Exercices corrigés : Exercices corrigés : Notion de fonction - 3ème
Exercice 1 : Exercice 1 : Calcul d'images par une formule
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$.
1) Calculer l'image de $0$ par $f$.
2) Calculer l'image de $2$ par $f$.
3) Calculer $f(-1)$.
1) Calculer l'image de $0$ par $f$.
2) Calculer l'image de $2$ par $f$.
3) Calculer $f(-1)$.
Corrigé détaillé :
1) $f(0) = 3(0)^2 - 5(0) + 2 = 2$.
L'image de $0$ est $2$.
2) $f(2) = 3(2)^2 - 5(2) + 2 = 3(4) - 10 + 2 = 12 - 10 + 2 = 4$.
L'image de $2$ est $4$.
3) $f(-1) = 3(-1)^2 - 5(-1) + 2 = 3(1) + 5 + 2 = 10$.
On a $f(-1) = 10$.
L'image de $0$ est $2$.
2) $f(2) = 3(2)^2 - 5(2) + 2 = 3(4) - 10 + 2 = 12 - 10 + 2 = 4$.
L'image de $2$ est $4$.
3) $f(-1) = 3(-1)^2 - 5(-1) + 2 = 3(1) + 5 + 2 = 10$.
On a $f(-1) = 10$.
Exercice 2 : Exercice 2 : Recherche d'antécédents
Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = 4x - 7$.
1) Déterminer l'antécédent de $13$ par la fonction $g$.
2) Déterminer l'antécédent de $-1$ par $g$.
1) Déterminer l'antécédent de $13$ par la fonction $g$.
2) Déterminer l'antécédent de $-1$ par $g$.
Corrigé détaillé :
1) Chercher l'antécédent de $13$ revient à résoudre $g(x) = 13$ :
$$4x - 7 = 13 \implies 4x = 20 \implies x = 5$$
L'antécédent de $13$ est $5$.
2) On résout $g(x) = -1$ :
$$4x - 7 = -1 \implies 4x = 6 \implies x = \dfrac{6}{4} = 1{,}5$$
L'antécédent de $-1$ est $1{,}5$ (ou $\dfrac{3}{2}$).
$$4x - 7 = 13 \implies 4x = 20 \implies x = 5$$
L'antécédent de $13$ est $5$.
2) On résout $g(x) = -1$ :
$$4x - 7 = -1 \implies 4x = 6 \implies x = \dfrac{6}{4} = 1{,}5$$
L'antécédent de $-1$ est $1{,}5$ (ou $\dfrac{3}{2}$).
Exercice 3 : Exercice 3 : Lecture dans un tableau de valeurs
Voici un tableau de valeurs d'une fonction $h$ :
1) Quelle est l'image de $0$ par $h$ ?
2) Donner un antécédent de $2$ par $h$.
3) Donner les antécédents de $7$ par $h$.
| $x$ | $-3$ | $-1$ | $0$ | $2$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $h(x)$ | $7$ | $2$ | $-1$ | $7$ | $12$ |
1) Quelle est l'image de $0$ par $h$ ?
2) Donner un antécédent de $2$ par $h$.
3) Donner les antécédents de $7$ par $h$.
Corrigé détaillé :
1) Pour $x = 0$, on lit $h(0) = -1$. L'image de $0$ est $-1$.
2) Pour $h(x) = 2$, on lit $x = -1$. L'antécédent de $2$ est $-1$.
3) Le nombre $7$ apparaît deux fois dans la ligne des $h(x)$ : pour $x = -3$ et pour $x = 2$. Les antécédents de $7$ sont $-3$ et $2$.
2) Pour $h(x) = 2$, on lit $x = -1$. L'antécédent de $2$ est $-1$.
3) Le nombre $7$ apparaît deux fois dans la ligne des $h(x)$ : pour $x = -3$ et pour $x = 2$. Les antécédents de $7$ sont $-3$ et $2$.
Exercice 4 : Exercice 4 : Appartenance d'un point à une courbe
On considère la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f(x) = 2x^2 - 3$.
1) Le point $A(3 ; 15)$ appartient-il à la courbe $\mathcal{C}_f$ ? Justifier.
2) Le point $B(-2 ; 1)$ appartient-il à la courbe $\mathcal{C}_f$ ? Justifier.
1) Le point $A(3 ; 15)$ appartient-il à la courbe $\mathcal{C}_f$ ? Justifier.
2) Le point $B(-2 ; 1)$ appartient-il à la courbe $\mathcal{C}_f$ ? Justifier.
Corrigé détaillé :
Un point $M(x_M ; y_M)$ appartient à $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $f(x_M) = y_M$.
1) Pour le point $A$ :
$$f(3) = 2(3)^2 - 3 = 2(9) - 3 = 18 - 3 = 15 = y_A$$
Donc $A \in \mathcal{C}_f$.
2) Pour le point $B$ :
$$f(-2) = 2(-2)^2 - 3 = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5 \neq y_B \quad (y_B = 1)$$
Donc $B \notin \mathcal{C}_f$.
1) Pour le point $A$ :
$$f(3) = 2(3)^2 - 3 = 2(9) - 3 = 18 - 3 = 15 = y_A$$
Donc $A \in \mathcal{C}_f$.
2) Pour le point $B$ :
$$f(-2) = 2(-2)^2 - 3 = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5 \neq y_B \quad (y_B = 1)$$
Donc $B \notin \mathcal{C}_f$.
Exercice 5 : Exercice 5 : Modélisation géométrique
On considère un rectangle de périmètre constant égal à $24\text{ cm}$. On note $x$ la largeur de ce rectangle (en $\text{cm}$).
1) Exprimer la longueur en fonction de $x$. Entre quelles valeurs $x$ peut-il varier ?
2) Exprimer l'aire $\mathcal{A}(x)$ du rectangle en fonction de $x$.
3) Calculer l'aire pour $x = 4\text{ cm}$ et pour $x = 6\text{ cm}$.
1) Exprimer la longueur en fonction de $x$. Entre quelles valeurs $x$ peut-il varier ?
2) Exprimer l'aire $\mathcal{A}(x)$ du rectangle en fonction de $x$.
3) Calculer l'aire pour $x = 4\text{ cm}$ et pour $x = 6\text{ cm}$.
Corrigé détaillé :
1) Le demi-périmètre est $24 / 2 = 12\text{ cm}$. La longueur est donc $L = 12 - x$. Comme une dimension est strictement positive, on a $x \in ]0 ; 12[$ (ou $0 < x < 6$ si on impose largeur $\le$ longueur).
2) L'aire est donnée par :
$$\mathcal{A}(x) = x(12 - x) = 12x - x^2$$
3) Pour $x = 4$ : $\mathcal{A}(4) = 4(12 - 4) = 4 \times 8 = 32\text{ cm}^2$.
Pour $x = 6$ : $\mathcal{A}(6) = 6(12 - 6) = 6 \times 6 = 36\text{ cm}^2$ (cas du carré).
On obtient $\mathcal{A}(x) = 12x - x^2$, avec $\mathcal{A}(4) = 32\text{ cm}^2$ et $\mathcal{A}(6) = 36\text{ cm}^2$.
2) L'aire est donnée par :
$$\mathcal{A}(x) = x(12 - x) = 12x - x^2$$
3) Pour $x = 4$ : $\mathcal{A}(4) = 4(12 - 4) = 4 \times 8 = 32\text{ cm}^2$.
Pour $x = 6$ : $\mathcal{A}(6) = 6(12 - 6) = 6 \times 6 = 36\text{ cm}^2$ (cas du carré).
On obtient $\mathcal{A}(x) = 12x - x^2$, avec $\mathcal{A}(4) = 32\text{ cm}^2$ et $\mathcal{A}(6) = 36\text{ cm}^2$.
Exercice 6 : Exercice 6 : Programme de calcul sous forme de fonction
On considère le programme de calcul suivant :
• Choisir un nombre.
• Lui ajouter $3$.
• Multiplier le résultat par $2$.
• Retrancher $6$.
1) Quel résultat obtient-on si l'on choisit $5$ au départ ?
2) Si l'on note $x$ le nombre de départ, exprimer la fonction $f(x)$ associée à ce programme et la simplifier.
3) Que peut-on en déduire sur le résultat par rapport au nombre choisi ?
• Choisir un nombre.
• Lui ajouter $3$.
• Multiplier le résultat par $2$.
• Retrancher $6$.
1) Quel résultat obtient-on si l'on choisit $5$ au départ ?
2) Si l'on note $x$ le nombre de départ, exprimer la fonction $f(x)$ associée à ce programme et la simplifier.
3) Que peut-on en déduire sur le résultat par rapport au nombre choisi ?
Corrigé détaillé :
1) Avec $5$ : $(5 + 3) = 8 \implies 8 \times 2 = 16 \implies 16 - 6 = 10$.
Le résultat est $10$.
2) Avec $x$ :
$$f(x) = (x + 3) \times 2 - 6 = 2x + 6 - 6 = 2x$$
La fonction simplifiée est $f(x) = 2x$.
3) Le résultat final est toujours égal au double du nombre de départ.
Le résultat est $10$.
2) Avec $x$ :
$$f(x) = (x + 3) \times 2 - 6 = 2x + 6 - 6 = 2x$$
La fonction simplifiée est $f(x) = 2x$.
3) Le résultat final est toujours égal au double du nombre de départ.
Exercice 7 : Exercice 7 : Antécédents multiples
Soit la fonction $k$ définie par $k(x) = x^2 - 9$.
1) Déterminer les antécédents de $0$ par $k$.
2) Déterminer les antécédents de $16$ par $k$.
3) Le nombre $-10$ admet-il des antécédents par $k$ ? Justifier.
1) Déterminer les antécédents de $0$ par $k$.
2) Déterminer les antécédents de $16$ par $k$.
3) Le nombre $-10$ admet-il des antécédents par $k$ ? Justifier.
Corrigé détaillé :
1) $k(x) = 0 \iff x^2 - 9 = 0 \iff (x-3)(x+3) = 0$.
Les antécédents de $0$ sont $-3$ et $3$.
2) $k(x) = 16 \iff x^2 - 9 = 16 \iff x^2 = 25$.
Les antécédents de $16$ sont $-5$ et $5$.
3) $k(x) = -10 \iff x^2 - 9 = -10 \iff x^2 = -1$.
Un carré étant toujours positif ou nul dans $\mathbb{R}$, cette équation n'a pas de solution. Le nombre $-10$ n'a aucun antécédent.
Les antécédents de $0$ sont $-3$ et $3$.
2) $k(x) = 16 \iff x^2 - 9 = 16 \iff x^2 = 25$.
Les antécédents de $16$ sont $-5$ et $5$.
3) $k(x) = -10 \iff x^2 - 9 = -10 \iff x^2 = -1$.
Un carré étant toujours positif ou nul dans $\mathbb{R}$, cette équation n'a pas de solution. Le nombre $-10$ n'a aucun antécédent.
Exercice 8 : Exercice 8 : Interprétation concrète d'une fonction
La hauteur $h(t)$ (en mètres) d'une balle lancée en l'air au temps $t$ (en secondes) est modélisée par $h(t) = -5t^2 + 20t$.
1) À quelle hauteur se trouve la balle à l'instant de départ $t = 0$ ?
2) Calculer la hauteur de la balle à $t = 1\text{ s}$ et à $t = 2\text{ s}$.
3) Déterminer à quel instant la balle retombe au sol.
1) À quelle hauteur se trouve la balle à l'instant de départ $t = 0$ ?
2) Calculer la hauteur de la balle à $t = 1\text{ s}$ et à $t = 2\text{ s}$.
3) Déterminer à quel instant la balle retombe au sol.
Corrigé détaillé :
1) $h(0) = -5(0)^2 + 20(0) = 0\text{ m}$. La balle part du sol ($0\text{ m}$).
2) $h(1) = -5(1) + 20(1) = 15\text{ m}$.
$h(2) = -5(4) + 20(2) = -20 + 40 = 20\text{ m}$ (sommet de la trajectoire).
La hauteur est de $15\text{ m}$ à $1\text{ s}$ et de $20\text{ m}$ à $2\text{ s}$.
3) La balle retombe au sol quand $h(t) = 0$ pour $t > 0$ :
$$-5t^2 + 20t = 0 \iff -5t(t - 4) = 0$$
Les solutions sont $t = 0$ et $t = 4$.
La balle retombe au sol au bout de $4\text{ secondes}$.
2) $h(1) = -5(1) + 20(1) = 15\text{ m}$.
$h(2) = -5(4) + 20(2) = -20 + 40 = 20\text{ m}$ (sommet de la trajectoire).
La hauteur est de $15\text{ m}$ à $1\text{ s}$ et de $20\text{ m}$ à $2\text{ s}$.
3) La balle retombe au sol quand $h(t) = 0$ pour $t > 0$ :
$$-5t^2 + 20t = 0 \iff -5t(t - 4) = 0$$
Les solutions sont $t = 0$ et $t = 4$.
La balle retombe au sol au bout de $4\text{ secondes}$.