Trigonométrie
1 - Vocabulaire associé au triangle rectangle
Le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse (côté le plus grand). Il y a deux angles aigus (mesure $< 90^\circ$).
Par rapport à chaque angle aigu, on définit un côté opposé et un côté adjacent (figures ci-dessous).
Par rapport à l'angle vert :
Par rapport à l'angle rouge :
2 - Cosinus, sinus et tangente
Définitions : Soit $\widehat{a}$ un angle aigu d'un triangle rectangle :
-
Cosinus de l'angle $\widehat{a}$ :
$$\cos \widehat{a} = \dfrac{\text{longueur du côté adjacent à } \widehat{a}}{\text{longueur de l'hypoténuse}}$$
-
Sinus de l'angle $\widehat{a}$ :
$$\sin \widehat{a} = \dfrac{\text{longueur du côté opposé à } \widehat{a}}{\text{longueur de l'hypoténuse}}$$
-
Tangente de l'angle $\widehat{a}$ :
$$\tan \widehat{a} = \dfrac{\text{longueur du côté opposé à } \widehat{a}}{\text{longueur du côté adjacent à } \widehat{a}}$$
Moyen mnémotechnique : CAH - SOH - TOA
3 - Applications : Calculer une longueur ou un angle
Application 1 : Calculer une longueur
1. Triangle $EDF$ rectangle en $E$ avec $\widehat{EDF} = 30^\circ$ et $DF = 5\text{ cm}$. Calculer $EF$.
Hypothèse : $EDF$ rectangle en $E$.
Propriété : $\sin \widehat{EDF} = \dfrac{EF}{DF} \iff \sin 30^\circ = \dfrac{EF}{5}$
2. Triangle $ABC$ rectangle en $B$ avec $\widehat{BAC} = 50^\circ$ et $AB = 2{,}5\text{ cm}$. Calculer $AC$.
Hypothèse : $ABC$ rectangle en $B$.
Propriété : $\cos \widehat{BAC} = \dfrac{AB}{AC} \iff \cos 50^\circ = \dfrac{2{,}5}{AC}$
Application 2 : Calculer la mesure d'un angle aigu
Le triangle $IJK$ est rectangle en $J$ tel que $IJ = 2\text{ cm}$ et $JK = 4\text{ cm}$. Calculer $\widehat{JIK}$.
Hypothèse : $IJK$ rectangle en $J$.
Propriété : $\tan \widehat{JIK} = \dfrac{JK}{JI} = \dfrac{4}{2} = 2$