Exercices corrigés : Trigonométrie dans le triangle rectangle
Exercice 1 : Écriture des rapports trigonométriques
Soit un triangle $MNP$ rectangle en $M$.
Écrire les expressions de $\cos(\widehat{MNP})$, $\sin(\widehat{MNP})$ et $\tan(\widehat{MNP})$ en fonction des côtés du triangle.
Corrigé détaillé :
Pour l'angle aigu $\widehat{MNP}$ :
- L'hypoténuse est $[NP]$.
- Le côté adjacent est $[MN]$.
- Le côté opposé est $[MP]$.
On applique les formules (SOH-CAH-TOA) :
$$\cos(\widehat{MNP}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{MN}{NP}$$
$$\sin(\widehat{MNP}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{MP}{NP}$$
$$\tan(\widehat{MNP}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \dfrac{MP}{MN}$$
Exercice 2 : Calcul d'une longueur avec le cosinus
Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $BC = 8\text{ cm}$ et $\widehat{ABC} = 30^\circ$.
Calculer la longueur exacte du côté $[AB]$, puis en donner une valeur arrondie au dixième de cm.
Corrigé détaillé :
Dans le triangle rectangle en $A$ :
$$\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{AB}{BC} \implies \cos(30^\circ) = \dfrac{AB}{8}$$
D'où :
$$AB = 8 \times \cos(30^\circ)$$
Comme $\cos(30^\circ) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ :
$$AB = 8 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\text{ cm} \approx 6{,}9\text{ cm}$$
Exercice 3 : Calcul d'une longueur avec le sinus
Dans le même triangle $ABC$ rectangle en $A$ ($BC = 8\text{ cm}$ et $\widehat{ABC} = 30^\circ$), calculer la longueur du côté opposé $[AC]$.
Corrigé détaillé :
On utilise le sinus de l'angle $\widehat{ABC}$ :
$$\sin(\widehat{ABC}) = \dfrac{AC}{BC} \implies \sin(30^\circ) = \dfrac{AC}{8}$$
Comme $\sin(30^\circ) = 0{,}5 = \dfrac{1}{2}$ :
$$AC = 8 \times \sin(30^\circ) = 8 \times 0{,}5 = 4\text{ cm}$$
Exercice 4 : Calcul d'une longueur avec la tangente
Soit un triangle $DEF$ rectangle en $D$ tel que $DE = 5\text{ cm}$ et $\widehat{DFE} = 40^\circ$.
Calculer la longueur du côté $[DF]$ arrondie au millimètre près.
Corrigé détaillé :
Pour l'angle $\widehat{DFE}$, $[DE]$ est le côté opposé et $[DF]$ est le côté adjacent :
$$\tan(\widehat{DFE}) = \dfrac{DE}{DF} \implies \tan(40^\circ) = \dfrac{5}{DF}$$
Par produit en croix :
$$DF = \dfrac{5}{\tan(40^\circ)} \approx \dfrac{5}{0{,}8391} \approx 5{,}96\text{ cm} \approx 6{,}0\text{ cm}$$ (ou $60\text{ mm}$).
Exercice 5 : Calcul de la mesure d'un angle aigu
Soit un triangle $GHI$ rectangle en $H$ tel que $GH = 7\text{ cm}$ et $GI = 10\text{ cm}$.
Calculer la mesure de l'angle $\widehat{GIH}$ arrondie au degré près.
Corrigé détaillé :
Pour l'angle $\widehat{GIH}$, $[GH]$ est le côté opposé et $[GI]$ est l'hypoténuse :
$$\sin(\widehat{GIH}) = \dfrac{GH}{GI} = \dfrac{7}{10} = 0{,}7$$
À la calculatrice (touche $\arcsin$ ou $\sin^{-1}$) :
$$\widehat{GIH} = \arcsin(0{,}7) \approx 44{,}427^\circ \approx 44^\circ$$
Exercice 6 : Relation fondamentale $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$
Soit $\alpha$ la mesure d'un angle aigu tel que $\cos(\alpha) = 0{,}6$.
1. Calculer la valeur exacte de $\sin(\alpha)$ à l'aide de la relation $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$.
2. En déduire la valeur de $\tan(\alpha)$.
Corrigé détaillé :
1. Calcul de $\sin(\alpha)$ :
$$\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 \implies 0{,}6^2 + \sin^2(\alpha) = 1$$
$$0{,}36 + \sin^2(\alpha) = 1 \iff \sin^2(\alpha) = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$$
Comme $\alpha$ est un angle aigu, $\sin(\alpha) > 0$ :
$$\sin(\alpha) = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8$$
2. Calcul de $\tan(\alpha)$ :
$$\tan(\alpha) = \dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \dfrac{0{,}8}{0{,}6} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}33$$
Exercice 7 : Problème concret : hauteur d'un phare
Un observateur situé sur un bateau en mer aperçoit le sommet d'un phare sous un angle d'élévation de $18^\circ$. Le bateau se trouve à une distance horizontale de $150\text{ m}$ du pied du phare.
Les yeux de l'observateur sont situés à $2\text{ m}$ au-dessus du niveau de la mer.
Quelle est la hauteur totale du phare au-dessus du niveau de la mer (arrondie au mètre près) ?
Corrigé détaillé :
Dans le triangle rectangle reliant l'œil de l'observateur, le phare à même hauteur, et le sommet :
$$\tan(18^\circ) = \dfrac{h_1}{150} \implies h_1 = 150 \times \tan(18^\circ)$$
Calcul :
$$h_1 \approx 150 \times 0{,}3249 \approx 48{,}74\text{ m}$$
La hauteur totale au-dessus de la mer prend en compte les $2\text{ m}$ d'élévation des yeux :
$$H = h_1 + 2 \approx 48{,}74 + 2 = 50{,}74\text{ m} \approx 51\text{ mètres}$$
Exercice 8 : Triangle quelconque découpé par une hauteur
Soit un triangle $ABC$ dans lequel $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$ sur $[BC]$. On donne : $AH = 6\text{ cm}$, $\widehat{ABH} = 45^\circ$ et $\widehat{ACH} = 30^\circ$.
1. Calculer la longueur exacte de $BH$.
2. Calculer la longueur exacte de $CH$.
3. En déduire la longueur totale $BC$.
Corrigé détaillé :
1. Longueur $BH$ :
Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$ avec un angle de $45^\circ$, c'est donc un triangle rectangle isocèle :
$$\tan(45^\circ) = \dfrac{AH}{BH} \implies 1 = \dfrac{6}{BH} \implies BH = 6\text{ cm}$$
2. Longueur $CH$ :
Dans le triangle $ACH$ rectangle en $H$ :
$$\tan(30^\circ) = \dfrac{AH}{CH} \implies \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{CH} \implies CH = 6\sqrt{3}\text{ cm} \approx 10{,}39\text{ cm}$$
3. Longueur totale $BC$ :
$$BC = BH + CH = 6 + 6\sqrt{3}\text{ cm} = 6(1 + \sqrt{3})\text{ cm} \approx 16{,}4\text{ cm}$$