DROITES ET CERCLESLINES AND CIRCLESRECTAS Y CÍRCULOS
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Exercice 1 : Vecteurs normaux et orthogonalitéExercise 1: Normal vectors and orthogonalityEjercicio 1: Vectores normales y ortogonalidad
Dans un repère orthonormé, répondre aux 5 questions suivantes :
1. Les vecteurs $\overrightarrow{u}\displaystyle\binom{2}{-3}$ et $\overrightarrow{v}\displaystyle\binom{3}{2}$ sont-ils orthogonaux ?
2. Déterminer le réel $k$ pour que les vecteurs $\overrightarrow{u}\displaystyle\binom{k}{4}$ et $\overrightarrow{v}\displaystyle\binom{2}{-5}$ soient orthogonaux.
3. Donner les coordonnées d'un vecteur normal $\overrightarrow{n}$ à la droite dont un vecteur directeur est $\overrightarrow{d}\displaystyle\binom{-1}{4}$.
4. Le vecteur $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{1}{2}$ est-il un vecteur normal à la droite $(AB)$ avec $A(1; 1)$ et $B(3; 0)$ ?
5. Soit $(d)$ la droite d'équation cartésienne $3x - y + 2 = 0$. Donner un vecteur normal à $(d)$.
In an orthonormal coordinate system, answer the 5 following questions:
1. Are the vectors $\overrightarrow{u}\displaystyle\binom{2}{-3}$ and $\overrightarrow{v}\displaystyle\binom{3}{2}$ orthogonal?
2. Determine the real number $k$ so that the vectors $\overrightarrow{u}\displaystyle\binom{k}{4}$ and $\overrightarrow{v}\displaystyle\binom{2}{-5}$ are orthogonal.
3. Give the coordinates of a normal vector $\overrightarrow{n}$ to the line whose direction vector is $\overrightarrow{d}\displaystyle\binom{-1}{4}$.
4. Is the vector $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{1}{2}$ a normal vector to the line $(AB)$ with $A(1; 1)$ and $B(3; 0)$?
5. Let $(d)$ be the line with Cartesian equation $3x - y + 2 = 0$. Give a normal vector to $(d)$.
En un sistema de coordenadas ortonormal, responde a las siguientes 5 preguntas:
1. ¿Son ortogonales los vectores $\overrightarrow{u}\displaystyle\binom{2}{-3}$ y $\overrightarrow{v}\displaystyle\binom{3}{2}$?
2. Determina el número real $k$ para que los vectores $\overrightarrow{u}\displaystyle\binom{k}{4}$ y $\overrightarrow{v}\displaystyle\binom{2}{-5}$ sean ortogonales.
3. Da las coordenadas de un vector normal $\overrightarrow{n}$ a la recta cuyo vector director es $\overrightarrow{d}\displaystyle\binom{-1}{4}$.
4. ¿Es el vector $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{1}{2}$ un vector normal a la recta $(AB)$ con $A(1; 1)$ y $B(3; 0)$?
5. Sea $(d)$ la recta de ecuación cartesiana $3x - y + 2 = 0$. Da un vector normal a $(d)$.
Corrigé :Solution:Solución:
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \times 3 + (-3) \times 2 = 6 - 6 = 0$. Donc Oui, ils sont orthogonaux.
On cherche $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{a}{b}$ tel que $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{d} = 0$. $-1a + 4b = 0$. On peut choisir $a=4$ et $b=1$. Donc $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{4}{1}$.
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\displaystyle\binom{3 - 1}{0 - 1} = \displaystyle\binom{2}{-1}$. $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) = 2 - 2 = 0$. Oui, $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à $(AB)$.
L'équation est de la forme $ax + by + c = 0$ avec $a=3$ et $b=-1$. Un vecteur normal est $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{a}{b}$, soit $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{3}{-1}$.
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \times 3 + (-3) \times 2 = 6 - 6 = 0$. So Yes, they are orthogonal.
We look for $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{a}{b}$ such that $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{d} = 0$. $-1a + 4b = 0$. We can choose $a=4$ and $b=1$. So $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{4}{1}$.
The vector $\overrightarrow{AB}$ has coordinates $\displaystyle\binom{3 - 1}{0 - 1} = \displaystyle\binom{2}{-1}$. $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) = 2 - 2 = 0$. Yes, $\overrightarrow{n}$ is a normal vector to $(AB)$.
The equation is of the form $ax + by + c = 0$ with $a=3$ and $b=-1$. A normal vector is $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{a}{b}$, which is $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{3}{-1}$.
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \times 3 + (-3) \times 2 = 6 - 6 = 0$. Por lo tanto Sí, son ortogonales.
Buscamos $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{a}{b}$ tal que $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{d} = 0$. $-1a + 4b = 0$. Podemos elegir $a=4$ y $b=1$. Así $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{4}{1}$.
El vector $\overrightarrow{AB}$ tiene coordenadas $\displaystyle\binom{3 - 1}{0 - 1} = \displaystyle\binom{2}{-1}$. $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) = 2 - 2 = 0$. Sí, $\overrightarrow{n}$ es un vector normal a $(AB)$.
La ecuación es de la forma $ax + by + c = 0$ con $a=3$ y $b=-1$. Un vector normal es $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{a}{b}$, es decir $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{3}{-1}$.
Exercice 2 : Équation cartésienne avec vecteur normalExercise 2: Cartesian equation with normal vectorEjercicio 2: Ecuación cartesiana con vector normal
Déterminer une équation cartésienne de la droite $(d)$ passant par le point $A$ et admettant le vecteur $\overrightarrow{n}$ comme vecteur normal dans les 5 cas suivants :
1. $A(2; -1)$ et $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{3}{4}$
2. $A(0; 3)$ et $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{-1}{2}$
3. $A(-5; -2)$ et $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{1}{-1}$
4. $A(4; 0)$ et $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{0}{5}$
5. $A(1; 1)$ et $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{2}{0}$
Determine a Cartesian equation of the line $(d)$ passing through point $A$ and having vector $\overrightarrow{n}$ as normal vector in the 5 following cases:
1. $A(2; -1)$ and $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{3}{4}$
2. $A(0; 3)$ and $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{-1}{2}$
3. $A(-5; -2)$ and $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{1}{-1}$
4. $A(4; 0)$ and $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{0}{5}$
5. $A(1; 1)$ and $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{2}{0}$
Determina una ecuación cartesiana de la recta $(d)$ que pasa por el punto $A$ y tiene el vector $\overrightarrow{n}$ como vector normal en los siguientes 5 casos:
1. $A(2; -1)$ y $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{3}{4}$
2. $A(0; 3)$ y $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{-1}{2}$
3. $A(-5; -2)$ y $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{1}{-1}$
4. $A(4; 0)$ y $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{0}{5}$
5. $A(1; 1)$ y $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{2}{0}$
Corrigé :Solution:Solución:
Rappel : La droite passant par $A(x_A ; y_A)$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{a}{b}$ a pour équation $a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0$.
Reminder: The line passing through $A(x_A ; y_A)$ with normal vector $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{a}{b}$ has equation $a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0$.
Recordatorio: La recta que pasa por $A(x_A ; y_A)$ con vector normal $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{a}{b}$ tiene ecuación $a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0$.
Exercice 4 : Appartenance et caractéristiquesExercise 4: Belonging and characteristicsEjercicio 4: Pertenencia y características
Répondre aux 5 questions suivantes en justifiant à l'aide des équations :
1. Soit $(d)$ d'équation $2x - 5y + 1 = 0$. Le point $A(2; 1)$ appartient-il à $(d)$ ?
2. Le point $B(3; 4)$ appartient-il au cercle d'équation $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 8$ ?
3. Quel est le centre $K$ et le rayon $r$ du cercle d'équation $(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 9$ ?
4. Donner les coordonnées d'un vecteur normal $\overrightarrow{n}$ et d'un point $P$ de la droite d'équation $-x + 4y - 8 = 0$.
5. Le cercle de centre $K(1; -1)$ et de rayon $r=5$ passe-t-il par l'origine du repère $O(0; 0)$ ?
Answer the 5 following questions, justifying with equations:
1. Let $(d)$ have equation $2x - 5y + 1 = 0$. Does point $A(2; 1)$ belong to $(d)$?
2. Does point $B(3; 4)$ belong to the circle with equation $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 8$?
3. What is the center $K$ and radius $r$ of the circle with equation $(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 9$?
4. Give the coordinates of a normal vector $\overrightarrow{n}$ and a point $P$ on the line with equation $-x + 4y - 8 = 0$.
5. Does the circle with center $K(1; -1)$ and radius $r=5$ pass through the origin $O(0; 0)$?
Responde a las siguientes 5 preguntas justificando con las ecuaciones:
1. Sea $(d)$ de ecuación $2x - 5y + 1 = 0$. ¿El punto $A(2; 1)$ pertenece a $(d)$?
2. ¿El punto $B(3; 4)$ pertenece al círculo de ecuación $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 8$?
3. ¿Cuál es el centro $K$ y el radio $r$ del círculo de ecuación $(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 9$?
4. Da las coordenadas de un vector normal $\overrightarrow{n}$ y de un punto $P$ de la recta de ecuación $-x + 4y - 8 = 0$.
5. ¿El círculo de centro $K(1; -1)$ y radio $r=5$ pasa por el origen $O(0; 0)$?
Corrigé :Solution:Solución:
On remplace les coordonnées de $A$ : $2(2) - 5(1) + 1 = 4 - 5 + 1 = 0$. Oui, le point $A$ appartient à la droite $(d)$.
On remplace les coordonnées de $B$ : $(3 - 1)^2 + (4 - 2)^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$. Oui, le point $B$ appartient au cercle.
L'équation est $(x - (-3))^2 + (y - 5)^2 = 3^2$. Donc le centre est $K(-3; 5)$ et le rayon est $r = 3$.
L'équation est $-1x + 4y - 8 = 0$. Un vecteur normal est $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{-1}{4}$. Pour trouver un point, on fixe par exemple $x = 0$ : $4y - 8 = 0 \iff y = 2$. Le point $P(0; 2)$ appartient à la droite.
L'équation du cercle est $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 25$. Pour $O(0; 0)$ : $(0 - 1)^2 + (0 + 1)^2 = 1 + 1 = 2 \neq 25$. Non, le cercle ne passe pas par l'origine.
Substitute $A$'s coordinates: $2(2) - 5(1) + 1 = 4 - 5 + 1 = 0$. Yes, point $A$ belongs to line $(d)$.
Substitute $B$'s coordinates: $(3 - 1)^2 + (4 - 2)^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$. Yes, point $B$ belongs to the circle.
The equation is $(x - (-3))^2 + (y - 5)^2 = 3^2$. So the center is $K(-3; 5)$ and the radius is $r = 3$.
The equation is $-1x + 4y - 8 = 0$. A normal vector is $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{-1}{4}$. To find a point, set $x = 0$ for example: $4y - 8 = 0 \iff y = 2$. Point $P(0; 2)$ is on the line.
The circle's equation is $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 25$. For $O(0; 0)$: $(0 - 1)^2 + (0 + 1)^2 = 1 + 1 = 2 \neq 25$. No, the circle does not pass through the origin.
Reemplazamos las coordenadas de $A$: $2(2) - 5(1) + 1 = 4 - 5 + 1 = 0$. Sí, el punto $A$ pertenece a la recta $(d)$.
Reemplazamos las coordenadas de $B$: $(3 - 1)^2 + (4 - 2)^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$. Sí, el punto $B$ pertenece al círculo.
La ecuación es $(x - (-3))^2 + (y - 5)^2 = 3^2$. Entonces el centro es $K(-3; 5)$ y el radio es $r = 3$.
La ecuación es $-1x + 4y - 8 = 0$. Un vector normal es $\overrightarrow{n}\displaystyle\binom{-1}{4}$. Para encontrar un punto, fijamos por ejemplo $x = 0$: $4y - 8 = 0 \iff y = 2$. El punto $P(0; 2)$ pertenece a la recta.
La ecuación del círculo es $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 25$. Para $O(0; 0)$: $(0 - 1)^2 + (0 + 1)^2 = 1 + 1 = 2 \neq 25$. No, el círculo no pasa por el origen.
Exercice 5 : Synthèse - Cercle et tangenteExercise 5: Synthesis - Circle and tangentEjercicio 5: Síntesis - Círculo y tangente
Dans un repère orthonormé, on considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $K(1; 2)$ et de rayon $r=5$.
1. Vérifier par le calcul que le point $A(4; 6)$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.
2. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{KA}$.
3. La tangente $(T)$ au cercle $\mathcal{C}$ en $A$ est la droite passant par $A$ et dont $\overrightarrow{KA}$ est un vecteur normal. En déduire une équation cartésienne de la droite $(T)$.
4. Le point $B(-4; 12)$ appartient-il à la tangente $(T)$ ?
5. Calculer la distance $KB$. Que peut-on en déduire pour la position du point $B$ par rapport au cercle $\mathcal{C}$ ?
In an orthonormal coordinate system, consider the circle $\mathcal{C}$ with center $K(1; 2)$ and radius $r=5$.
1. Verify by calculation that the point $A(4; 6)$ belongs to the circle $\mathcal{C}$.
2. Calculate the coordinates of the vector $\overrightarrow{KA}$.
3. The tangent $(T)$ to the circle $\mathcal{C}$ at $A$ is the line passing through $A$ and for which $\overrightarrow{KA}$ is a normal vector. Deduce a Cartesian equation of line $(T)$.
4. Does point $B(-4; 12)$ belong to the tangent $(T)$?
5. Calculate the distance $KB$. What can be deduced about the position of point $B$ relative to circle $\mathcal{C}$?
En un sistema de coordenadas ortonormal, se considera el círculo $\mathcal{C}$ de centro $K(1; 2)$ y radio $r=5$.
1. Verifica por cálculo que el punto $A(4; 6)$ pertenece al círculo $\mathcal{C}$.
2. Calcula las coordenadas del vector $\overrightarrow{KA}$.
3. La tangente $(T)$ al círculo $\mathcal{C}$ en $A$ es la recta que pasa por $A$ y cuyo vector normal es $\overrightarrow{KA}$. Deduce una ecuación cartesiana de la recta $(T)$.
4. ¿El punto $B(-4; 12)$ pertenece a la tangente $(T)$?
5. Calcula la distancia $KB$. ¿Qué se puede deducir sobre la posición del punto $B$ con respecto al círculo $\mathcal{C}$?
Corrigé :Solution:Solución:
L'équation du cercle est $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$. Pour $A(4; 6)$ : $(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Oui, le point $A$ appartient bien à $\mathcal{C}$.
L'équation de $(T)$ est de la forme $3(x - x_A) + 4(y - y_A) = 0$. $3(x - 4) + 4(y - 6) = 0 \iff 3x - 12 + 4y - 24 = 0 \iff $ $3x + 4y - 36 = 0$.
Pour $B(-4; 12)$, on remplace dans l'équation de $(T)$ : $3(-4) + 4(12) - 36 = -12 + 48 - 36 = 0$. Oui, le point $B$ appartient à $(T)$.
$KB = \sqrt{(-4 - 1)^2 + (12 - 2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$. Puisque $KB = \sqrt{125}$ et le rayon est $r = 5 = \sqrt{25}$, on a $KB > r$. Le point $B$ est strictement à l'extérieur du cercle.
The circle's equation is $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$. For $A(4; 6)$: $(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Yes, point $A$ belongs to $\mathcal{C}$.
La ecuación de $(T)$ es de la forma $3(x - x_A) + 4(y - y_A) = 0$. $3(x - 4) + 4(y - 6) = 0 \iff 3x - 12 + 4y - 24 = 0 \iff $ $3x + 4y - 36 = 0$.
Para $B(-4; 12)$, sustituimos en la ecuación de $(T)$: $3(-4) + 4(12) - 36 = -12 + 48 - 36 = 0$. Sí, el punto $B$ pertenece a $(T)$.
$KB = \sqrt{(-4 - 1)^2 + (12 - 2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$. Dado que $KB = \sqrt{125}$ y el radio es $r = 5 = \sqrt{25}$, tenemos $KB > r$. El punto $B$ está estrictamente fuera del círculo.
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