QCM : Vecteurs, Parallélogrammes, Colinéarité

1. Quelles sont les trois caractéristiques qui définissent un vecteur ?

Une origine, une extrémité et une longueur. Une direction, un sens et une longueur (ou norme). Deux points, une flèche et une droite. Des coordonnées, un sens et une direction.

2. Si deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont égaux, que peut-on affirmer avec certitude ?

Leurs origines sont confondues. Ils sont représentés par la même flèche. Ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Leurs directions sont perpendiculaires.

3. Que signifie dire que deux vecteurs non nuls sont colinéaires ?

Ils ont la même longueur. Ils ont la même direction. Ils ont le même sens. Ils sont égaux.

4. Si $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$ avec $k < 0$, que peut-on dire du sens de $\vec{u}$ par rapport à $\vec{v}$ ?

Ils ont le même sens. On ne peut rien dire. Ils sont de sens contraire. Leur sens est indéfini.

5. L'affirmation "$\vec{AB} = \vec{CD}$ équivaut à $ABCD$ est un parallélogramme" est-elle correcte ?

Oui, toujours. Non, cela équivaut à ABDC est un parallélogramme. Non, cela équivaut à ACBD est un parallélogramme. Oui, mais seulement si les points ne sont pas alignés.

6. Dans un repère, si $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$, quelles sont les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ ?

$(x_A - x_B, y_A - y_B)$ $(x_A + x_B, y_A + y_B)$ $(x_B - x_A, y_B - y_A)$ $(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2})$

7. Dans un repère, on a les points $A(2, 5)$ et $B(-1, 3)$. Quelles sont les coordonnées du vecteur $\vec{BA}$ ?

$\binom{3}{2}$ $\binom{-3}{-2}$ $\binom{1}{8}$ $\binom{-3}{2}$

8. Si $\vec{u}\binom{-4}{6}$, quelles sont les coordonnées du vecteur $\frac{1}{2}\vec{u}$ ?

$\binom{-8}{12}$ $\binom{-2}{3}$ $\binom{2}{-3}$

9. Deux vecteurs $\vec{u}\binom{x}{y}$ et $\vec{v}\binom{x'}{y'}$ sont dits colinéaires si et seulement si :

$xx' + yy' = 0$ $xy' - x'y = 0$ $xx' - yy' = 0$ $x=x'$ et $y=y'$

10. Les vecteurs $\vec{u}\binom{3}{-2}$ et $\vec{v}\binom{-6}{4}$ sont-ils colinéaires ?

Non, car $3 \times (-6) \neq (-2) \times 4$. On ne peut pas savoir. Oui, car $3 \times 4 - (-2) \times (-6) = 0$. Oui, car ils sont de sens opposé.

11. Soient les points $A(-1, 2)$ et $B(3, 4)$. Le point $C(7, 6)$ appartient-il à la droite (AB) ?

Non, car C n'est pas le milieu de [AB]. Oui, car les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. Non, car les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires. On ne peut pas le déterminer avec ces informations.

12. Dans un repère, on donne les points $A(1, 1)$, $B(3, 0)$ et $C(0, 2)$. Quelles sont les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme ?

$D(2, 1)$ $D(-2, 3)$ $D(4, -1)$

13. Soit un repère $(O, I, J)$. On donne les points $A(5, -2)$ et $B(-1, 1)$. Quelles sont les coordonnées du point $M$ tel que $\vec{OM} = -2\vec{AB}$ ?

$M(-12, 6)$ $M(12, -6)$ $M(8, -1)$

14. Soient $A(2, -1)$, $B(0, 3)$ et $C(-4, y)$. Pour quelle valeur de $y$ les points A, B et C sont-ils alignés ?

$y = 7$ $y = -5$ $y = 9$ $y = 11$

15. Soient les points $A(-1, 2)$, $B(3, 4)$ et $C(0, -1)$. Quelles sont les coordonnées du point D tel que $ABDC$ soit un parallélogramme ?

$D(4, 1)$ $D(-4, -3)$ $D(2, 7)$ $D(4, -3)$

16. Pour quelles valeurs du réel $m$ les vecteurs $\vec{u}\binom{m-2}{3}$ et $\vec{v}\binom{15}{m+2}$ sont-ils colinéaires ?

$m=7$ $m=7$ ou $m=-7$ $m=49$ $m=19$

17. On donne les points $P(2, -1)$, $Q(3, 4)$ et $R(-1, 0)$. Les droites (PQ) et (RS) sont parallèles si le point S a pour coordonnées :

$S(0, 5)$ $S(1, 5)$ $S(0, 4)$ $S(-2, -5)$

18. Soit $A(1, 1)$ et $B(5, 3)$. Quelles sont les coordonnées du point $C$ sur l'axe des abscisses tel que $A, B, C$ soient alignés ?

$C(3, 0)$ $C(0, -1)$ $C(-1, 0)$ $C(-3, 0)$

19. Dans un repère, on donne $A(5, -2)$, et le point $M$ tel que $\vec{AM}$ et $\vec{u}\binom{-3}{4}$ soient égaux. Quelles sont les coordonnées de M ?

$M(8, -6)$ $M(-8, 6)$ $M(2, 2)$ $M(2, -2)$

20. Soit $k$ un nombre réel. On donne les vecteurs $\vec{u}\binom{k-1}{2}$ et $\vec{v}\binom{4}{k+1}$. Pour quelle(s) valeur(s) de $k$ ces vecteurs sont-ils colinéaires ?

$k=3$ $k=-3$ $k=4$ et $k=-2$ $k=3$ et $k=-3$

21. En lisant le graphique, quelles sont les coordonnées du vecteur $\vec{AC}$ ?

$\binom{4}{2}$ $\binom{0}{4}$ $\binom{-4}{-2}$ $\binom{2}{4}$

22. Quel vecteur représenté sur la figure est égal au vecteur $\vec{EB}$ ?

$\vec{a}$ $\vec{b}$ $\vec{c}$ $\vec{AC}$

23. En observant le graphique, que peut-on dire des vecteurs $\vec{AC}$ et $\vec{EB}$ ?

Ils sont égaux. Ils sont opposés. Ils sont colinéaires. Ils n'ont aucun lien.

24. Quelles sont les coordonnées du point F tel que ABEF soit un parallélogramme ?

$F(-4, 0)$ $F(2, 2)$ $F(0, -2)$ $F(-3, -1)$

25. Quel vecteur représenté sur la figure est égal à $-2\vec{b}$ ?

$\vec{AC}$ $2\vec{c}$ $\vec{CA}$ Aucun, mais $\vec{CA}$ est colinéaire à $\vec{b}$.