QCM : Echantillonnage et Intervalle de fluctuation au seuil de 95 %

1. Qu'est-ce que la fluctuation d'échantillonnage ?

Le fait que la proportion $p$ change dans la population. Le fait que la fréquence observée $f$ varie d'un échantillon à l'autre. Une erreur de calcul dans la fréquence. La taille de l'échantillon.

2. Quelle est la formule de l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% ?

$[p - \sqrt{n}; p + \sqrt{n}]$ $[f - \frac{1}{\sqrt{n}}; f + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ $[p - \frac{1}{\sqrt{n}}; p + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ $[p - \frac{1}{n}; p + \frac{1}{n}]$

3. Quelles sont les conditions de validité pour utiliser l'intervalle de fluctuation $[p - \frac{1}{\sqrt{n}}; p + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ ?

$n \ge 20$ et $0.25 \le p \le 0.75$ $n \ge 30$ et $0.1 \le p \le 0.9$ $n \ge 25$ et $0.2 \le p \le 0.8$ $n \ge 50$ et $0.3 \le p \le 0.7$

4. L'intervalle de fluctuation est calculé au seuil de 95%. Qu'est-ce que cela signifie ?

Que la fréquence $f$ sera dans l'intervalle dans 100% des cas. Que la fréquence $f$ sera dans l'intervalle dans 5% des cas. Que la fréquence $f$ sera dans l'intervalle dans environ 95% des cas. Que la proportion $p$ est égale à 0.95.

5. Si la fréquence observée $f$ se trouve DANS l'intervalle de fluctuation, que peut-on conclure ?

On rejette l'hypothèse sur la proportion $p$. On accepte l'hypothèse sur la proportion $p$. L'échantillon n'est pas représentatif. Il faut refaire l'expérience.

6. Si la fréquence observée $f$ se trouve EN DEHORS de l'intervalle de fluctuation, que peut-on conclure ?

On accepte l'hypothèse sur $p$ avec un risque d'erreur de 5%. L'échantillon est trop petit. On rejette l'hypothèse sur $p$ avec un risque d'erreur de 5%. On rejette l'hypothèse sur $p$ avec une certitude de 100%.

7. Que représente la lettre $n$ dans la formule de l'intervalle de fluctuation ?

Le nombre de succès. La proportion théorique. La taille de l'échantillon. La fréquence observée.

8. On suppose que la proportion d'un caractère dans une population est $p = 0.5$. On prélève un échantillon de taille $n=100$. Quel est l'intervalle de fluctuation ?

$[0.45; 0.55]$ $[0.4; 0.6]$ $[0; 1]$ $[0.49; 0.51]$

9. Pour une proportion $p=0.3$ et un échantillon de taille $n=400$, quel est l'intervalle de fluctuation ?

$[0.2; 0.4]$ $[0.295; 0.305]$ $[0.25; 0.35]$ $[0.1; 0.5]$

10. Un fabricant affirme que 40% de ses produits ont un certain défaut ($p=0.4$). On teste un échantillon de 100 produits et on trouve 32 produits défectueux. L'hypothèse du fabricant est-elle acceptable ?

Non, car 32% est différent de 40%. Oui, car l'échantillon est grand. Oui, car la fréquence observée est dans l'intervalle de fluctuation. Non, car la fréquence observée est en dehors de l'intervalle de fluctuation.

11. On lance 64 fois une pièce. On obtient 40 fois "Pile". La pièce est-elle suspecte d'être truquée (on suppose qu'une pièce non truquée a $p=0.5$ pour "Pile") ?

Non, la fréquence est dans l'intervalle de fluctuation. Oui, la fréquence est en dehors de l'intervalle de fluctuation. On ne peut pas conclure car $n$ est trop petit. Oui, car on devrait obtenir exactement 32 "Pile".

12. Pour un sondage, on interroge 900 personnes. La proportion théorique d'avis favorable est $p=0.6$. L'intervalle de fluctuation est :

$[0.5; 0.7]$ $[0.567; 0.633]$ $[0.59; 0.61]$ $[0.2; 0.8]$

13. Comment évolue la largeur de l'intervalle de fluctuation si la taille de l'échantillon $n$ augmente ?

Elle augmente. Elle diminue. Elle ne change pas. Elle dépend de $p$.

14. On suppose que $p=0.2$. Quelle est la plus petite taille d'échantillon $n$ pour laquelle on peut utiliser l'intervalle de fluctuation ?

20 100 25 30

15. Un maire affirme que 50% des habitants de sa ville sont satisfaits de sa politique. Un sondage sur 400 personnes révèle 180 personnes satisfaites. Que peut-on dire ?

Son affirmation est validée car 180 est proche de 200. Son affirmation est rejetée au seuil de 95%. Son affirmation est acceptée au seuil de 95%. Le sondage est invalide car les conditions sur p ne sont pas remplies.

16. On suppose que $p=0.7$. On observe une fréquence $f=0.6$ dans un échantillon. Quelle doit être la taille minimale de l'échantillon $n$ pour rejeter l'hypothèse $p=0.7$ ?

$n > 50$ $n > 25$ $n > 100$ On ne peut jamais la rejeter.

17. Un candidat à une élection est crédité de 25% des intentions de vote ($p=0.25$). On réalise un sondage sur 100 personnes. Dans quel intervalle doit se situer le nombre de personnes déclarant voter pour lui pour que l'hypothèse soit acceptée ?

Entre 20 et 30 personnes. Entre 15 et 35 personnes. Exactement 25 personnes. Entre 24 et 26 personnes.

18. On teste un dé et on obtient 25 fois le chiffre "6" en 100 lancers. Peut-on considérer le dé comme équilibré ($p=1/6$) ?

Oui, car les conditions $n \ge 25$ et $0.2 \le p \le 0.8$ sont vérifiées. Non, car la proportion théorique $p$ ne respecte pas les conditions d'application. Oui, car la fréquence est dans l'intervalle de fluctuation. Non, car la fréquence est en dehors de l'intervalle de fluctuation.

19. Un intervalle de fluctuation est $[0.32; 0.48]$. La taille de l'échantillon est $n=225$. Quelle est la proportion théorique $p$ qui a servi à le calculer ?

$p = 0.38$ $p = 0.42$ $p = 0.40$ On ne peut pas savoir.

20. On suppose que $p=0.5$. On souhaite avoir un intervalle de fluctuation de largeur 0.02. Quelle doit être la taille de l'échantillon $n$ ?

$n = 1000$ $n = 2500$ $n = 10000$ $n = 5000$