Les nombres réels
I - Ensemble des nombres réels
Définition 1 : On appelle $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels.
Remarque : Les nombres réels non rationnels sont appelés irrationnels ; $\sqrt{2}$ et $\pi$ sont irrationnels.
Démonstration : Démontrer que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
Raisonnement par l'absurde.
Si $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$ alors $\sqrt{2} = \dfrac{n}{d}$ avec $n \in \mathbb{N}, d \in \mathbb{N}, d \neq 0$. De plus, on peut choisir $n$ et $d$ premiers entre eux de façon à ce que la fraction $\dfrac{n}{d}$ soit irréductible.
Si $\sqrt{2} = \dfrac{n}{d}$ alors $\left(\sqrt{2}\right)^2 = \left(\dfrac{n}{d}\right)^2$ donc $2 = \dfrac{n^2}{d^2}$ donc $n^2 = 2 \times d^2$ donc $n^2$ est pair donc $n$ est pair.
Donc il existe un entier naturel $q$ tel que $n = 2 \times q$ d'où $n^2 = (2 \times q)^2 = 4 \times q^2$.
Or $n^2 = 2 \times d^2$ donc $2 \times d^2 = 4 \times q^2$ donc $d^2 = 2 \times q^2$ donc $d^2$ est pair donc $d$ est pair.
Donc il existe un entier naturel $q'$ différent de zéro, tel que $d = 2 \times q'$.
Donc $\dfrac{n}{d} = \dfrac{2 \times q}{2 \times q'}$ n'est pas irréductible, ce qui contredit l'hypothèse faite au départ.
Donc on ne peut pas trouver 2 entiers naturels $n$ et $d$ tels que $\sqrt{2} = \dfrac{n}{d}$ avec $n \in \mathbb{Z}, d \in \mathbb{N}, d \neq 0$.
Donc $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
Propriété 1 : Tout nombre réel est associé à l'abscisse d'un point de la droite numérique et réciproquement.
Méthode : Encadrer un réel avec deux nombres décimaux
- Encadrer $\sqrt{2}$ avec deux nombres décimaux à $10^{-3}$ près.
- 1 - On commence par évaluer $\sqrt{2}$ à la calculatrice ; on obtient $\sqrt{2} \approx 1,4142414$.
- 2 - Pour avoir un encadrement à $10^{-3}$ près, il faut encadrer $\sqrt{2}$ avec deux décimaux ayant 3 décimales dont la différence est inférieure ou égale à $10^{-3}$.
On tronque la valeur obtenue à 3 décimales ; on obtient $\sqrt{2} \ge 1,414$.
On ajoute $10^{-3}$ c'est à dire $0,001$ et on obtient $\sqrt{2} \le 1,415$. - 3 - On donne l'encadrement cherché : $1,414 \le \sqrt{2} \le 1,415$.
- Encadrer $-\sqrt{3}$ avec deux nombres décimaux à $10^{-2}$ près.
- 1 - On commence par évaluer $-\sqrt{3}$ à la calculatrice ; on obtient $-\sqrt{3} \approx -1,732051$.
- 2 - Pour avoir un encadrement à $10^{-2}$ près, il faut encadrer $-\sqrt{3}$ avec deux décimaux ayant 2 décimales dont la différence est inférieure ou égale à $10^{-2}$.
On tronque la valeur obtenue à 2 décimales ; on obtient $-\sqrt{3} \le -1,73$.
On enlève $10^{-2}$ c'est à dire $0,01$ et on obtient $-\sqrt{3} \ge -1,74$. - 3 - On donne l'encadrement cherché : $-1,74 \le -\sqrt{3} \le -1,73$.
II - Les intervalles
Un intervalle est un ensemble de nombres limité par 2 bornes, qui sont des nombres, $+\infty$ ou $-\infty$.
On étudie les différents cas dans le tableau ci-dessous ($a \le b$).
| Intervalle | Inégalités | Droite numérique |
|---|---|---|
| $x \in [a ; b]$ | $a \le x \le b$ | |
| $x \in ]a ; b[$ | $a < x < b$ | |
| $x \in [a ; b[$ | $a \le x < b$ | |
| $x \in ]a ; b]$ | $a < x \le b$ | |
| $x \in ]-\infty ; a]$ | $x \le a$ | |
| $x \in ]a ; +\infty[$ | $x > a$ |
Notation : Un ensemble de nombres peut être composé de la réunion de plusieurs intervalles.
Dans ce cas, on utilise le symbole $\color{#b91c1c}{\cup}$ qui signifie ou.
Exemples :
- $x \in [-1 ; 2] \cup ]3 ; 4]$ signifie que $-1 \le x \le 2$ ou $3 < x \le 4$.
- $x \in ]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$ signifie que $x < 0$ ou $x > 0$.
Un ensemble de nombres peut être composé de l'intersection de plusieurs intervalles.
Dans ce cas, on utilise le symbole $\color{#b91c1c}{\cap}$ qui signifie et.
Exemple : $x \in [-1 ; 3] \cap ]2 ; 4]$ signifie que $-1 \le x \le 3$ et $2 < x \le 4$ donc $x \in ]2 ; 3]$.
The Real Numbers
I - Set of Real Numbers
Definition 1: We call $\mathbb{R}$ the set of real numbers.
Note: Non-rational real numbers are called irrationals; $\sqrt{2}$ and $\pi$ are irrational.
Proof: Prove that $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
Proof by contradiction.
If $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$ then $\sqrt{2} = \dfrac{n}{d}$ with $n \in \mathbb{N}, d \in \mathbb{N}, d \neq 0$. Moreover, we can choose $n$ and $d$ coprime so that the fraction $\dfrac{n}{d}$ is irreducible.
If $\sqrt{2} = \dfrac{n}{d}$ then $\left(\sqrt{2}\right)^2 = \left(\dfrac{n}{d}\right)^2$ so $2 = \dfrac{n^2}{d^2}$ so $n^2 = 2 \times d^2$ so $n^2$ is even so $n$ is even.
Therefore there exists a natural number $q$ such that $n = 2 \times q$ hence $n^2 = (2 \times q)^2 = 4 \times q^2$.
Now $n^2 = 2 \times d^2$ so $2 \times d^2 = 4 \times q^2$ so $d^2 = 2 \times q^2$ so $d^2$ is even so $d$ is even.
Therefore there exists a non-zero natural number $q'$ such that $d = 2 \times q'$.
Therefore $\dfrac{n}{d} = \dfrac{2 \times q}{2 \times q'}$ is not irreducible, which contradicts the initial hypothesis.
Therefore we cannot find 2 natural numbers $n$ and $d$ such that $\sqrt{2} = \dfrac{n}{d}$ with $n \in \mathbb{Z}, d \in \mathbb{N}, d \neq 0$.
Therefore $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
Property 1: Every real number is associated with the abscissa of a point on the number line and vice versa.
Method: Bound a real number with two decimal numbers
- Bound $\sqrt{2}$ with two decimal numbers to $10^{-3}$ precision.
- 1 - We start by evaluating $\sqrt{2}$ on the calculator; we get $\sqrt{2} \approx 1.4142414$.
- 2 - To have a bound to $10^{-3}$ precision, we must bound $\sqrt{2}$ with two decimal numbers having 3 decimal places whose difference is less than or equal to $10^{-3}$.
We truncate the obtained value to 3 decimal places; we get $\sqrt{2} \ge 1.414$.
We add $10^{-3}$ which is $0.001$ and we get $\sqrt{2} \le 1.415$. - 3 - We give the requested bound: $1.414 \le \sqrt{2} \le 1.415$.
- Bound $-\sqrt{3}$ with two decimal numbers to $10^{-2}$ precision.
- 1 - We start by evaluating $-\sqrt{3}$ on the calculator; we get $-\sqrt{3} \approx -1.732051$.
- 2 - To have a bound to $10^{-2}$ precision, we must bound $-\sqrt{3}$ with two decimal numbers having 2 decimal places whose difference is less than or equal to $10^{-2}$.
We truncate the obtained value to 2 decimal places; we get $-\sqrt{3} \le -1.73$.
We subtract $10^{-2}$ which is $0.01$ and we get $-\sqrt{3} \ge -1.74$. - 3 - We give the requested bound: $-1.74 \le -\sqrt{3} \le -1.73$.
II - Intervals
An interval is a set of numbers bounded by 2 limits, which are numbers, $+\infty$ or $-\infty$.
We study the different cases in the table below ($a \le b$).
| Interval | Inequalities | Number line |
|---|---|---|
| $x \in [a ; b]$ | $a \le x \le b$ | |
| $x \in ]a ; b[$ | $a < x < b$ | |
| $x \in [a ; b[$ | $a \le x < b$ | |
| $x \in ]a ; b]$ | $a < x \le b$ | |
| $x \in ]-\infty ; a]$ | $x \le a$ | |
| $x \in ]a ; +\infty[$ | $x > a$ |
Notation: A set of numbers can be composed of the union of several intervals.
In this case, we use the symbol $\color{#b91c1c}{\cup}$ which means or.
Examples:
- $x \in [-1 ; 2] \cup ]3 ; 4]$ means $-1 \le x \le 2$ or $3 < x \le 4$.
- $x \in ]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$ means $x < 0$ or $x > 0$.
A set of numbers can be composed of the intersection of several intervals.
In this case, we use the symbol $\color{#b91c1c}{\cap}$ which means and.
Example: $x \in [-1 ; 3] \cap ]2 ; 4]$ means $-1 \le x \le 3$ and $2 < x \le 4$ so $x \in ]2 ; 3]$.
Los números reales
I - Conjunto de los números reales
Definición 1: Llamamos $\mathbb{R}$ al conjunto de los números reales.
Nota: Los números reales no racionales se llaman irracionales; $\sqrt{2}$ y $\pi$ son irracionales.
Demostración: Demostrar que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
Razonamiento por reducción al absurdo.
Si $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$ entonces $\sqrt{2} = \dfrac{n}{d}$ con $n \in \mathbb{N}, d \in \mathbb{N}, d \neq 0$. Además, podemos elegir $n$ y $d$ primos entre sí de manera que la fracción $\dfrac{n}{d}$ sea irreducible.
Si $\sqrt{2} = \dfrac{n}{d}$ entonces $\left(\sqrt{2}\right)^2 = \left(\dfrac{n}{d}\right)^2$ por lo tanto $2 = \dfrac{n^2}{d^2}$ por lo tanto $n^2 = 2 \times d^2$ por lo tanto $n^2$ es par por lo tanto $n$ es par.
Por lo tanto existe un número natural $q$ tal que $n = 2 \times q$ de donde $n^2 = (2 \times q)^2 = 4 \times q^2$.
Ahora $n^2 = 2 \times d^2$ por lo tanto $2 \times d^2 = 4 \times q^2$ por lo tanto $d^2 = 2 \times q^2$ por lo tanto $d^2$ es par por lo tanto $d$ es par.
Por lo tanto existe un número natural $q'$ diferente de cero, tal que $d = 2 \times q'$.
Por lo tanto $\dfrac{n}{d} = \dfrac{2 \times q}{2 \times q'}$ no es irreducible, lo que contradice la hipótesis inicial.
Por lo tanto no podemos encontrar 2 números naturales $n$ y $d$ tales que $\sqrt{2} = \dfrac{n}{d}$ con $n \in \mathbb{Z}, d \in \mathbb{N}, d \neq 0$.
Por lo tanto $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
Propiedad 1: Todo número real está asociado a la abscisa de un punto de la recta numérica y viceversa.
Método: Encuadrar un número real con dos números decimales
- Encuadrar $\sqrt{2}$ con dos números decimales a una precisión de $10^{-3}$.
- 1 - Comenzamos evaluando $\sqrt{2}$ en la calculadora; obtenemos $\sqrt{2} \approx 1,4142414$.
- 2 - Para tener un encuadramiento a $10^{-3}$, debemos encuadrar $\sqrt{2}$ con dos números decimales que tengan 3 decimales cuya diferencia sea menor o igual a $10^{-3}$.
Truncamos el valor obtenido a 3 decimales; obtenemos $\sqrt{2} \ge 1,414$.
Añadimos $10^{-3}$, es decir $0,001$, y obtenemos $\sqrt{2} \le 1,415$. - 3 - Damos el encuadramiento buscado: $1,414 \le \sqrt{2} \le 1,415$.
- Encuadrar $-\sqrt{3}$ con dos números decimales a una precisión de $10^{-2}$.
- 1 - Comenzamos evaluando $-\sqrt{3}$ en la calculadora; obtenemos $-\sqrt{3} \approx -1,732051$.
- 2 - Para tener un encuadramiento a $10^{-2}$, debemos encuadrar $-\sqrt{3}$ con dos números decimales que tengan 2 decimales cuya diferencia sea menor o igual a $10^{-2}$.
Truncamos el valor obtenido a 2 decimales; obtenemos $-\sqrt{3} \le -1,73$.
Restamos $10^{-2}$, es decir $0,01$, y obtenemos $-\sqrt{3} \ge -1,74$. - 3 - Damos el encuadramiento buscado: $-1,74 \le -\sqrt{3} \le -1,73$.
II - Los intervalos
Un intervalo es un conjunto de números limitado por 2 extremos, que son números, $+\infty$ o $-\infty$.
Estudiamos los diferentes casos en la tabla a continuación ($a \le b$).
| Intervalo | Desigualdades | Recta numérica |
|---|---|---|
| $x \in [a ; b]$ | $a \le x \le b$ | |
| $x \in ]a ; b[$ | $a < x < b$ | |
| $x \in [a ; b[$ | $a \le x < b$ | |
| $x \in ]a ; b]$ | $a < x \le b$ | |
| $x \in ]-\infty ; a]$ | $x \le a$ | |
| $x \in ]a ; +\infty[$ | $x > a$ |
Notación: Un conjunto de números puede estar compuesto por la unión de varios intervalos.
En este caso, utilizamos el símbolo $\color{#b91c1c}{\cup}$ que significa o.
Ejemplos:
- $x \in [-1 ; 2] \cup ]3 ; 4]$ significa $-1 \le x \le 2$ o $3 < x \le 4$.
- $x \in ]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$ significa $x < 0$ o $x > 0$.
Un conjunto de números puede estar compuesto por la intersección de varios intervalos.
En este caso, utilizamos el símbolo $\color{#b91c1c}{\cap}$ que significa y.
Ejemplo: $x \in [-1 ; 3] \cap ]2 ; 4]$ significa $-1 \le x \le 3$ y $2 < x \le 4$ por lo tanto $x \in ]2 ; 3]$.