Exercice 1 : Arbre pondéré et probabilité conditionnelleExercise 1: Probability tree and conditional probabilityEjercicio 1: Diagrama de árbol y probabilidad condicional
Un lycée de 800 élèves propose une option « Arts ». On sait que :
$55\,\%$ des élèves de ce lycée sont des filles.
$15\,\%$ des filles ont choisi l'option Arts.
$10\,\%$ des garçons ont choisi l'option Arts.
On choisit au hasard un élève de ce lycée. On note $F$ l'évènement « L'élève est une fille », $G$ l'évènement « L'élève est un garçon » et $A$ l'évènement « L'élève a choisi l'option Arts ».
1. Modéliser la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité que l'élève choisi soit une fille qui a pris l'option Arts, c'est-à-dire $p(F \cap A)$.
3. Déduire des données de l'énoncé les probabilités $p(G)$ et $p_G(A)$. En déduire $p(G \cap A)$.
4. En utilisant les résultats précédents, justifier que $p(A) = 0,1275$.
5. Sachant que l'élève choisi a pris l'option Arts, quelle est la probabilité que ce soit une fille ? (Arrondir au millième).
A high school with 800 students offers an "Arts" elective. We know that:
$55\,\%$ of the students are girls.
$15\,\%$ of the girls chose the Arts elective.
$10\,\%$ of the boys chose the Arts elective.
A student is chosen at random. Let $F$ be the event "The student is a girl", $G$ the event "The student is a boy" and $A$ the event "The student chose Arts".
1. Model the situation with a probability tree.
2. Calculate the probability that the chosen student is a girl who takes Arts, meaning $p(F \cap A)$.
3. Deduce $p(G)$ and $p_G(A)$ from the text. Then calculate $p(G \cap A)$.
4. Justify that $p(A) = 0.1275$.
5. Knowing the student chose Arts, what is the probability that it is a girl? (Round to thousandths).
Un instituto con 800 alumnos ofrece una optativa de "Artes". Sabemos que:
El $55\,\%$ de los alumnos son chicas.
El $15\,\%$ de las chicas eligieron la optativa de Artes.
El $10\,\%$ de los chicos eligieron la optativa de Artes.
Se elige un alumno al azar. Sea $F$ el suceso "El alumno es una chica", $G$ "El alumno es un chico" y $A$ "El alumno eligió Artes".
1. Modela la situación con un diagrama de árbol.
2. Calcula la probabilidad de que el alumno elegido sea una chica que estudia Artes, es decir, $p(F \cap A)$.
3. Deduce $p(G)$ y $p_G(A)$ del texto. Luego calcula $p(G \cap A)$.
4. Justifica que $p(A) = 0.1275$.
5. Sabiendo que el alumno eligió Artes, ¿cuál es la probabilidad de que sea una chica? (Redondea a las milésimas).
Corrigé :Solution:Solución:
L'arbre est modélisé ci-dessus avec les probabilités déduites de l'énoncé ($p(F)=0,55$, $p_F(A)=0,15$, etc.).
On cherche $p(F \cap A)$. D'après la formule des probabilités composées (ou en suivant le chemin sur l'arbre) :
$p(F \cap A) = p(F) \times p_F(A) = 0,55 \times 0,15 = $ $0,0825$.
Les filles représentent 55% des élèves, donc les garçons représentent 45%. Ainsi $p(G) = 1 - 0,55 = $ $0,45$.
L'énoncé dit que 10% des garçons ont choisi Arts, d'où $p_G(A) = $ $0,10$.
On en déduit : $p(G \cap A) = p(G) \times p_G(A) = 0,45 \times 0,10 = $ $0,045$.
Les évènements $F$ et $G$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :
$p(A) = p(F \cap A) + p(G \cap A) = 0,0825 + 0,045 = $ $0,1275$.
On cherche $p_A(F)$, la probabilité conditionnelle "inversée" :
$p_A(F) = \dfrac{p(F \cap A)}{p(A)} = \dfrac{0,0825}{0,1275} \approx $ $0,647$.
The tree is modeled above with probabilities deduced from the text ($p(F)=0.55$, $p_F(A)=0.15$, etc.).
We want $p(F \cap A)$. Using the path on the tree:
$p(F \cap A) = p(F) \times p_F(A) = 0.55 \times 0.15 = $ $0.0825$.
Girls are 55% of students, so boys are 45%. Thus $p(G) = 1 - 0.55 = $ $0.45$.
10% of boys chose Arts, so $p_G(A) = $ $0.10$.
We deduce: $p(G \cap A) = p(G) \times p_G(A) = 0.45 \times 0.10 = $ $0.045$.
$F$ and $G$ form a partition. Using the law of total probability:
$p(A) = p(F \cap A) + p(G \cap A) = 0.0825 + 0.045 = $ $0.1275$.
El árbol se modela arriba con probabilidades deducidas del texto ($p(F)=0.55$, $p_F(A)=0.15$, etc.).
Buscamos $p(F \cap A)$. Siguiendo el camino en el árbol:
$p(F \cap A) = p(F) \times p_F(A) = 0.55 \times 0.15 = $ $0.0825$.
Las chicas son el 55% de los alumnos, así que los chicos son el 45%. Luego $p(G) = 1 - 0.55 = $ $0.45$.
El 10% de los chicos eligió Artes, así que $p_G(A) = $ $0.10$.
Deducimos: $p(G \cap A) = p(G) \times p_G(A) = 0.45 \times 0.10 = $ $0.045$.
$F$ y $G$ forman una partición. Usando la ley de probabilidad total:
$p(A) = p(F \cap A) + p(G \cap A) = 0.0825 + 0.045 = $ $0.1275$.
Exercice 2 : Calculs formels et indépendanceExercise 2: Formal calculations and independenceEjercicio 2: Cálculos formales e independencia
On considère deux évènements $A$ et $B$ issus d'une même expérience aléatoire. On donne les probabilités suivantes : $p(A) = 0,4$ ; $p(B) = 0,5$ et $p(A \cup B) = 0,7$.
1. En utilisant la formule liant la réunion et l'intersection, calculer $p(A \cap B)$. Modéliser ensuite la situation à l'aide d'un tableau croisé.
2. Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier rigoureusement.
3. Calculer la probabilité conditionnelle $p_A(B)$.
4. Calculer la probabilité de l'évènement $A \cap \overline{B}$.
5. En déduire la probabilité conditionnelle $p_{\overline{B}}(A)$.
Consider two events $A$ and $B$. We are given: $p(A) = 0.4$, $p(B) = 0.5$ and $p(A \cup B) = 0.7$.
1. Calculate $p(A \cap B)$ using the union-intersection formula. Then model the situation with a two-way table.
2. Are events $A$ and $B$ independent? Justify rigorously.
3. Calculate the conditional probability $p_A(B)$.
4. Calculate the probability of event $A \cap \overline{B}$.
5. Deduce the conditional probability $p_{\overline{B}}(A)$.
Consideramos dos sucesos $A$ y $B$. Tenemos: $p(A) = 0.4$, $p(B) = 0.5$ y $p(A \cup B) = 0.7$.
1. Calcula $p(A \cap B)$ usando la fórmula de unión-intersección. Luego modela la situación con una tabla de doble entrada.
2. ¿Son los sucesos $A$ y $B$ independientes? Justifica rigurosamente.
3. Calcula la probabilidad condicional $p_A(B)$.
4. Calcula la probabilidad del suceso $A \cap \overline{B}$.
5. Deduce la probabilidad condicional $p_{\overline{B}}(A)$.
Corrigé :Solution:Solución:
$B$
$\overline{B}$
Total
$A$
0,200.200.20
0,200.200.20
0,400.400.40
$\overline{A}$
0,300.300.30
0,300.300.30
0,600.600.60
Total
0,500.500.50
0,500.500.50
1
On sait que $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.
Donc $0,7 = 0,4 + 0,5 - p(A \cap B) \iff 0,7 = 0,9 - p(A \cap B) \iff p(A \cap B) = 0,9 - 0,7 = $ $0,2$.
(Voir le tableau complété ci-dessus).
Deux évènements sont indépendants si et seulement si $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$.
Ici, $p(A \cap B) = 0,2$ et $p(A) \times p(B) = 0,4 \times 0,5 = 0,20$.
Les deux valeurs étant égales, les évènements $A$ et $B$ sont indépendants.
$p_A(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)} = \dfrac{0,2}{0,4} = $ $0,5$. (Logique, puisque $A$ et $B$ sont indépendants, on retrouve bien $p_A(B) = p(B)$).
Grâce au tableau ou à la formule $p(A) = p(A \cap B) + p(A \cap \overline{B})$ :
$p(A \cap \overline{B}) = p(A) - p(A \cap B) = 0,4 - 0,2 = $ $0,2$.
We know $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.
So $0.7 = 0.4 + 0.5 - p(A \cap B) \iff p(A \cap B) = 0.9 - 0.7 = $ $0.2$. (See completed table above).
Independent if $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$.
$p(A \cap B) = 0.2$ and $p(A) \times p(B) = 0.4 \times 0.5 = 0.20$.
They are equal, so events $A$ and $B$ are independent.
Sabemos que $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.
Así $0.7 = 0.4 + 0.5 - p(A \cap B) \iff p(A \cap B) = 0.9 - 0.7 = $ $0.2$. (Ver tabla completada arriba).
Independientes si $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$.
$p(A \cap B) = 0.2$ y $p(A) \times p(B) = 0.4 \times 0.5 = 0.20$.
Son iguales, por lo que los sucesos $A$ y $B$ son independientes.
Exercice 3 : Arbre à 3 branches et probabilités totalesExercise 3: 3-branch tree and total probabilitiesEjercicio 3: Árbol de 3 ramas y probabilidades totales
Une usine fabrique des puces électroniques à l'aide de trois machines $M_1, M_2$ et $M_3$.
La machine $M_1$ assure $50\,\%$ de la production.
La machine $M_2$ assure $30\,\%$ de la production.
La machine $M_3$ assure le reste de la production.
Un contrôle qualité a montré que $2\,\%$ des puces produites par $M_1$ sont défectueuses, contre $3\,\%$ pour $M_2$ et $4\,\%$ pour $M_3$. On prélève au hasard une puce dans la production totale. On note $D$ l'évènement « La puce est défectueuse ».
1. Traduire la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité que la puce provienne de la machine $M_1$ et soit défectueuse.
3. En utilisant la formule des probabilités totales, démontrer que $p(D) = 0,027$.
4. On constate que la puce prélevée est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle ait été fabriquée par la machine $M_3$ ?
A factory manufactures chips using three machines $M_1, M_2, M_3$.
Machine $M_1$ handles $50\,\%$ of production.
Machine $M_2$ handles $30\,\%$ of production.
Machine $M_3$ handles the rest.
Quality control shows $2\,\%$ of chips from $M_1$ are defective, $3\,\%$ for $M_2$ and $4\,\%$ for $M_3$. We pick a chip at random. $D$ = "The chip is defective".
1. Translate the situation into a probability tree.
2. Calculate the probability that the chip comes from $M_1$ and is defective.
3. Using the law of total probability, prove that $p(D) = 0.027$.
4. Given the chip is defective, what is the probability it was made by $M_3$?
Una fábrica produce chips usando tres máquinas $M_1, M_2, M_3$.
La máquina $M_1$ asume el $50\,\%$ de la producción.
La máquina $M_2$ asume el $30\,\%$ de la producción.
La máquina $M_3$ asume el resto.
El control de calidad muestra que el $2\,\%$ de chips de $M_1$ son defectuosos, $3\,\%$ para $M_2$ y $4\,\%$ para $M_3$. Elegimos un chip al azar. $D$ = "El chip es defectuoso".
1. Traduce la situación en un diagrama de árbol.
2. Calcula la probabilidad de que el chip provenga de $M_1$ y sea defectuoso.
3. Usando el teorema de probabilidad total, prueba que $p(D) = 0.027$.
4. Sabiendo que el chip es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que fuera fabricado por $M_3$?
Exercice 4 : Expérience successive (Dé puis Urnes)Exercise 4: Successive experiment (Dice then Urns)Ejercicio 4: Experimento sucesivo (Dado y luego Urnas)
On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$. L'urne $U_1$ contient $3$ boules blanches et $2$ boules noires. L'urne $U_2$ contient $1$ boule blanche et $3$ boules noires. On lance un dé cubique bien équilibré, dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$.
Si le résultat est $1$ ou $2$, on tire une boule au hasard dans l'urne $U_1$.
Sinon, on tire une boule au hasard dans l'urne $U_2$.
On note $U_1$ l'évènement « On choisit l'urne $U_1$ », $U_2$ l'évènement « On choisit l'urne $U_2$ » et $B$ l'évènement « On tire une boule blanche ».
1. Donner les probabilités $p(U_1)$ et $p(U_2)$. Représenter ensuite cette expérience par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité de l'évènement $U_1 \cap B$.
3. Démontrer que la probabilité de tirer une boule blanche est $p(B) = \dfrac{11}{30}$.
4. Sachant que l'on a tiré une boule blanche, quelle est la probabilité qu'elle provienne de l'urne $U_2$ ?
We have two urns $U_1$ and $U_2$. $U_1$ contains 3 white balls and 2 black balls. $U_2$ contains 1 white ball and 3 black balls. We roll a fair 6-sided die.
If the result is 1 or 2, we draw a ball from $U_1$.
Otherwise, we draw a ball from $U_2$.
Let $U_1$ be "Choosing urn $U_1$", $U_2$ "Choosing urn $U_2$" and $B$ "Drawing a white ball".
1. Give $p(U_1)$ and $p(U_2)$. Then represent this with a probability tree.
2. Calculate the probability of $U_1 \cap B$.
3. Prove that $p(B) = \dfrac{11}{30}$.
4. Knowing a white ball was drawn, what is the probability it came from $U_2$?
Tenemos dos urnas $U_1$ y $U_2$. $U_1$ contiene 3 bolas blancas y 2 negras. $U_2$ contiene 1 blanca y 3 negras. Lanzamos un dado de 6 caras.
Si el resultado es 1 o 2, sacamos una bola de $U_1$.
Si no, sacamos una bola de $U_2$.
Sea $U_1$ "Elegir urna $U_1$", $U_2$ "Elegir urna $U_2$" y $B$ "Sacar una bola blanca".
1. Da $p(U_1)$ y $p(U_2)$. Luego representa esto con un diagrama de árbol.
2. Calcula la probabilidad de $U_1 \cap B$.
3. Demuestra que $p(B) = \dfrac{11}{30}$.
4. Sabiendo que se sacó una bola blanca, ¿cuál es la probabilidad de que venga de $U_2$?
Corrigé :Solution:Solución:
Le dé a 6 faces. « Obtenir 1 ou 2 » donne 2 chances sur 6. Donc $p(U_1) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
Le reste (3,4,5,6) donne $p(U_2) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$. (L'arbre est dessiné ci-dessus).
Exercice 5 : Maladie et test de dépistageExercise 5: Disease and screening testEjercicio 5: Enfermedad y prueba de detección
Une maladie touche $1\,\%$ de la population d'un pays. Un laboratoire met au point un test de dépistage pour cette maladie. Les essais cliniques montrent que :
Si une personne est malade, le test est positif dans $98\,\%$ des cas.
Si une personne n'est pas malade, le test est négatif dans $96\,\%$ des cas.
On choisit une personne au hasard dans la population. On note $M$ l'évènement « La personne est malade » et $T$ l'évènement « Le test est positif ».
1. Construire un arbre pondéré modélisant cette situation.
2. Calculer la probabilité que la personne soit malade et que son test soit positif.
3. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est $p(T) = 0,0494$.
4. On appelle « Valeur Prédictive Positive » la probabilité qu'une personne soit réellement malade sachant que son test est positif. Calculer cette valeur (arrondir au millième).
5. Ce résultat (faible proportion de vrais malades parmi les tests positifs) vous semble-t-il étonnant ? Comment l'expliquer ?
A disease affects $1\,\%$ of a population. A screening test is developed:
If a person is sick, the test is positive in $98\,\%$ of cases.
If a person is not sick, the test is negative in $96\,\%$ of cases.
We choose a person at random. $M$ = "Sick", $T$ = "Test is positive".
1. Construct a probability tree.
2. Calculate the probability the person is sick and tests positive.
3. Prove $p(T) = 0.0494$.
4. Calculate the "Positive Predictive Value" (probability of being sick given a positive test). Round to thousandths.
5. Is this low result surprising? How to explain it?
Una enfermedad afecta al $1\,\%$ de una población. Se desarrolla una prueba:
Si una persona está enferma, la prueba es positiva en el $98\,\%$ de los casos.
Si no está enferma, la prueba es negativa en el $96\,\%$ de los casos.
Elegimos una persona al azar. $M$ = "Enfermo", $T$ = "Prueba positiva".
1. Construye un diagrama de árbol.
2. Calcula la probabilidad de que la persona esté enferma y dé positivo.
3. Prueba que $p(T) = 0.0494$.
4. Calcula el "Valor Predictivo Positivo" (probabilidad de estar enfermo dado un test positivo). Redondea a las milésimas.
5. ¿Sorprende este resultado tan bajo? ¿Cómo explicarlo?
Corrigé :Solution:Solución:
(L'arbre est modélisé ci-dessus avec $p(M)=0,01$ et $p_{\overline{M}}(T)=1-0,96=0,04$).
On cherche $p_T(M)$ :
$p_T(M) = \dfrac{p(M \cap T)}{p(T)} = \dfrac{0,0098}{0,0494} \approx $ $0,198$ (soit environ 19,8%).
Explication : Même si le test semble très performant (98% et 96%), la maladie est très rare (1%). Par conséquent, dans la population, les "faux positifs" (personnes saines testées positives : $3,96\%$) sont environ 4 fois plus nombreux que les "vrais positifs" (personnes malades testées positives : $0,98\%$). Il n'est donc pas étonnant que la valeur prédictive soit si faible.
Explanation: Because the disease is very rare (1%), the number of "false positives" (healthy people testing positive) drastically outnumbers the "true positives". This is a classic probability paradox in medical testing.
Explicación: Debido a que la enfermedad es muy rara (1%), el número de "falsos positivos" (personas sanas que dan positivo) supera enormemente al de "verdaderos positivos". Es una paradoja clásica de la probabilidad en medicina.
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