ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE
STUDY OF THE EXPONENTIAL FUNCTION
ESTUDIO DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Exercices
Exercises
Ejercicios
Exercice 1 : Calcul de dérivées
Exercise 1: Calculating derivatives
Ejercicio 1: Cálculo de derivadas
Calculer $f'(x)$ pour chacune des fonctions suivantes, dérivables sur $\mathbb{R}$.
Calculate $f'(x)$ for each of the following functions, differentiable on $\mathbb{R}$.
Calcular $f'(x)$ para cada una de las siguientes funciones, derivables en $\mathbb{R}$.
- $f(x) = 2e^x + 5x - 3$
- $f(x) = x^2 + e^{3x}$
- $f(x) = e^{2x} - e^{-x} + 1$
- $f(x) = x\,e^x$
- $f(x) = (2x+1)\,e^{3x}$
- $f(x) = (x^2 - x + 2)\,e^{-x}$
Corrigé :
Solution:
Solución:
- $f(x) = 2e^x + 5x - 3 \implies $ $f'(x) = 2e^x + 5$
- $f(x) = x^2 + e^{3x} \implies $ $f'(x) = 2x + 3e^{3x}$
- $f(x) = e^{2x} - e^{-x} + 1 \implies $ $f'(x) = 2e^{2x} + e^{-x}$
- $f(x) = x\,e^x$ (forme $uv$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=e^x$) $\implies f'(x) = 1\cdot e^x + x\cdot e^x \implies $ $f'(x) = (x+1)e^x$
- $f(x) = (2x+1)\,e^{3x} \implies f'(x) = 2\cdot e^{3x} + (2x+1)\cdot 3e^{3x} = e^{3x}(2 + 6x + 3) \implies $ $f'(x) = (6x+5)e^{3x}$
- $f(x) = (x^2 - x + 2)\,e^{-x} \implies f'(x) = (2x - 1)e^{-x} + (x^2 - x + 2)(-e^{-x}) = e^{-x}(2x - 1 - x^2 + x - 2) \implies $ $f'(x) = (-x^2 + 3x - 3)e^{-x}$
- $f(x) = 2e^x + 5x - 3 \implies $ $f'(x) = 2e^x + 5$
- $f(x) = x^2 + e^{3x} \implies $ $f'(x) = 2x + 3e^{3x}$
- $f(x) = e^{2x} - e^{-x} + 1 \implies $ $f'(x) = 2e^{2x} + e^{-x}$
- $f(x) = x\,e^x$ (using product rule with $u(x)=x$ and $v(x)=e^x$) $\implies f'(x) = 1\cdot e^x + x\cdot e^x \implies $ $f'(x) = (x+1)e^x$
- $f(x) = (2x+1)\,e^{3x} \implies f'(x) = 2\cdot e^{3x} + (2x+1)\cdot 3e^{3x} = e^{3x}(2 + 6x + 3) \implies $ $f'(x) = (6x+5)e^{3x}$
- $f(x) = (x^2 - x + 2)\,e^{-x} \implies f'(x) = (2x - 1)e^{-x} + (x^2 - x + 2)(-e^{-x}) = e^{-x}(2x - 1 - x^2 + x - 2) \implies $ $f'(x) = (-x^2 + 3x - 3)e^{-x}$
- $f(x) = 2e^x + 5x - 3 \implies $ $f'(x) = 2e^x + 5$
- $f(x) = x^2 + e^{3x} \implies $ $f'(x) = 2x + 3e^{3x}$
- $f(x) = e^{2x} - e^{-x} + 1 \implies $ $f'(x) = 2e^{2x} + e^{-x}$
- $f(x) = x\,e^x$ (regla del producto con $u(x)=x$ y $v(x)=e^x$) $\implies f'(x) = 1\cdot e^x + x\cdot e^x \implies $ $f'(x) = (x+1)e^x$
- $f(x) = (2x+1)\,e^{3x} \implies f'(x) = 2\cdot e^{3x} + (2x+1)\cdot 3e^{3x} = e^{3x}(2 + 6x + 3) \implies $ $f'(x) = (6x+5)e^{3x}$
- $f(x) = (x^2 - x + 2)\,e^{-x} \implies f'(x) = (2x - 1)e^{-x} + (x^2 - x + 2)(-e^{-x}) = e^{-x}(2x - 1 - x^2 + x - 2) \implies $ $f'(x) = (-x^2 + 3x - 3)e^{-x}$
Exercice 2 : Tableaux de variations
Exercise 2: Variation tables
Ejercicio 2: Tablas de variaciones
Pour chacune des fonctions suivantes, étudier le signe de la dérivée puis dresser le tableau de variations sur $\mathbb{R}$.
For each of the following functions, study the sign of the derivative and draw the variation table on $\mathbb{R}$.
Para cada una de las siguientes funciones, estudiar el signo de la derivada y dibujar la tabla de variaciones en $\mathbb{R}$.
- $f(x) = e^{2x} - 2x$
- $f(x) = x\,e^{-x}$
- $f(x) = (x-1)\,e^{2x}$
Corrigé :
Solution:
Solución:
-
$f'(x) = 2e^{2x} - 2 = 2(e^{2x} - 1)$.
Signe : $e^{2x} - 1 \ge 0 \iff e^{2x} \ge e^0 \iff 2x \ge 0 \iff x \ge 0$.
Donc $f$ est décroissante sur $]-\infty ; 0]$ et croissante sur $[0 ; +\infty[$.
-
$f'(x) = 1\cdot e^{-x} + x(-e^{-x}) = (1-x)e^{-x}$.
Signe : Comme $e^{-x} > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1-x$. Or $1-x \ge 0 \iff x \le 1$.
Donc $f$ est croissante sur $]-\infty ; 1]$ et décroissante sur $[1 ; +\infty[$.
-
$f'(x) = 1\cdot e^{2x} + (x-1)(2e^{2x}) = e^{2x}(1 + 2x - 2) = (2x-1)e^{2x}$.
Signe : Comme $e^{2x} > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $2x-1$. Or $2x-1 \ge 0 \iff x \ge \frac{1}{2}$.
Donc $f$ est décroissante sur $]-\infty ; \frac{1}{2}]$ et croissante sur $[\frac{1}{2} ; +\infty[$.
-
$f'(x) = 2e^{2x} - 2 = 2(e^{2x} - 1)$.
Sign: $e^{2x} - 1 \ge 0 \iff e^{2x} \ge e^0 \iff 2x \ge 0 \iff x \ge 0$.
Thus, $f$ is decreasing on $(-\infty, 0]$ and increasing on $[0, +\infty)$.
-
$f'(x) = 1\cdot e^{-x} + x(-e^{-x}) = (1-x)e^{-x}$.
Sign: Since $e^{-x} > 0$, the sign of $f'(x)$ is that of $1-x$. We have $1-x \ge 0 \iff x \le 1$.
Thus, $f$ is increasing on $(-\infty, 1]$ and decreasing on $[1, +\infty)$.
-
$f'(x) = 1\cdot e^{2x} + (x-1)(2e^{2x}) = e^{2x}(1 + 2x - 2) = (2x-1)e^{2x}$.
Sign: Since $e^{2x} > 0$, the sign of $f'(x)$ is that of $2x-1$. We have $2x-1 \ge 0 \iff x \ge \frac{1}{2}$.
Thus, $f$ is decreasing on $(-\infty, \frac{1}{2}]$ and increasing on $[\frac{1}{2}, +\infty)$.
-
$f'(x) = 2e^{2x} - 2 = 2(e^{2x} - 1)$.
Signo: $e^{2x} - 1 \ge 0 \iff e^{2x} \ge e^0 \iff 2x \ge 0 \iff x \ge 0$.
Por lo tanto, $f$ es decreciente en $(-\infty, 0]$ y creciente en $[0, +\infty)$.
-
$f'(x) = 1\cdot e^{-x} + x(-e^{-x}) = (1-x)e^{-x}$.
Signo: Como $e^{-x} > 0$, el signo de $f'(x)$ es el de $1-x$. Tenemos $1-x \ge 0 \iff x \le 1$.
Por lo tanto, $f$ es creciente en $(-\infty, 1]$ y decreciente en $[1, +\infty)$.
-
$f'(x) = 1\cdot e^{2x} + (x-1)(2e^{2x}) = e^{2x}(1 + 2x - 2) = (2x-1)e^{2x}$.
Signo: Como $e^{2x} > 0$, el signo de $f'(x)$ es el de $2x-1$. Tenemos $2x-1 \ge 0 \iff x \ge \frac{1}{2}$.
Por lo tanto, $f$ es decreciente en $(-\infty, \frac{1}{2}]$ y creciente en $[\frac{1}{2}, +\infty)$.
Exercice 3 : Équations et inéquations
Exercise 3: Equations and inequalities
Ejercicio 3: Ecuaciones e inecuaciones
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
Solve the following equations and inequalities in $\mathbb{R}$:
Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones en $\mathbb{R}$:
- $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ (poserlethacer $X = e^x$)
- $e^{2x} - e^x - 6 = 0$ (poserlethacer $X = e^x$)
- $e^{2x} - 5e^x = 0$
Corrigé :
Solution:
Solución:
-
En posant $X = e^x$, l'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$. Les solutions sont $X=1$ et $X=2$.
On a donc $e^x = 1 \implies x = 0$ ou $e^x = 2 \implies x = \ln(2)$.
Ensemble des solutions : $S = \{0 ; \ln(2)\}$.
-
En posant $X = e^x$, l'équation devient $X^2 - X - 6 = 0$. Les racines sont $X=3$ et $X=-2$.
On a $e^x = 3 \implies x = \ln(3)$. L'équation $e^x = -2$ n'a pas de solution car $e^x > 0$.
Ensemble des solutions : $S = \{\ln(3)\}$.
-
On factorise par $e^x$ : $e^x(e^x - 5) = 0$.
Comme $e^x > 0$, cela équivaut à $e^x - 5 = 0 \implies e^x = 5 \implies x = \ln(5)$.
Ensemble des solutions : $S = \{\ln(5)\}$.
-
Letting $X = e^x$, the equation becomes $X^2 - 3X + 2 = 0$. The solutions are $X=1$ and $X=2$.
Thus we have $e^x = 1 \implies x = 0$ or $e^x = 2 \implies x = \ln(2)$.
Solution set: $S = \{0 ; \ln(2)\}$.
-
Letting $X = e^x$, the equation becomes $X^2 - X - 6 = 0$. The roots are $X=3$ and $X=-2$.
We have $e^x = 3 \implies x = \ln(3)$. The equation $e^x = -2$ has no solution since $e^x > 0$.
Solution set: $S = \{\ln(3)\}$.
-
Factoring by $e^x$: $e^x(e^x - 5) = 0$.
Since $e^x > 0$, this is equivalent to $e^x - 5 = 0 \implies e^x = 5 \implies x = \ln(5)$.
Solution set: $S = \{\ln(5)\}$.
-
Haciendo $X = e^x$, la ecuación se convierte en $X^2 - 3X + 2 = 0$. Las soluciones son $X=1$ y $X=2$.
Por lo tanto, tenemos $e^x = 1 \implies x = 0$ o $e^x = 2 \implies x = \ln(2)$.
Conjunto de soluciones: $S = \{0 ; \ln(2)\}$.
-
Haciendo $X = e^x$, la ecuación se convierte en $X^2 - X - 6 = 0$. Las raíces son $X=3$ y $X=-2$.
Tenemos $e^x = 3 \implies x = \ln(3)$. La ecuación $e^x = -2$ no tiene solución ya que $e^x > 0$.
Conjunto de soluciones: $S = \{\ln(3)\}$.
-
Factorizando por $e^x$: $e^x(e^x - 5) = 0$.
Como $e^x > 0$, esto equivale a $e^x - 5 = 0 \implies e^x = 5 \implies x = \ln(5)$.
Conjunto de soluciones: $S = \{\ln(5)\}$.