Fonctions
Définition 1 :
On appelle fonction $f$ une relation mathématique qui à un nombre $x$ associe un nombre unique noté $f(x)$.
Le nombre $f(x)$ est calculé à partir d'une formule algébrique qui identifie la fonction $f$.
On note : $$f : x \mapsto f(x)$$ qui se lit « la fonction $f$ qui à $x$ associe $f(x)$ ».
Vocabulaire essentiel :
- $f(x)$ est appelé l'image de $x$ par la fonction $f$.
- $x$ est appelé un antécédent de $f(x)$ par la fonction $f$.
Exemple introductif : La trajectoire d'un ballon
Le graphique ci-dessous montre la hauteur $y$ d'un ballon de football en fonction de sa distance horizontale $x$ :
Tableau de valeurs de la fonction :
| $x$ | 0 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 |
| $y$ | 0 | 16 | 24 | 25 | 24 | 16 | 0 |
Formule algébrique : $$f(x) = -x^2 + 10x$$
Application 1 : Lire une image ou un antécédent sur un graphique
Sur le graphique ci-contre :
- L'image de $7$ par $f$ est environ $3{,}5$ (suivre les flèches vertes : $x=7 \to$ courbe $\to y=3{,}5$).
- L'image de $14$ par $f$ est environ $8$ ($x=14 \to$ courbe $\to y=8$).
- Un antécédent de $6$ par $f$ est environ $11{,}7$ (suivre les flèches bleues : $y=6 \to$ courbe $\to x \approx 11{,}7$).
- $1$ n'a aucun antécédent par $f$ car la droite horizontale $y=1$ ne coupe pas la courbe.
Application 2 : Calculer une image et un antécédent par le calcul
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 3x - 6$.
Calcul d'une image (on remplace $x$) :
Pour calculer l'image de $5$ :
$$f(5) = 3 \times 5 - 6 = 15 - 6 = 9$$L'image de $5$ par $f$ est donc $9$.
Pour calculer l'image de $-2$ :
$$f(-2) = 3 \times (-2) - 6 = -6 - 6 = -12$$L'image de $-2$ par $f$ est $-12$.
Calcul d'un antécédent (on résout $f(x) = y$) :
On cherche l'antécédent de $0$ par $f$ :
$$\begin{aligned} 3x - 6 &= 0 \\ 3x &= 6 \\ x &= \dfrac{6}{3} = 2 \end{aligned}$$L'antécédent de $0$ par $f$ est $2$, c'est-à-dire que $f(2) = 0$.
Propriété fondamentale :
- Un nombre possède $0$ ou $1$ seule image par une fonction.
- Un nombre peut posséder $0$, $1$ ou plusieurs antécédents par une fonction.