Arithmétique dans $\mathbb{N}$
Définition 1 : Effectuer la division euclidienne d'un entier naturel $a$ par un entier strictement positif $b$, c'est trouver les deux entiers naturels appelés quotient $q$ et reste $r$ tels que :
Définition 2 : On dit que l'entier naturel $b$ est un diviseur de l'entier naturel $a$ lorsque le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est égal à zéro, c'est-à-dire qu'il existe un entier naturel $q$ tel que :
Vocabulaire : Les phrases suivantes ont la même signification.
- $b$ est un diviseur de $a$
- $b$ divise $a$
- $a$ est un multiple de $b$
- $a$ est divisible par $b$
Démonstration : Démontrer que $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}$.
Raisonnement par l'absurde.
Si $\dfrac{1}{3} \in \mathbb{D}$ alors il existe un entier relatif $n$ et un entier naturel non nul $p$ tels que $\dfrac{1}{3} = \dfrac{n}{10^p}$.
Donc $3n = 10^p = 10 \times 10 \times \dots \times 10$ ($p$ facteurs).
Donc $3$ est un diviseur de $10^p$.
Ce résultat est absurde donc l'hypothèse de départ est fausse.
Donc $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}$.
Définition 3 : On dit qu'un entier naturel est premier lorsqu'il a exactement $2$ diviseurs : $1$ et lui-même.
Définition 4 : On dit que des entiers naturels sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est $1$.
Définition 5 : On dit qu'un entier naturel $a$ est pair lorsqu'il est divisible par $2$, c'est-à-dire qu'il existe un entier naturel $q$ tel que : $a = 2 \times q$
Définition 6 : On dit qu'un nombre naturel $a$ est impair lorsqu'il n'est pas divisible par $2$, c'est-à-dire qu'il existe un entier naturel $q$ tel que : $a = 2 \times q + 1$
Propriété 1 : Soit $a$ un entier naturel ;
Démonstration :
- Si $a$ est pair alors il existe un entier naturel $q$ tel que $a = 2 \times q$.
Donc $a^2 = (2 \times q)^2 = 2^2 \times q^2 = 2 \times (2q^2)$ donc $a^2$ est pair. - Pour démontrer que si $a^2$ est pair alors $a$ est pair, on utilise la contraposée de cette proposition.
En logique, [si $a^2$ est pair alors $a$ est pair] est équivalente à [si $a$ n'est pas pair alors $a^2$ n'est pas pair].
Si $a$ n'est pas pair alors il est impair donc il existe un entier naturel $q$ tel que $a = 2 \times q + 1$.
Donc $a^2 = (2 \times q + 1)^2 = (2q + 1)(2q + 1) = 4q^2 + 4q + 1 = 2(2q^2 + 2q) + 1$ donc $a^2$ est impair.
Donc $a^2$ n'est pas pair.
Application : Trouver tous les diviseurs d'un nombre
Exemple : Trouver tous les diviseurs de $60$.
$60 = 1 \times 60$
$60 = 2 \times 30$
$60 = 3 \times 20$
$60 = 4 \times 15$
$60 = 5 \times 12$
$60 = 6 \times 10$
La liste des diviseurs de $60$ est donc : $\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60\}$.
Application : Décomposer un nombre en facteurs premiers
Exemple : Décomposer le nombre $60$ en produit de facteurs premiers.
60
30
15
5
1
2
2
3
5
On a donc : $60 = 2^2 \times 3 \times 5$.
Arithmetic in $\mathbb{N}$
Definition 1: To perform the Euclidean division of a natural number $a$ by a strictly positive integer $b$ is to find the two natural numbers called quotient $q$ and remainder $r$ such that:
Definition 2: We say that the natural number $b$ is a divisor of the natural number $a$ when the remainder of the Euclidean division of $a$ by $b$ is equal to zero, meaning there exists a natural number $q$ such that:
Vocabulary: The following phrases have the same meaning.
- $b$ is a divisor of $a$
- $b$ divides $a$
- $a$ is a multiple of $b$
- $a$ is divisible by $b$
Proof: Prove that $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}$.
Proof by contradiction.
If $\dfrac{1}{3} \in \mathbb{D}$ then there exists an integer $n$ and a non-zero natural number $p$ such that $\dfrac{1}{3} = \dfrac{n}{10^p}$.
Therefore $3n = 10^p = 10 \times 10 \times \dots \times 10$ ($p$ factors).
Therefore $3$ is a divisor of $10^p$.
This result is absurd, so the initial hypothesis is false.
Therefore $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}$.
Definition 3: We say that a natural number is prime when it has exactly $2$ divisors: $1$ and itself.
Definition 4: We say that natural numbers are coprime when their only common divisor is $1$.
Definition 5: We say that a natural number $a$ is even when it is divisible by $2$, meaning there exists a natural number $q$ such that: $a = 2 \times q$
Definition 6: We say that a natural number $a$ is odd when it is not divisible by $2$, meaning there exists a natural number $q$ such that: $a = 2 \times q + 1$
Property 1: Let $a$ be a natural number;
Proof:
- If $a$ is even then there exists a natural number $q$ such that $a = 2 \times q$.
Therefore $a^2 = (2 \times q)^2 = 2^2 \times q^2 = 2 \times (2q^2)$ so $a^2$ is even. - To prove that if $a^2$ is even then $a$ is even, we use the contrapositive of this proposition.
In logic, [if $a^2$ is even then $a$ is even] is equivalent to [if $a$ is not even then $a^2$ is not even].
If $a$ is not even then it is odd, so there exists a natural number $q$ such that $a = 2 \times q + 1$.
Therefore $a^2 = (2 \times q + 1)^2 = (2q + 1)(2q + 1) = 4q^2 + 4q + 1 = 2(2q^2 + 2q) + 1$ so $a^2$ is odd.
Therefore $a^2$ is not even.
Application: Find all divisors of a number
Example: Find all divisors of $60$.
$60 = 1 \times 60$
$60 = 2 \times 30$
$60 = 3 \times 20$
$60 = 4 \times 15$
$60 = 5 \times 12$
$60 = 6 \times 10$
The list of divisors of $60$ is therefore: $\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60\}$.
Application: Decompose a number into prime factors
Example: Decompose the number $60$ into a product of prime factors.
60
30
15
5
1
2
2
3
5
We therefore have: $60 = 2^2 \times 3 \times 5$.
Aritmética en $\mathbb{N}$
Definición 1: Realizar la división euclídea de un número natural $a$ por un entero estrictamente positivo $b$ es encontrar los dos números naturales llamados cociente $q$ y resto $r$ tales que:
Definición 2: Decimos que el número natural $b$ es un divisor del número natural $a$ cuando el resto de la división euclídea de $a$ por $b$ es igual a cero, es decir que existe un número natural $q$ tal que:
Vocabulario: Las siguientes frases tienen el mismo significado.
- $b$ es un divisor de $a$
- $b$ divide a $a$
- $a$ es un múltiplo de $b$
- $a$ es divisible por $b$
Demostración: Demostrar que $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}$.
Razonamiento por reducción al absurdo.
Si $\dfrac{1}{3} \in \mathbb{D}$ entonces existe un número entero $n$ y un número natural no nulo $p$ tales que $\dfrac{1}{3} = \dfrac{n}{10^p}$.
Por lo tanto $3n = 10^p = 10 \times 10 \times \dots \times 10$ ($p$ factores).
Por lo tanto $3$ es un divisor de $10^p$.
Este resultado es absurdo, así que la hipótesis inicial es falsa.
Por lo tanto $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}$.
Definición 3: Decimos que un número natural es primo cuando tiene exactamente $2$ divisores: $1$ y él mismo.
Definición 4: Decimos que números naturales son primos entre sí cuando su único divisor común es $1$.
Definición 5: Decimos que un número natural $a$ es par cuando es divisible por $2$, es decir que existe un número natural $q$ tal que: $a = 2 \times q$
Definición 6: Decimos que un número natural $a$ es impar cuando no es divisible por $2$, es decir que existe un número natural $q$ tal que: $a = 2 \times q + 1$
Propiedad 1: Sea $a$ un número natural;
Demostración:
- Si $a$ es par entonces existe un número natural $q$ tal que $a = 2 \times q$.
Por lo tanto $a^2 = (2 \times q)^2 = 2^2 \times q^2 = 2 \times (2q^2)$ así que $a^2$ es par. - Para demostrar que si $a^2$ es par entonces $a$ es par, utilizamos la contrarrecíproca de esta proposición.
En lógica, [si $a^2$ es par entonces $a$ es par] es equivalente a [si $a$ no es par entonces $a^2$ no es par].
Si $a$ no es par entonces es impar, así que existe un número natural $q$ tal que $a = 2 \times q + 1$.
Por lo tanto $a^2 = (2 \times q + 1)^2 = (2q + 1)(2q + 1) = 4q^2 + 4q + 1 = 2(2q^2 + 2q) + 1$ así que $a^2$ es impar.
Por lo tanto $a^2$ no es par.
Aplicación: Encontrar todos los divisores de un número
Ejemplo: Encontrar todos los divisores de $60$.
$60 = 1 \times 60$
$60 = 2 \times 30$
$60 = 3 \times 20$
$60 = 4 \times 15$
$60 = 5 \times 12$
$60 = 6 \times 10$
La lista de los divisores de $60$ es por lo tanto: $\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60\}$.
Aplicación: Descomponer un número en factores primos
Ejemplo: Descomponer el número $60$ en producto de factores primos.
60
30
15
5
1
2
2
3
5
Por lo tanto tenemos: $60 = 2^2 \times 3 \times 5$.