magasin accorde une réduction de $15\%$ sur tous ses articles.
1) Exprimer le montant de la réduction $R(x)$ en fonction du prix initial $x$.
2) Exprimer le prix soldé $P(x)$ en fonction de $x$.
3) Les fonctions $R$ et $P$ sont-elles linéaires ? Si oui, donner leurs coefficients.
1) Exprimer le montant de la réduction $R(x)$ en fonction du prix initial $x$.
2) Exprimer le prix soldé $P(x)$ en fonction de $x$.
3) Les fonctions $R$ et $P$ sont-elles linéaires ? Si oui, donner leurs coefficients.
Corrigé détaillé :
1) La réduction est $15\%$ de $x$, soit $R(x) = \dfrac{15}{100}x = 0{,}15x$.
2) Le prix soldé est $P(x) = x - 0{,}15x = (1 - 0{,}15)x = 0{,}85x$.
3) Oui, ce sont deux fonctions linéaires :
- $R(x) = 0{,}15x$ a pour coefficient $a = 0{,}15$.
- $P(x) = 0{,}85x$ a pour coefficient $a = 0{,}85$.
2) Le prix soldé est $P(x) = x - 0{,}15x = (1 - 0{,}15)x = 0{,}85x$.
3) Oui, ce sont deux fonctions linéaires :
- $R(x) = 0{,}15x$ a pour coefficient $a = 0{,}15$.
- $P(x) = 0{,}85x$ a pour coefficient $a = 0{,}85$.
Exercice 7 : Exercice 7 : Situation concrète (salaire proportionnel)
Un étudiant est payé $11{,}50\text{ €}$ de l'heure pour du soutien scolaire.
1) Exprimer son salaire $S(x)$ en euros en fonction du nombre d'heures $x$ travaillées.
2) Combien gagne-t-il pour $16$ heures de cours ?
3) Combien d'heures doit-il travailler pour gagner $414\text{ €}$ ?
1) Exprimer son salaire $S(x)$ en euros en fonction du nombre d'heures $x$ travaillées.
2) Combien gagne-t-il pour $16$ heures de cours ?
3) Combien d'heures doit-il travailler pour gagner $414\text{ €}$ ?
Corrigé détaillé :
1) Le salaire est proportionnel aux heures : $S(x) = 11{,}5x$.
2) Pour $x = 16$ heures :
$$S(16) = 11{,}5 \times 16 = 184\text{ €}$$
Il gagne $184\text{ €}$.
3) Pour gagner $414\text{ €}$ :
$$11{,}5x = 414 \implies x = \dfrac{414}{11{,}5} = 36\text{ heures}$$
Il doit travailler $36\text{ heures}$.
2) Pour $x = 16$ heures :
$$S(16) = 11{,}5 \times 16 = 184\text{ €}$$
Il gagne $184\text{ €}$.
3) Pour gagner $414\text{ €}$ :
$$11{,}5x = 414 \implies x = \dfrac{414}{11{,}5} = 36\text{ heures}$$
Il doit travailler $36\text{ heures}$.
Exercice 8 : Exercice 8 : Déterminer la fonction à partir de points
La droite $(d)$ représente une fonction linéaire $f$ et passe par le point $E(-4 ; 10)$.
1) Déterminer l'expression de $f(x)$.
2) Le point $F(6 ; -15)$ appartient-il à $(d)$ ?
3) Calculer l'abscisse du point $G$ de $(d)$ d'ordonnée $25$.
1) Déterminer l'expression de $f(x)$.
2) Le point $F(6 ; -15)$ appartient-il à $(d)$ ?
3) Calculer l'abscisse du point $G$ de $(d)$ d'ordonnée $25$.
Corrigé détaillé :
1) Comme $f$ est linéaire, $f(x) = ax$.
$$a = \dfrac{10}{-4} = -2{,}5 \implies f(x) = -2{,}5x$$
L'expression est $f(x) = -2{,}5x$.
2) Pour $x = 6$, $f(6) = -2{,}5 \times 6 = -15 = y_F$. Le point $F$ appartient bien à la droite $(d)$.
3) On résout $f(x_G) = 25$ :
$$-2{,}5x_G = 25 \implies x_G = \dfrac{25}{-2{,}5} = -10$$
L'abscisse de $G$ est $x_G = -10$.
$$a = \dfrac{10}{-4} = -2{,}5 \implies f(x) = -2{,}5x$$
L'expression est $f(x) = -2{,}5x$.
2) Pour $x = 6$, $f(6) = -2{,}5 \times 6 = -15 = y_F$. Le point $F$ appartient bien à la droite $(d)$.
3) On résout $f(x_G) = 25$ :
$$-2{,}5x_G = 25 \implies x_G = \dfrac{25}{-2{,}5} = -10$$
L'abscisse de $G$ est $x_G = -10$.