PROBABILITÉS
I - Vocabulaire et notations
Définition 1 : On appelle expérience aléatoire une expérience qui vérifie les 2 conditions suivantes :
- Tous les résultats possibles sont connus.
- On ne sait pas à l'avance quel résultat va se produire.
Définition 2 : On appelle issue un résultat possible d'une expérience aléatoire.
Définition 3 : On appelle univers, noté $\Omega$ ou $E$, l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire.
Définition 4 : On appelle évènement un ensemble d'issues.
Définition 5 : On appelle évènements incompatibles des évènements qui ne peuvent pas se produire simultanément.
Définition 6 : On appelle évènement contraire d'un évènement $A$, l'évènement noté $\bar{A}$ composé de toutes les issues n'appartenant pas à $A$.
Propriété 1 : Pour tous évènements $A$, $B$ :
- L'évènement « $A$ ou $B$ » est l'évènement $A \cup B$.
- L'évènement « $A$ et $B$ » est l'évènement $A \cap B$.
- $A \cap \bar{A} = \varnothing$ \quad et \quad $A \cup \bar{A} = \Omega$.
Vocabulaire :
- Toutes les issues appartiennent à l'univers $\Omega$ donc on appelle $\Omega$ l'évènement certain.
- L'ensemble vide $\varnothing$ ne contient aucune issue donc on appelle $\varnothing$ l'évènement impossible.
II - Loi de probabilité
Définition 7 : Soit $\Omega$ l'univers fini associé à une expérience aléatoire. Définir une loi de probabilité sur $\Omega$, c'est donner les probabilités $p_i$ de chaque issue $x_i$ de $\Omega$.
On regroupe ces résultats dans un tableau :
| $x_i$ | $x_1$ | $x_2$ | $\cdots$ | $x_n$ |
| $p_i$ | $p_1$ | $p_2$ | $\cdots$ | $p_n$ |
Propriété 2 :
- Si les évènements $A$ et $B$ sont incompatibles alors $p(A \cup B) = p(A) + p(B)$.
- Pour tous évènements $A$ et $B$, $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.
- Pour tout évènement $A$, $p(A) + p(\bar{A}) = 1$.
III - Modéliser une situation
a) Tableau à double entrée
Exemple :
Dans une classe de 35 élèves, sachant que 16 font du ski, 11 font du surf et 4 pratiquent les 2 sports, combien d'élèves ne pratiquent aucun sport ?
On considère les évènements $A$ : « Faire du ski » et $B$ : « Faire du surf ».
| $A$ | $\bar{A}$ | Total | |
| $B$ | $\dfrac{4}{35}$ | $\dfrac{7}{35}$ | $\dfrac{11}{35}$ |
| $\bar{B}$ | $\dfrac{12}{35}$ | $\dfrac{12}{35}$ | $\dfrac{24}{35}$ |
| Total | $\dfrac{16}{35}$ | $\dfrac{19}{35}$ | $1$ |
$p(\bar{A} \cap \bar{B}) = \dfrac{12}{35}$ donc il y a 12 élèves qui ne pratiquent aucun sport.
b) Avec un arbre pondéré
Exemple :
Une urne contient 5 boules identiques dont 3 portent le numéro 1 et 2 portent le numéro 2. On tire successivement 2 boules de l'urne sans remise.
Quelle est la probabilité :
- $p_1$ de tirer 2 boules ayant le numéro 1 ?
- $p_2$ de tirer exactement une boule ayant le numéro 2 ?
- $p_3$ de tirer au moins une boule ayant le numéro 2 ?
$p_1 = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \qquad p_2 = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{3}{5} $
$p_3 = 1 - p_1 = \frac{7}{10}$
Propriété 3 :
- La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1.
- Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un évènement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités des branches qui composent ce chemin.
- La probabilité d'un évènement est la somme des probabilités des chemins qui mènent à cet évènement.
PROBABILITIES
I - Vocabulary and notations
Definition 1: A random experiment is an experiment that satisfies the following 2 conditions:
- All possible results are known.
- It is not known in advance which result will occur.
Definition 2: An outcome is a possible result of a random experiment.
Definition 3: The sample space, denoted $\Omega$ or $E$, is the set of all outcomes of a random experiment.
Definition 4: An event is a set of outcomes.
Definition 5: Mutually exclusive events are events that cannot occur simultaneously.
Definition 6: The complementary event of an event $A$, denoted $\bar{A}$, is the event consisting of all outcomes that do not belong to $A$.
Property 1: For any events $A$, $B$:
- The event "$A$ or $B$" is the event $A \cup B$.
- The event "$A$ and $B$" is the event $A \cap B$.
- $A \cap \bar{A} = \varnothing$ \quad and \quad $A \cup \bar{A} = \Omega$.
Vocabulary:
- All outcomes belong to the sample space $\Omega$, so $\Omega$ is called the certain event.
- The empty set $\varnothing$ contains no outcomes, so $\varnothing$ is called the impossible event.
II - Probability distribution
Definition 7: Let $\Omega$ be the finite sample space associated with a random experiment. To define a probability distribution on $\Omega$ is to give the probabilities $p_i$ of each outcome $x_i$ in $\Omega$.
These results are grouped in a table:
| $x_i$ | $x_1$ | $x_2$ | $\cdots$ | $x_n$ |
| $p_i$ | $p_1$ | $p_2$ | $\cdots$ | $p_n$ |
Property 2:
- If events $A$ and $B$ are mutually exclusive then $p(A \cup B) = p(A) + p(B)$.
- For any events $A$ and $B$, $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.
- For any event $A$, $p(A) + p(\bar{A}) = 1$.
III - Modeling a situation
a) Two-way table
Example:
In a class of 35 students, knowing that 16 ski, 11 surf, and 4 practice both sports, how many students do not practice any sport?
Consider the events $A$: "To ski" and $B$: "To surf".
| $A$ | $\bar{A}$ | Total | |
| $B$ | $\dfrac{4}{35}$ | $\dfrac{7}{35}$ | $\dfrac{11}{35}$ |
| $\bar{B}$ | $\dfrac{12}{35}$ | $\dfrac{12}{35}$ | $\dfrac{24}{35}$ |
| Total | $\dfrac{16}{35}$ | $\dfrac{19}{35}$ | $1$ |
$p(\bar{A} \cap \bar{B}) = \dfrac{12}{35}$ so there are 12 students who do not practice any sport.
b) With a probability tree
Example:
An urn contains 5 identical balls, 3 of which have the number 1 and 2 have the number 2. We successively draw 2 balls from the urn without replacement.
What is the probability:
- $p_1$ of drawing 2 balls with the number 1?
- $p_2$ of drawing exactly one ball with the number 2?
- $p_3$ of drawing at least one ball with the number 2?
$p_1 = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \qquad p_2 = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{3}{5} $
$p_3 = 1 - p_1 = \frac{7}{10}$
Property 3:
- The sum of the probabilities of branches from the same node is equal to 1.
- In a probability tree, the probability of an event corresponding to a path is equal to the product of the probabilities of the branches that make up this path.
- The probability of an event is the sum of the probabilities of the paths that lead to this event.
PROBABILIDADES
I - Vocabulario y notaciones
Definición 1: Se llama experimento aleatorio a un experimento que cumple las siguientes 2 condiciones:
- Se conocen todos los resultados posibles.
- No se sabe de antemano qué resultado ocurrirá.
Definición 2: Se llama suceso elemental o resultado a un resultado posible de un experimento aleatorio.
Definición 3: Se llama espacio muestral, denotado $\Omega$ o $E$, al conjunto de los sucesos elementales de un experimento aleatorio.
Definición 4: Se llama suceso a un conjunto de sucesos elementales.
Definición 5: Se llaman sucesos incompatibles a los sucesos que no pueden ocurrir simultáneamente.
Definición 6: Se llama suceso contrario de un suceso $A$, al suceso denotado $\bar{A}$ compuesto por todos los sucesos elementales que no pertenecen a $A$.
Propiedad 1: Para cualquier par de sucesos $A$, $B$:
- El suceso "$A$ o $B$" es el suceso $A \cup B$.
- El suceso "$A$ y $B$" es el suceso $A \cap B$.
- $A \cap \bar{A} = \varnothing$ \quad y \quad $A \cup \bar{A} = \Omega$.
Vocabulario:
- Todos los sucesos elementales pertenecen al espacio muestral $\Omega$, por lo que a $\Omega$ se le llama suceso seguro.
- El conjunto vacío $\varnothing$ no contiene ningún suceso elemental, por lo que a $\varnothing$ se le llama suceso imposible.
II - Distribución de probabilidad
Definición 7: Sea $\Omega$ el espacio muestral finito asociado a un experimento aleatorio. Definir una distribución de probabilidad sobre $\Omega$, es dar las probabilidades $p_i$ de cada suceso elemental $x_i$ de $\Omega$.
Estos resultados se agrupan en una tabla:
| $x_i$ | $x_1$ | $x_2$ | $\cdots$ | $x_n$ |
| $p_i$ | $p_1$ | $p_2$ | $\cdots$ | $p_n$ |
Propiedad 2:
- Si los sucesos $A$ y $B$ son incompatibles entonces $p(A \cup B) = p(A) + p(B)$.
- Para todos los sucesos $A$ y $B$, $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.
- Para todo suceso $A$, $p(A) + p(\bar{A}) = 1$.
III - Modelizar una situación
a) Tabla de doble entrada
Ejemplo:
En una clase de 35 estudiantes, sabiendo que 16 esquían, 11 surfean y 4 practican ambos deportes, ¿cuántos estudiantes no practican ningún deporte?
Consideramos los sucesos $A$: "Esquiar" y $B$: "Surfear".
| $A$ | $\bar{A}$ | Total | |
| $B$ | $\dfrac{4}{35}$ | $\dfrac{7}{35}$ | $\dfrac{11}{35}$ |
| $\bar{B}$ | $\dfrac{12}{35}$ | $\dfrac{12}{35}$ | $\dfrac{24}{35}$ |
| Total | $\dfrac{16}{35}$ | $\dfrac{19}{35}$ | $1$ |
$p(\bar{A} \cap \bar{B}) = \dfrac{12}{35}$ por lo tanto hay 12 estudiantes que no practican ningún deporte.
b) Con un diagrama de árbol
Ejemplo:
Una urna contiene 5 bolas idénticas de las cuales 3 llevan el número 1 y 2 llevan el número 2. Se extraen sucesivamente 2 bolas de la urna sin reemplazo.
¿Cuál es la probabilidad:
- $p_1$ de extraer 2 bolas con el número 1?
- $p_2$ de extraer exactamente una bola con el número 2?
- $p_3$ de extraer al menos una bola con el número 2?
$p_1 = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \qquad p_2 = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{3}{5} $
$p_3 = 1 - p_1 = \frac{7}{10}$
Propiedad 3:
- La suma de las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nudo es igual a 1.
- En un diagrama de árbol, la probabilidad de un suceso correspondiente a un camino es igual al producto de las probabilidades de las ramas que lo componen.
- La probabilidad de un suceso es la suma de las probabilidades de los caminos que conducen a este suceso.