La fonction linéaire

Définition 1 :

On appelle fonction linéaire $f$ une relation qui à tout nombre $x$ associe le nombre $f(x)$ vérifiant $f(x) = ax$ où $a$ est un nombre donné.

$$f : x \mapsto ax$$

Lien avec la proportionnalité :

Une fonction linéaire modélise une situation de proportionnalité de coefficient $a$ :

Application 1 : Calculer une image et un antécédent

Soit $f$ la fonction linéaire définie par $f(x) = -2x$ (ici $a = -2$).

Calcul d'une image :

$f(5) = -2 \times 5 = -10$ $\implies$ l'image de $5$ est $-10$.

$f(-4) = -2 \times (-4) = 8$ $\implies$ l'image de $-4$ est $8$.

Calcul d'un antécédent :

On cherche $x$ tel que $f(x) = 3$ soit $-2x = 3$ :

$$x = \dfrac{3}{-2} = -\dfrac{3}{2} = -1{,}5$$

L'antécédent de $3$ par $f$ est $-\dfrac{3}{2}$.

Propriété 1 :

La représentation graphique de la fonction linéaire $f : x \mapsto ax$ est la droite passant par l'origine du repère $(0\,;\,0)$ d'équation $y = ax$.

Vocabulaire :

Le nombre $a$ est appelé le coefficient directeur (ou pente) de la droite.

Si $a > 0$, la droite « monte » (fonction croissante).
Si $a < 0$, la droite « descend » (fonction décroissante).
Lorsque l'on avance de $1$ unité en abscisse, on monte ou descend de $a$ unités en ordonnée.

Application 2 : Représenter graphiquement une fonction linéaire

Soit $f : x \mapsto -2x$. Sa droite $D_f$ a pour équation $y = -2x$.

$f(0) = 0 \implies D_f$ passe toujours par l'origine $(0\,;\,0)$.
$f(1) = -2 \implies$ on place le coefficient directeur en $x=1$ : point $(1\,;\,-2)$.
$f(2) = -4 \implies$ la droite passe par le point $(2\,;\,-4)$.

Deux points suffisent pour tracer la droite : l'origine et un point calculé !

Propriété 2 :

Toute droite passant par l'origine du repère est la représentation graphique d'une fonction linéaire.

Application 3 : Retrouver la formule algébrique par lecture graphique

La droite $D_1$ passe par l'origine $(0\,;\,0)$ $\implies$ il s'agit d'une fonction linéaire $f(x) = ax$.

Elle passe par le point de coordonnées $(2\,;\,1)$ du quadrillage.

Donc $f(2) = 1$, ce qui donne $a \times 2 = 1$ d'où :

$$a = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$$

La fonction représentée par $D_1$ est donc : $\mathbf{f : x \mapsto \dfrac{1}{2}x}$.