DROITES ET CERCLES
Propriété 1 :
Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan ;
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$ si et seulement si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.
Démonstration :
- Si $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$ alors $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$. Par convention, $\overrightarrow{0}$ est orthogonal à tout vecteur du plan donc la propriété est vraie.
- Si $\overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{0}$ alors il existe trois points du plan $A$, $B$ et $C$ tels que $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{BC}$.
$\begin{aligned} \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} &= \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} \\ &= \frac{1}{2} \left(\|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\|^2 - \|\overrightarrow{AB}\|^2 - \|\overrightarrow{BC}\|^2\right) \\ &= \frac{1}{2}\left(AC^2 - AB^2 - BC^2\right) \end{aligned}$$\text{donc } \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \iff AC^2 - AB^2 - BC^2 = 0 \\ \iff AC^2 = AB^2 + BC^2 \\ \iff (AB) \perp (BC)$
I - Équation cartésienne d'une droite
Définition 1 :
On dit qu'un vecteur $\overrightarrow{n}$ non nul est normal (ou orthogonal) à une droite $(d)$ lorsque $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à un vecteur directeur de $(d)$.
Propriété 2 :
Soient $(d)$ une droite de vecteur normal $\overrightarrow{n}$, $A$ un point de $(d)$ et $M$ un point du plan.
$M \in (d) \iff \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n} = 0$
Démonstration :
- Si $M \in (d)$ et $M \neq A$ alors $\overrightarrow{AM}$ est un vecteur directeur de $(d)$
donc $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n} = 0$. - Réciproquement :
Soit $M$ un point du plan tel que $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n} = 0$ et $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(d)$ ; $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{n} = 0$.
$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n} = (\overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HM}) \cdot \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{n} + \overrightarrow{HM} \cdot \overrightarrow{n} = 0$
donc $\overrightarrow{HM} \cdot \overrightarrow{n} = 0$.
Or $\overrightarrow{HM}$ et $\overrightarrow{n}$ sont colinéaires
donc $\overrightarrow{HM} \cdot \overrightarrow{n} = \pm \|\overrightarrow{HM}\| \times \|\overrightarrow{n}\| = 0$
or $\overrightarrow{n} \neq \overrightarrow{0}$
donc $HM = 0$ donc $H = M$ donc $M \in (d)$.
Propriété 3 :
Dans un repère orthonormé du plan, toute droite $(d)$ passant par $A(x_A ; y_A)$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ a une équation cartésienne de la forme $ax + by + c = 0$.
Démonstration :
$\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ est un vecteur normal de $(d)$ donc $\overrightarrow{n} \neq \overrightarrow{0}$ c'est-à-dire $(a;b) \neq (0;0)$.
Si $M(x;y) \in (d)$ alors :
$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n} = 0$
$\iff (x - x_A) \times a + (y - y_A) \times b = 0$
$\iff ax + by + c = 0$ avec $c = -ax_A - by_A$.
II - Équation cartésienne d'un cercle
Définition 2 :
On appelle cercle de centre $K$ et de rayon $r > 0$, noté $\mathcal{C}(K, r)$, l'ensemble des points $M$ tels que : $KM = r$.
Propriété 5 :
Soit $K(x_K ; y_K)$ un point du plan muni d'un repère orthonormé.
Le cercle de centre $K$ et de rayon $r > 0$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x ; y)$ tels que :
$$ (x - x_K)^2 + (y - y_K)^2 = r^2 $$
Démonstration :
$M(x ; y)$ est un point du cercle de centre $K$ et de rayon $r$ si $KM = r$.
$r \geq 0$ donc $KM = r$
$\iff KM^2 = r^2$
$\iff (x - x_K)^2 + (y - y_K)^2 = r^2$
LINES AND CIRCLES
Property 1:
Let $\overrightarrow{u}$ and $\overrightarrow{v}$ be two vectors in the plane;
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$ if and only if $\overrightarrow{u}$ and $\overrightarrow{v}$ are orthogonal.
Proof:
- If $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$ then $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$. By convention, $\overrightarrow{0}$ is orthogonal to any vector in the plane, so the property is true.
- If $\overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0}$ and $\overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{0}$ then there exist three points in the plane $A$, $B$ and $C$ such that $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{BC}$.
$\begin{aligned} \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} &= \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} \\ &= \frac{1}{2} \left(\|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\|^2 - \|\overrightarrow{AB}\|^2 - \|\overrightarrow{BC}\|^2\right) \\ &= \frac{1}{2}\left(AC^2 - AB^2 - BC^2\right) \end{aligned}$$\text{thus } \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \iff AC^2 - AB^2 - BC^2 = 0 \\ \iff AC^2 = AB^2 + BC^2 \\ \iff (AB) \perp (BC)$
I - Cartesian equation of a line
Definition 1:
A non-zero vector $\overrightarrow{n}$ is said to be normal (or orthogonal) to a line $(d)$ when $\overrightarrow{n}$ is orthogonal to a direction vector of $(d)$.
Property 2:
Let $(d)$ be a line with normal vector $\overrightarrow{n}$, $A$ a point on $(d)$ and $M$ a point in the plane.
$M \in (d) \iff \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n} = 0$
Proof:
- If $M \in (d)$ and $M \neq A$ then $\overrightarrow{AM}$ is a direction vector of $(d)$
thus $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n} = 0$. - Conversely:
Let $M$ be a point in the plane such that $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n} = 0$ and $H$ be the orthogonal projection of $M$ onto $(d)$; $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{n} = 0$.
$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n} = (\overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HM}) \cdot \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{n} + \overrightarrow{HM} \cdot \overrightarrow{n} = 0$
thus $\overrightarrow{HM} \cdot \overrightarrow{n} = 0$.
Since $\overrightarrow{HM}$ and $\overrightarrow{n}$ are collinear
thus $\overrightarrow{HM} \cdot \overrightarrow{n} = \pm \|\overrightarrow{HM}\| \times \|\overrightarrow{n}\| = 0$
since $\overrightarrow{n} \neq \overrightarrow{0}$
thus $HM = 0$ thus $H = M$ thus $M \in (d)$.
Property 3:
In an orthonormal coordinate system of the plane, any line $(d)$ passing through $A(x_A ; y_A)$ and having a normal vector $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ has a Cartesian equation of the form $ax + by + c = 0$.
Proof:
$\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ is a normal vector of $(d)$ so $\overrightarrow{n} \neq \overrightarrow{0}$, meaning $(a;b) \neq (0;0)$.
If $M(x;y) \in (d)$ then:
$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n} = 0$
$\iff (x - x_A) \times a + (y - y_A) \times b = 0$
$\iff ax + by + c = 0$ with $c = -ax_A - by_A$.
II - Cartesian equation of a circle
Definition 2:
The circle with center $K$ and radius $r > 0$, denoted $\mathcal{C}(K, r)$, is the set of points $M$ such that: $KM = r$.
Property 5:
Let $K(x_K ; y_K)$ be a point in the plane equipped with an orthonormal coordinate system.
The circle with center $K$ and radius $r > 0$ is the set of points with coordinates $(x ; y)$ such that:
$$ (x - x_K)^2 + (y - y_K)^2 = r^2 $$
Proof:
$M(x ; y)$ is a point on the circle with center $K$ and radius $r$ if $KM = r$.
$r \geq 0$ so $KM = r$
$\iff KM^2 = r^2$
$\iff (x - x_K)^2 + (y - y_K)^2 = r^2$
RECTAS Y CÍRCULOS
Propiedad 1:
Sean $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ dos vectores del plano;
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$ si y sólo si $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ son ortogonales.
Demostración:
- Si $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$ entonces $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$. Por convención, $\overrightarrow{0}$ es ortogonal a cualquier vector del plano, por lo que la propiedad es verdadera.
- Si $\overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0}$ y $\overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{0}$ entonces existen tres puntos del plano $A$, $B$ y $C$ tales que $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{BC}$.
$\begin{aligned} \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} &= \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} \\ &= \frac{1}{2} \left(\|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\|^2 - \|\overrightarrow{AB}\|^2 - \|\overrightarrow{BC}\|^2\right) \\ &= \frac{1}{2}\left(AC^2 - AB^2 - BC^2\right) \end{aligned}$$\text{por tanto } \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \iff AC^2 - AB^2 - BC^2 = 0 \\ \iff AC^2 = AB^2 + BC^2 \\ \iff (AB) \perp (BC)$
I - Ecuación cartesiana de una recta
Definición 1:
Se dice que un vector $\overrightarrow{n}$ no nulo es normal (u ortogonal) a una recta $(d)$ cuando $\overrightarrow{n}$ es ortogonal a un vector director de $(d)$.
Propiedad 2:
Sean $(d)$ una recta de vector normal $\overrightarrow{n}$, $A$ un punto de $(d)$ y $M$ un punto del plano.
$M \in (d) \iff \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n} = 0$
Demostración:
- Si $M \in (d)$ y $M \neq A$ entonces $\overrightarrow{AM}$ es un vector director de $(d)$
por tanto $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n} = 0$. - Recíprocamente:
Sea $M$ un punto del plano tal que $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n} = 0$ y $H$ el pie de la perpendicular de $M$ sobre $(d)$; $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{n} = 0$.
$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n} = (\overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HM}) \cdot \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{n} + \overrightarrow{HM} \cdot \overrightarrow{n} = 0$
por tanto $\overrightarrow{HM} \cdot \overrightarrow{n} = 0$.
Dado que $\overrightarrow{HM}$ y $\overrightarrow{n}$ son colineales
por tanto $\overrightarrow{HM} \cdot \overrightarrow{n} = \pm \|\overrightarrow{HM}\| \times \|\overrightarrow{n}\| = 0$
dado que $\overrightarrow{n} \neq \overrightarrow{0}$
por tanto $HM = 0$ por tanto $H = M$ por tanto $M \in (d)$.
Propiedad 3:
En un sistema de coordenadas ortonormal del plano, cualquier recta $(d)$ que pasa por $A(x_A ; y_A)$ y de vector normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ tiene una ecuación cartesiana de la forma $ax + by + c = 0$.
Demostración:
$\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ es un vector normal de $(d)$ por lo que $\overrightarrow{n} \neq \overrightarrow{0}$, es decir, $(a;b) \neq (0;0)$.
Si $M(x;y) \in (d)$ entonces:
$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n} = 0$
$\iff (x - x_A) \times a + (y - y_A) \times b = 0$
$\iff ax + by + c = 0$ con $c = -ax_A - by_A$.
II - Ecuación cartesiana de un círculo
Definición 2:
Se llama círculo de centro $K$ y radio $r > 0$, denotado $\mathcal{C}(K, r)$, al conjunto de puntos $M$ tales que: $KM = r$.
Propiedad 5:
Sea $K(x_K ; y_K)$ un punto del plano dotado de un sistema de coordenadas ortonormal.
El círculo de centro $K$ y radio $r > 0$ es el conjunto de puntos de coordenadas $(x ; y)$ tales que:
$$ (x - x_K)^2 + (y - y_K)^2 = r^2 $$
Demostración:
$M(x ; y)$ es un punto del círculo de centro $K$ y radio $r$ si $KM = r$.
$r \geq 0$ por tanto $KM = r$
$\iff KM^2 = r^2$
$\iff (x - x_K)^2 + (y - y_K)^2 = r^2$