PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
Définition 1 :
Soit $A$ et $B$ deux évènements avec $p(A) \neq 0$.
On appelle probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé le nombre :
$p_A(B) = \frac{p(A \cap B)}{p(A)}$
Vocabulaire :
- La formule précédente s'écrit aussi $p(A \cap B) = p_A(B) \times p(A)$.
- L'évènement $A \cap B$ est réalisé lorsque l'évènement $A$ est réalisé et l'évènement $B$ est réalisé.
Propriété 1 :
Si $p(A) \neq 0$ et $p(B) \neq 0$ alors :
$p(A \cap B) = p_A(B) \times p(A) = p_B(A) \times p(B)$
Exemple :
On note les évènements :
- $A$ : « La première boule tirée a le numéro 1. »
- $B$ : « La deuxième boule tirée a le numéro 1. »
- Que représentent les évènements $\bar{A}$ et $\bar{B}$ ?
- Refaire l'arbre pondéré avec les notations introduites dans ce paragraphe.
- Écrire les formules littérales de $p_1$, $p_2$, $p_3$ calculées auparavant.
-
$\bar{A}$ : « La première boule n'a pas le numéro 1. » (donc elle a le numéro 2)
$\bar{B}$ : « La deuxième boule n'a pas le numéro 1. » (donc elle a le numéro 2) -
Arbre pondéré :
$p(A)$ $p(\bar{A})$ $A$ $\bar{A}$ $p_A(B)$ $p_A(\bar{B})$ $p_{\bar{A}}(B)$ $p_{\bar{A}}(\bar{B})$ $B$ $\bar{B}$ $B$ $\bar{B}$
-
$p_1 = p(A \cap B) = p(A) \times p_A(B)$
$p_2 = p(A \cap \bar{B}) + p(\bar{A} \cap B) = p(A) \times p_A(\bar{B}) + p(\bar{A}) \times p_{\bar{A}}(B)$
$p_3 = p(A \cap \bar{B}) + p(\bar{A}) = p(A) \times p_A(\bar{B}) + p(\bar{A})$
Propriété 2 : Formule des probabilités totales
Si les évènements $A_1, A_2, \ldots, A_n$ forment une partition de $\Omega$ alors la probabilité d'un évènement $B$ de $\Omega$ est :
$p(B) = p(B \cap A_1) + p(B \cap A_2) + \cdots + p(B \cap A_n)$
Rappel : $A_1, A_2, \ldots, A_n$ forment une partition de $\Omega$ signifie que :
- Pour tous $1 \leq i, j \leq n$, $A_i \cap A_j = \varnothing$.
- $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \Omega$.
Cas particulier : Pour tous évènements $A$, $B$ de $\Omega$ :
$p(B) = p(A \cap B) + p(\bar{A} \cap B)$
Exemple :
Quelle est la probabilité que la deuxième boule tirée ait le numéro 1 ?
$p(B) = p(A \cap B) + p(\bar{A} \cap B) = p(A) \times p_A(B) + p(\bar{A}) \times p_{\bar{A}}(B)$
Définition 2 :
On dit que 2 évènements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque :
$p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$
Vocabulaire :
- Lorsque 2 évènements $A$ et $B$ sont indépendants, la réalisation de l'un n'a pas d'influence sur la probabilité de réalisation de l'autre, c'est-à-dire que $p_A(B) = p(B)$ et $p_B(A) = p(A)$.
- On trouve ce type d'évènements lors de tirages avec remise.
Propriété 3 :
Si les évènements $A$ et $B$ sont indépendants alors les évènements $\bar{A}$ et $B$ sont indépendants.
Démonstration :
$A$ et $B$ sont indépendants donc $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$.
D'après la formule des probabilités totales : $p(B) = p(A \cap B) + p(\bar{A} \cap B)$.
D'où :
$p(\bar{A} \cap B) = p(B) - p(A \cap B) = p(B) - p(A) \times p(B)$
$= p(B) \times (1 - p(A)) = p(B) \times p(\bar{A})$
Donc $\bar{A}$ et $B$ sont indépendants.
Conséquence : Si $A$ et $B$ sont indépendants alors $\bar{A}$ et $\bar{B}$ sont indépendants.
CONDITIONAL PROBABILITIES
Definition 1:
Let $A$ and $B$ be two events with $p(A) \neq 0$.
The probability of $B$ given that $A$ has occurred is the number:
$p_A(B) = \frac{p(A \cap B)}{p(A)}$
Vocabulary:
- The previous formula can also be written as $p(A \cap B) = p_A(B) \times p(A)$.
- The event $A \cap B$ occurs when event $A$ occurs and event $B$ occurs.
Property 1:
If $p(A) \neq 0$ and $p(B) \neq 0$ then:
$p(A \cap B) = p_A(B) \times p(A) = p_B(A) \times p(B)$
Example:
Let's define the events:
- $A$: "The first ball drawn has the number 1."
- $B$: "The second ball drawn has the number 1."
- What do the events $\bar{A}$ and $\bar{B}$ represent?
- Redraw the probability tree using the notations introduced in this paragraph.
- Write the literal formulas for $p_1$, $p_2$, $p_3$ calculated previously.
-
$\bar{A}$: "The first ball does not have the number 1." (so it has the number 2)
$\bar{B}$: "The second ball does not have the number 1." (so it has the number 2) -
Probability tree:
$p(A)$ $p(\bar{A})$ $A$ $\bar{A}$ $p_A(B)$ $p_A(\bar{B})$ $p_{\bar{A}}(B)$ $p_{\bar{A}}(\bar{B})$ $B$ $\bar{B}$ $B$ $\bar{B}$
-
$p_1 = p(A \cap B) = p(A) \times p_A(B)$
$p_2 = p(A \cap \bar{B}) + p(\bar{A} \cap B) = p(A) \times p_A(\bar{B}) + p(\bar{A}) \times p_{\bar{A}}(B)$
$p_3 = p(A \cap \bar{B}) + p(\bar{A}) = p(A) \times p_A(\bar{B}) + p(\bar{A})$
Property 2: Law of Total Probability
If the events $A_1, A_2, \ldots, A_n$ form a partition of $\Omega$, then the probability of an event $B$ in $\Omega$ is:
$p(B) = p(B \cap A_1) + p(B \cap A_2) + \cdots + p(B \cap A_n)$
Reminder: $A_1, A_2, \ldots, A_n$ forming a partition of $\Omega$ means that:
- For all $1 \leq i, j \leq n$, $A_i \cap A_j = \varnothing$.
- $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \Omega$.
Special case: For any events $A$, $B$ in $\Omega$:
$p(B) = p(A \cap B) + p(\bar{A} \cap B)$
Example:
What is the probability that the second ball drawn has the number 1?
$p(B) = p(A \cap B) + p(\bar{A} \cap B) = p(A) \times p_A(B) + p(\bar{A}) \times p_{\bar{A}}(B)$
Definition 2:
Two events $A$ and $B$ are said to be independent when:
$p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$
Vocabulary:
- When 2 events $A$ and $B$ are independent, the occurrence of one has no influence on the probability of occurrence of the other, meaning that $p_A(B) = p(B)$ and $p_B(A) = p(A)$.
- This type of events is found in draws with replacement.
Property 3:
If the events $A$ and $B$ are independent, then the events $\bar{A}$ and $B$ are independent.
Proof:
$A$ and $B$ are independent, so $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$.
According to the law of total probability: $p(B) = p(A \cap B) + p(\bar{A} \cap B)$.
Hence:
$p(\bar{A} \cap B) = p(B) - p(A \cap B) = p(B) - p(A) \times p(B)$
$= p(B) \times (1 - p(A)) = p(B) \times p(\bar{A})$
Therefore $\bar{A}$ and $B$ are independent.
Consequence: If $A$ and $B$ are independent, then $\bar{A}$ and $\bar{B}$ are independent.
PROBABILIDADES CONDICIONALES
Definición 1:
Sean $A$ y $B$ dos eventos con $p(A) \neq 0$.
La probabilidad de $B$ dado que $A$ ha ocurrido es el número:
$p_A(B) = \frac{p(A \cap B)}{p(A)}$
Vocabulario:
- La fórmula anterior también se escribe $p(A \cap B) = p_A(B) \times p(A)$.
- El evento $A \cap B$ ocurre cuando el evento $A$ ocurre y el evento $B$ ocurre.
Propiedad 1:
Si $p(A) \neq 0$ y $p(B) \neq 0$ entonces:
$p(A \cap B) = p_A(B) \times p(A) = p_B(A) \times p(B)$
Ejemplo:
Definimos los eventos:
- $A$: "La primera bola extraída tiene el número 1."
- $B$: "La segunda bola extraída tiene el número 1."
- ¿Qué representan los eventos $\bar{A}$ y $\bar{B}$?
- Rehacer el árbol de probabilidad con las notaciones introducidas en este párrafo.
- Escribir las fórmulas literales para $p_1$, $p_2$, $p_3$ calculadas previamente.
-
$\bar{A}$: "La primera bola no tiene el número 1." (por lo que tiene el número 2)
$\bar{B}$: "La segunda bola no tiene el número 1." (por lo que tiene el número 2) -
Árbol de probabilidad:
$p(A)$ $p(\bar{A})$ $A$ $\bar{A}$ $p_A(B)$ $p_A(\bar{B})$ $p_{\bar{A}}(B)$ $p_{\bar{A}}(\bar{B})$ $B$ $\bar{B}$ $B$ $\bar{B}$
-
$p_1 = p(A \cap B) = p(A) \times p_A(B)$
$p_2 = p(A \cap \bar{B}) + p(\bar{A} \cap B) = p(A) \times p_A(\bar{B}) + p(\bar{A}) \times p_{\bar{A}}(B)$
$p_3 = p(A \cap \bar{B}) + p(\bar{A}) = p(A) \times p_A(\bar{B}) + p(\bar{A})$
Propiedad 2: Fórmula de probabilidad total
Si los eventos $A_1, A_2, \ldots, A_n$ forman una partición de $\Omega$, entonces la probabilidad de un evento $B$ en $\Omega$ es:
$p(B) = p(B \cap A_1) + p(B \cap A_2) + \cdots + p(B \cap A_n)$
Recordatorio: Que $A_1, A_2, \ldots, A_n$ formen una partición de $\Omega$ significa que:
- Para todos $1 \leq i, j \leq n$, $A_i \cap A_j = \varnothing$.
- $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \Omega$.
Caso especial: Para cualquier evento $A$, $B$ en $\Omega$:
$p(B) = p(A \cap B) + p(\bar{A} \cap B)$
Ejemplo:
¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída tenga el número 1?
$p(B) = p(A \cap B) + p(\bar{A} \cap B) = p(A) \times p_A(B) + p(\bar{A}) \times p_{\bar{A}}(B)$
Definición 2:
Se dice que 2 eventos $A$ y $B$ son independientes cuando:
$p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$
Vocabulario:
- Cuando 2 eventos $A$ y $B$ son independientes, la ocurrencia de uno no influye en la probabilidad de ocurrencia del otro, es decir, $p_A(B) = p(B)$ y $p_B(A) = p(A)$.
- Este tipo de eventos se encuentra en las extracciones con reemplazo.
Propiedad 3:
Si los eventos $A$ y $B$ son independientes, entonces los eventos $\bar{A}$ y $B$ son independientes.
Demostración:
$A$ y $B$ son independientes, por lo tanto $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$.
Según la fórmula de probabilidad total: $p(B) = p(A \cap B) + p(\bar{A} \cap B)$.
De donde:
$p(\bar{A} \cap B) = p(B) - p(A \cap B) = p(B) - p(A) \times p(B)$
$= p(B) \times (1 - p(A)) = p(B) \times p(\bar{A})$
Por lo tanto $\bar{A}$ y $B$ son independientes.
Consecuencia: Si $A$ y $B$ son independientes, entonces $\bar{A}$ y $\bar{B}$ son independientes.