Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul :
$2\sin(x) + \sqrt{2} = 0 \implies \sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ ou $1 - 2\sin(x) = 0 \implies \sin(x) = \frac{1}{2}$.
Dans $[0 ; 2\pi]$, $\sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \implies x \in \{\frac{5\pi}{4} ; \frac{7\pi}{4}\}$.
Dans $[0 ; 2\pi]$, $\sin(x) = \frac{1}{2} \implies x \in \{\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}\}$. $S = \{\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6} ; \frac{5\pi}{4} ; \frac{7\pi}{4}\}$.
$\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \iff \sin(2x - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3})$.
So $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ or $2x - \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
$\implies x = \frac{\pi}{3} + k\pi$ or $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.
In $[-\pi ; \pi]$, we keep values for $k \in \{-1, 0\}$: $S = \{-\frac{2\pi}{3} ; -\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{3} ; \frac{\pi}{2}\}$.
By setting $X = \sin(x)$, the equation becomes $2X^2 - X - 1 = 0$.
The roots ($\Delta = 9$) are $X_1 = -\frac{1}{2}$ and $X_2 = 1$.
$\sin(x) = -\frac{1}{2} \implies x \in \{\frac{7\pi}{6} ; \frac{11\pi}{6}\}$ (in $[0 ; 2\pi]$).
$\sin(x) = 1 \implies x = \frac{\pi}{2}$ (in $[0 ; 2\pi]$). $S = \{\frac{\pi}{2} ; \frac{7\pi}{6} ; \frac{11\pi}{6}\}$.
$\sin(3x) = \sin(x) \iff 3x = x + 2k\pi$ or $3x = \pi - x + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
$\implies 2x = 2k\pi$ or $4x = \pi + 2k\pi \implies x = k\pi$ or $x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$.
In $[-\pi ; \pi]$, we obtain: $S = \{-\pi ; -\frac{3\pi}{4} ; -\frac{\pi}{4} ; 0 ; \frac{\pi}{4} ; \frac{3\pi}{4} ; \pi\}$.
A product is zero if and only if one of its factors is zero:
$2\sin(x) + \sqrt{2} = 0 \implies \sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ or $1 - 2\sin(x) = 0 \implies \sin(x) = \frac{1}{2}$.
In $[0 ; 2\pi]$, $\sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \implies x \in \{\frac{5\pi}{4} ; \frac{7\pi}{4}\}$.
In $[0 ; 2\pi]$, $\sin(x) = \frac{1}{2} \implies x \in \{\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}\}$. $S = \{\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6} ; \frac{5\pi}{4} ; \frac{7\pi}{4}\}$.
$\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \iff \sin(2x - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3})$.
Entonces $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ o $2x - \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
$\implies x = \frac{\pi}{3} + k\pi$ o $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.
En $[-\pi ; \pi]$, retenemos los valores para $k \in \{-1, 0\}$: $S = \{-\frac{2\pi}{3} ; -\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{3} ; \frac{\pi}{2}\}$.
Haciendo $X = \sin(x)$, la ecuación se convierte en $2X^2 - X - 1 = 0$.
Las raíces ($\Delta = 9$) son $X_1 = -\frac{1}{2}$ y $X_2 = 1$.
$\sin(x) = -\frac{1}{2} \implies x \in \{\frac{7\pi}{6} ; \frac{11\pi}{6}\}$ (en $[0 ; 2\pi]$).
$\sin(x) = 1 \implies x = \frac{\pi}{2}$ (en $[0 ; 2\pi]$). $S = \{\frac{\pi}{2} ; \frac{7\pi}{6} ; \frac{11\pi}{6}\}$.
$\sin(3x) = \sin(x) \iff 3x = x + 2k\pi$ o $3x = \pi - x + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
$\implies 2x = 2k\pi$ o $4x = \pi + 2k\pi \implies x = k\pi$ o $x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$.
En $[-\pi ; \pi]$, obtenemos: $S = \{-\pi ; -\frac{3\pi}{4} ; -\frac{\pi}{4} ; 0 ; \frac{\pi}{4} ; \frac{3\pi}{4} ; \pi\}$.
Un producto es cero si y solo si uno de sus factores es cero:
$2\sin(x) + \sqrt{2} = 0 \implies \sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ o $1 - 2\sin(x) = 0 \implies \sin(x) = \frac{1}{2}$.
En $[0 ; 2\pi]$, $\sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \implies x \in \{\frac{5\pi}{4} ; \frac{7\pi}{4}\}$.
En $[0 ; 2\pi]$, $\sin(x) = \frac{1}{2} \implies x \in \{\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}\}$. $S = \{\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6} ; \frac{5\pi}{4} ; \frac{7\pi}{4}\}$.
Exercice 2 : Parité et PériodicitéExercise 2: Parity and PeriodicityEjercicio 2: Paridad y Periodicidad
En utilisant les propriétés de la fonction sinus (impaire et périodique de période $2\pi$), simplifier les expressions suivantes :
Using the properties of the sine function (odd and periodic with period $2\pi$), simplify the following expressions:
Usando las propiedades de la función seno (impar y periódica de período $2\pi$), simplificar las siguientes expresiones:
$l'(x) = 1 - \cos(x)$. Since $\cos(x) \le 1$, $l'(x) \ge 0$. $l$ is increasing on $[0 ; \pi]$.
$f'(x) = \cos(x) - 1$. Como $\cos(x) \le 1$, $f'(x) \le 0$. $f$ es estrictamente decreciente en $[0 ; \pi]$.
$g'(x) = -\cos(x)$. En $[-\pi ; -\frac{\pi}{2}] \cup [\frac{\pi}{2} ; \pi]$, $\cos(x) \le 0$ por lo que $g'(x) \ge 0$ (creciente). En $[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}]$, $\cos(x) \ge 0$ por lo que $g'(x) \le 0$ (decreciente). Creciente, decreciente, luego creciente.
$h'(x) = 2 + \cos(x)$. Como $\cos(x) \ge -1$, $h'(x) \ge 1 > 0$. $h$ es estrictamente creciente en $[0 ; \pi]$.
Résoudre les inéquations suivantes dans l'intervalle donné :
Solve the following inequalities in the given interval:
Resolver las siguientes inecuaciones en el intervalo dado:
$2\sin(x) - 1 \ge 0$ sur $[-\pi ; \pi]$
$\sqrt{2}\sin(x) + 1 < 0$ sur $[0 ; 2\pi]$
$-2\sin(x) - \sqrt{3} \le 0$ sur $[-\pi ; \pi]$
$\sin^2(x) - \frac{1}{2} > 0$ sur $[0 ; \pi]$
$\sin(2x) > \frac{1}{2}$ sur $[0 ; \pi]$
Corrigé :Solution:Solución:
On cherche à résoudre $2\sin(x) - 1 \ge 0 \iff \sin(x) \ge \frac{1}{2}$ sur $[-\pi ; \pi]$.We want to solve $2\sin(x) - 1 \ge 0 \iff \sin(x) \ge \frac{1}{2}$ on $[-\pi ; \pi]$.Queremos resolver $2\sin(x) - 1 \ge 0 \iff \sin(x) \ge \frac{1}{2}$ en $[-\pi ; \pi]$. Sur le cercle trigonométrique, on trouve les racines $x = \frac{\pi}{6}$ et $x = \frac{5\pi}{6}$. On dresse le tableau de signes :On the trigonometric circle, we find the roots $x = \frac{\pi}{6}$ and $x = \frac{5\pi}{6}$. We draw the sign table:En el círculo trigonométrico, encontramos las raíces $x = \frac{\pi}{6}$ y $x = \frac{5\pi}{6}$. Dibujamos la tabla de signos:
$x$
$-\pi$
$\frac{\pi}{6}$
$\frac{5\pi}{6}$
$\pi$
Signe deSign ofSigno de $2\sin(x) - 1$
$-$
0
$+$
0
$-$
L'inéquation étant $\ge 0$, on lit sur le tableau l'intervalle avec un signe positif ou nul : Since the inequality is $\ge 0$, we read from the table the interval with a positive or zero sign: Dado que la inecuación es $\ge 0$, leemos en la tabla el intervalo con un signo positivo o cero: $S = \left[\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}\right]$.
On cherche à résoudre $\sqrt{2}\sin(x) + 1 < 0 \iff \sin(x) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ sur $[0 ; 2\pi]$.We want to solve $\sqrt{2}\sin(x) + 1 < 0 \iff \sin(x) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ on $[0 ; 2\pi]$.Queremos resolver $\sqrt{2}\sin(x) + 1 < 0 \iff \sin(x) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ en $[0 ; 2\pi]$. Les racines correspondantes sont $x = \frac{5\pi}{4}$ et $x = \frac{7\pi}{4}$.The corresponding roots are $x = \frac{5\pi}{4}$ and $x = \frac{7\pi}{4}$.Las raíces correspondientes son $x = \frac{5\pi}{4}$ y $x = \frac{7\pi}{4}$.
$x$
$0$
$\frac{5\pi}{4}$
$\frac{7\pi}{4}$
$2\pi$
Signe deSign ofSigno de $\sqrt{2}\sin(x) + 1$
$+$
0
$-$
0
$+$
On veut l'intervalle où l'expression est strictement négative : We want the interval where the expression is strictly negative: Queremos el intervalo donde la expresión es estrictamente negativa: $S = \left]\frac{5\pi}{4} ; \frac{7\pi}{4}\right[$.
$-2\sin(x) - \sqrt{3} \le 0 \iff -2\sin(x) \le \sqrt{3} \iff \sin(x) \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$ sur $[-\pi ; \pi]$.$-2\sin(x) - \sqrt{3} \le 0 \iff -2\sin(x) \le \sqrt{3} \iff \sin(x) \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$ on $[-\pi ; \pi]$.$-2\sin(x) - \sqrt{3} \le 0 \iff -2\sin(x) \le \sqrt{3} \iff \sin(x) \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$ en $[-\pi ; \pi]$. Les racines associées à $\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ sont $x = -\frac{2\pi}{3}$ et $x = -\frac{\pi}{3}$.The roots associated with $\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ are $x = -\frac{2\pi}{3}$ and $x = -\frac{\pi}{3}$.Las raíces asociadas a $\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ son $x = -\frac{2\pi}{3}$ y $x = -\frac{\pi}{3}$.
$x$
$-\pi$
$-\frac{2\pi}{3}$
$-\frac{\pi}{3}$
$\pi$
Signe deSign ofSigno de $-2\sin(x) - \sqrt{3}$
$-$
0
$+$
0
$-$
On cherche l'intervalle où le signe est négatif ou nul ($-$) : We look for the interval where the sign is negative or zero ($-$): Buscamos el intervalo donde el signo es negativo o cero ($-$): $S = \left[-\pi ; -\frac{2\pi}{3}\right] \cup \left[-\frac{\pi}{3} ; \pi\right]$.
$\sin^2(x) - \frac{1}{2} > 0 \iff \left(\sin(x) - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\sin(x) + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) > 0$.$\sin^2(x) - \frac{1}{2} > 0 \iff \left(\sin(x) - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\sin(x) + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) > 0$.$\sin^2(x) - \frac{1}{2} > 0 \iff \left(\sin(x) - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\sin(x) + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) > 0$. Sur $[0 ; \pi]$, le facteur $(\sin(x) + \frac{\sqrt{2}}{2})$ est toujours strictement positif. Le signe de l'expression dépend uniquement de $(\sin(x) - \frac{\sqrt{2}}{2})$. Les racines sont $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{3\pi}{4}$.On $[0 ; \pi]$, the factor $(\sin(x) + \frac{\sqrt{2}}{2})$ is always strictly positive. The sign of the expression depends only on $(\sin(x) - \frac{\sqrt{2}}{2})$. The roots are $\frac{\pi}{4}$ and $\frac{3\pi}{4}$.En $[0 ; \pi]$, el factor $(\sin(x) + \frac{\sqrt{2}}{2})$ es siempre estrictamente positivo. El signo de la expresión depende únicamente de $(\sin(x) - \frac{\sqrt{2}}{2})$. Las raíces son $\frac{\pi}{4}$ y $\frac{3\pi}{4}$.
$x$
$0$
$\frac{\pi}{4}$
$\frac{3\pi}{4}$
$\pi$
Signe deSign ofSigno de $\sin^2(x) - \frac{1}{2}$
$-$
0
$+$
0
$-$
On cherche l'intervalle où l'expression est strictement positive ($+$) : We look for the interval where the expression is strictly positive ($+$): Buscamos el intervalo donde la expresión es estrictamente positiva ($+$): $S = \left]\frac{\pi}{4} ; \frac{3\pi}{4}\right[$.
$\sin(2x) > \frac{1}{2}$ sur $[0 ; \pi]$. Posons $X = 2x$. Si $x \in [0 ; \pi]$, alors $X \in [0 ; 2\pi]$.$\sin(2x) > \frac{1}{2}$ on $[0 ; \pi]$. Let $X = 2x$. If $x \in [0 ; \pi]$, then $X \in [0 ; 2\pi]$.$\sin(2x) > \frac{1}{2}$ en $[0 ; \pi]$. Sea $X = 2x$. Si $x \in [0 ; \pi]$, entonces $X \in [0 ; 2\pi]$. Les racines pour $X$ sont $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6}$, ce qui correspond à $x = \frac{\pi}{12}$ et $x = \frac{5\pi}{12}$.The roots for $X$ are $\frac{\pi}{6}$ and $\frac{5\pi}{6}$, which corresponds to $x = \frac{\pi}{12}$ and $x = \frac{5\pi}{12}$.Las raíces para $X$ son $\frac{\pi}{6}$ y $\frac{5\pi}{6}$, lo que corresponde a $x = \frac{\pi}{12}$ y $x = \frac{5\pi}{12}$.
$x$
$0$
$\frac{\pi}{12}$
$\frac{5\pi}{12}$
$\pi$
Signe deSign ofSigno de $\sin(2x) - \frac{1}{2}$
$-$
0
$+$
0
$-$
L'inéquation demande un signe strictement positif ($+$) : The inequality requires a strictly positive sign ($+$): La inecuación requiere un signo estrictamente positivo ($+$): $S = \left]\frac{\pi}{12} ; \frac{5\pi}{12}\right[$.
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