ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE
Propriété 1 :
- • $\forall x \in \mathbb{R},\ e^x > 0$
- • La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
$\forall a, b \in \mathbb{R},\ a < b \iff e^a < e^b \quad \text{et} \quad a = b \iff e^a = e^b$
Démonstration :
- $\forall x \in \mathbb{R},\ e^x = e^{2 \times x/2} = (e^{x/2})^2 \geq 0$ et $\forall x \in \mathbb{R},\ e^x \neq 0$ donc $\forall x \in \mathbb{R},\ e^x > 0$.
- Par définition, $\exp' = \exp$ donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Étude de la fonction $f: x \mapsto e^x$
Tableau de variation :
| $x$ |
$ -\infty $
$0$
$1$
$ +\infty $
|
| $f(x) = e^x$ |
$1$
$e$
|
Représentation graphique :
Propriété 2 :
Soient $a$ et $b$ deux réels.
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{ax+b}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x) = ae^{ax+b}$
STUDY OF THE EXPONENTIAL FUNCTION
Property 1:
- • $\forall x \in \mathbb{R},\ e^x > 0$
- • The exponential function is strictly increasing on $\mathbb{R}$.
$\forall a, b \in \mathbb{R},\ a < b \iff e^a < e^b \quad \text{et} \quad a = b \iff e^a = e^b$
Demonstration:
- $\forall x \in \mathbb{R},\ e^x = e^{2 \times x/2} = (e^{x/2})^2 \geq 0$ and $\forall x \in \mathbb{R},\ e^x \neq 0$ so $\forall x \in \mathbb{R},\ e^x > 0$.
- By definition, $\exp' = \exp$ so the exponential function is strictly increasing on $\mathbb{R}$.
Study of the function $f:x \mapsto e^x$
Variation table:
| $x$ |
$ -\infty $
$0$
$1$
$ +\infty $
|
| $f(x) = e^x$ |
$1$
$e$
|
Graphical representation:
Property 2:
Let $a$ and $b$ be two real numbers.
The function $f$ defined on $\mathbb{R}$ by $f(x) = e^{ax+b}$ is differentiable on $\mathbb{R}$ and:
$\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x) = ae^{ax+b}$
ESTUDIO DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Propiedad 1:
- • $\forall x \in \mathbb{R},\ e^x > 0$
- • La función exponencial es estrictamente creciente en $\mathbb{R}$.
$\forall a, b \in \mathbb{R},\ a < b \iff e^a < e^b \quad \text{et} \quad a = b \iff e^a = e^b$
Demostración:
- $\forall x \in \mathbb{R},\ e^x = e^{2 \times x/2} = (e^{x/2})^2 \geq 0$ y $\forall x \in \mathbb{R},\ e^x \neq 0$ entonces $\forall x \in \mathbb{R},\ e^x > 0$.
- Por definición, $\exp' = \exp$, por lo que la función exponencial es estrictamente creciente en $\mathbb{R}$.
Estudio de la función $f:x \mapstoe^x$
Tabla de variaciones:
| $x$ |
$ -\infty $
$0$
$1$
$ +\infty $
|
| $f(x) = e^x$ |
$1$
$e$
|
Representación gráfica:
Propiedad 2:
Sean $a$ y $b$ dos números reales.
La función $f$ definida en $\mathbb{R}$ por $f(x) = e^{ax+b}$ es diferenciable en $\mathbb{R}$ y:
$\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x) = ae^{ax+b}$