Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes en précisant soigneusement l'ensemble de définition et les conditions de validité des opérations :
$\sqrt{3x - 2} = x$
$\sqrt{x^2 + 5} = x + 1$
$\sqrt{x+4} = x - 2$
$\sqrt{2x^2 - 7} = x$
$\sqrt{1 - x} = 2x + 1$
Solve the following equations in $\mathbb{R}$, carefully specifying the domain of definition and the validity conditions of the operations:
$\sqrt{3x - 2} = x$
$\sqrt{x^2 + 5} = x + 1$
$\sqrt{x+4} = x - 2$
$\sqrt{2x^2 - 7} = x$
$\sqrt{1 - x} = 2x + 1$
Resolver en $\mathbb{R}$ las siguientes ecuaciones precisando cuidadosamente el dominio de definición y las condiciones de validez de las operaciones:
$\sqrt{3x - 2} = x$
$\sqrt{x^2 + 5} = x + 1$
$\sqrt{x+4} = x - 2$
$\sqrt{2x^2 - 7} = x$
$\sqrt{1 - x} = 2x + 1$
Corrigé :Solution:Solución:
Équation $\sqrt{3x - 2} = x$ Conditions : La racine carrée n'est définie que pour $3x - 2 \ge 0 \iff x \ge \dfrac{2}{3}$.
De plus, le résultat d'une racine carrée étant positif, on doit avoir $x \ge 0$.
Ainsi, on cherche les solutions sur $\left[\dfrac{2}{3} ; +\infty\right[$. Résolution : Sur cet intervalle, on élève au carré : $3x - 2 = x^2 \iff x^2 - 3x + 2 = 0$.
Deux racines : $x_1 = 1$ et $x_2 = 2$. Les deux valeurs sont bien $\ge \dfrac{2}{3}$.
Résultat : $S = \{1 ; 2\}$
Équation $\sqrt{x^2 + 5} = x + 1$ Conditions : $x^2 + 5 > 0$ sur $\mathbb{R}$. Le membre de droite doit être positif : $x + 1 \ge 0 \iff x \ge -1$.
On cherche les solutions sur $[-1 ; +\infty[$. Résolution : On élève au carré : $x^2 + 5 = (x + 1)^2 \iff x^2 + 5 = x^2 + 2x + 1 \iff 2x = 4 \iff x = 2$.
La valeur $2$ appartient bien à $[-1 ; +\infty[$.
Résultat : $S = \{2\}$
Équation $\sqrt{x+4} = x - 2$ Conditions : Racine définie pour $x+4 \ge 0 \iff x \ge -4$.
Membre de droite positif : $x - 2 \ge 0 \iff x \ge 2$. Domaine de résolution : $[2 ; +\infty[$. Résolution : On élève au carré : $x+4 = (x-2)^2 \iff x+4 = x^2 - 4x + 4 \iff x^2 - 5x = 0 \iff x(x-5) = 0$.
Solutions trouvées : $x=0$ et $x=5$. Or, $0 \notin [2 ; +\infty[$.
Résultat : $S = \{5\}$
Équation $\sqrt{2x^2 - 7} = x$ Conditions : Racine définie pour $2x^2 - 7 \ge 0 \iff x^2 \ge \dfrac{7}{2} \iff x \in \left]-\infty ; -\sqrt{\dfrac{7}{2}}\right] \cup \left[\sqrt{\dfrac{7}{2}} ; +\infty\right[$.
Membre de droite positif : $x \ge 0$. Domaine de résolution : $\left[\sqrt{\dfrac{7}{2}} ; +\infty\right[$. Résolution : On élève au carré : $2x^2 - 7 = x^2 \iff x^2 = 7 \iff x = \sqrt{7}$ ou $x = -\sqrt{7}$.
Seule $\sqrt{7}$ appartient à $\left[\sqrt{\dfrac{7}{2}} ; +\infty\right[$.
Résultat : $S = \{\sqrt{7}\}$
Équation $\sqrt{1 - x} = 2x + 1$ Conditions : Racine définie pour $1 - x \ge 0 \iff x \le 1$.
Membre de droite positif : $2x + 1 \ge 0 \iff x \ge -0,5$. Domaine de résolution : $[-0,5 ; 1]$. Résolution : On élève au carré : $1 - x = (2x+1)^2 \iff 1 - x = 4x^2 + 4x + 1 \iff 4x^2 + 5x = 0 \iff x(4x+5) = 0$.
Solutions trouvées : $x=0$ et $x=-\dfrac{5}{4} = -1,25$. Or, $-1,25 \notin [-0,5 ; 1]$.
Résultat : $S = \{0\}$
Equation $\sqrt{3x - 2} = x$ Conditions: The square root is defined for $3x - 2 \ge 0 \iff x \ge \dfrac{2}{3}$.
Furthermore, $x \ge 0$. We look for solutions on $\left[\dfrac{2}{3} ; +\infty\right[$. Resolution: Square both sides: $3x - 2 = x^2 \iff x^2 - 3x + 2 = 0$.
Roots: $x_1 = 1$ and $x_2 = 2$. Both are $\ge \dfrac{2}{3}$.
Result: $S = \{1 ; 2\}$
Equation $\sqrt{x^2 + 5} = x + 1$ Conditions: Defined on $\mathbb{R}$. Right side positive: $x + 1 \ge 0 \iff x \ge -1$.
Domain: $[-1 ; +\infty[$. Resolution: Square both sides: $x^2 + 5 = (x + 1)^2 \iff 2x = 4 \iff x = 2$.
$2 \in [-1 ; +\infty[$.
Result: $S = \{2\}$
Equation $\sqrt{x+4} = x - 2$ Conditions: Root defined for $x \ge -4$. Right side positive: $x \ge 2$. Domain: $[2 ; +\infty[$. Resolution: Square: $x+4 = x^2 - 4x + 4 \iff x^2 - 5x = 0 \iff x(x-5) = 0$.
Found: $x=0$ and $x=5$. But $0 \notin [2 ; +\infty[$.
Result: $S = \{5\}$
Equation $\sqrt{2x^2 - 7} = x$ Conditions: Root defined for $x^2 \ge \dfrac{7}{2}$. Right side positive: $x \ge 0$. Domain: $\left[\sqrt{\dfrac{7}{2}} ; +\infty\right[$. Resolution: Square: $2x^2 - 7 = x^2 \iff x^2 = 7 \iff x = \pm\sqrt{7}$.
Only $\sqrt{7}$ is in the domain.
Result: $S = \{\sqrt{7}\}$
Equation $\sqrt{1 - x} = 2x + 1$ Conditions: Root defined for $x \le 1$. Right side positive: $x \ge -0.5$. Domain: $[-0.5 ; 1]$. Resolution: Square: $1 - x = 4x^2 + 4x + 1 \iff 4x^2 + 5x = 0 \iff x(4x+5) = 0$.
Found: $x=0$ and $x=-1.25$. But $-1.25 \notin [-0.5 ; 1]$.
Result: $S = \{0\}$
Ecuación $\sqrt{3x - 2} = x$ Condiciones: La raíz cuadrada está definida para $3x - 2 \ge 0 \iff x \ge \dfrac{2}{3}$.
Además, $x \ge 0$. Buscamos soluciones en $\left[\dfrac{2}{3} ; +\infty\right[$. Resolución: Elevamos al cuadrado: $3x - 2 = x^2 \iff x^2 - 3x + 2 = 0$.
Raíces: $x_1 = 1$ y $x_2 = 2$. Ambas son $\ge \dfrac{2}{3}$.
Resultado: $S = \{1 ; 2\}$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
$\sqrt{x+4} \ge x - 2$
$\sqrt{2x + 1} < 3$
$\sqrt{x^2 - 4} \le x$
$\sqrt{5 - x} > x + 1$
$2\sqrt{x} \le x - 3$
Solve the following inequalities in $\mathbb{R}$:
$\sqrt{x+4} \ge x - 2$
$\sqrt{2x + 1} < 3$
$\sqrt{x^2 - 4} \le x$
$\sqrt{5 - x} > x + 1$
$2\sqrt{x} \le x - 3$
Resolver en $\mathbb{R}$ las siguientes inecuaciones:
$\sqrt{x+4} \ge x - 2$
$\sqrt{2x + 1} < 3$
$\sqrt{x^2 - 4} \le x$
$\sqrt{5 - x} > x + 1$
$2\sqrt{x} \le x - 3$
Corrigé :Solution:Solución:
Inéquation $\sqrt{x+4} \ge x - 2$
Domaine d'existence : $x \ge -4$.
- Si $x - 2 < 0$ (soit $x < 2$) : l'inéquation est vraie (positif $\ge$ négatif). Les solutions sont $[-4 ; 2[$.
- Si $x - 2 \ge 0$ (soit $x \ge 2$) : on élève au carré. $x+4 \ge x^2 - 4x + 4 \iff x^2 - 5x \le 0 \iff x(x-5) \le 0$. Les solutions sont dans $[0 ; 5]$. On croise avec $x \ge 2$, on obtient $[2 ; 5]$.
Union des deux cas : $[-4 ; 2[ \cup [2 ; 5] = [-4 ; 5]$.
Résultat : $S = [-4 ; 5]$
Inéquation $\sqrt{2x + 1} < 3$
Domaine d'existence : $2x+1 \ge 0 \iff x \ge -0,5$.
Les deux membres sont positifs, on élève au carré en conservant l'ordre : $2x+1 < 9 \iff 2x < 8 \iff x < 4$.
On croise avec le domaine d'existence.
Résultat : $S = [-0,5 ; 4[$
Inéquation $\sqrt{x^2 - 4} \le x$
Domaine d'existence : $x^2 - 4 \ge 0 \iff x \in ]-\infty ; -2] \cup [2 ; +\infty[$.
Pour que l'inégalité soit possible, on doit avoir le membre de droite $x \ge 0$. Donc on se restreint à $x \in [2 ; +\infty[$.
Sur ce domaine, on élève au carré : $x^2 - 4 \le x^2 \iff -4 \le 0$, ce qui est toujours vrai.
Résultat : $S = [2 ; +\infty[$
Inéquation $\sqrt{5 - x} > x + 1$
Domaine d'existence : $5 - x \ge 0 \iff x \le 5$.
- Si $x + 1 < 0$ (soit $x < -1$) : Vrai (positif $>$ négatif). Les solutions sont $]-\infty ; -1[$.
- Si $x + 1 \ge 0$ (soit $x \in [-1 ; 5]$) : On élève au carré. $5 - x > x^2 + 2x + 1 \iff x^2 + 3x - 4 < 0$. Les racines sont $-4$ et $1$. L'expression est négative sur $]-4 ; 1[$. En croisant avec $[-1 ; 5]$, on obtient $[-1 ; 1[$.
Union des deux cas : $]-\infty ; -1[ \cup [-1 ; 1[ = ]-\infty ; 1[$.
Résultat : $S = ]-\infty ; 1[$
Inéquation $2\sqrt{x} \le x - 3$
Domaine d'existence : $x \ge 0$.
Le membre de gauche est $\ge 0$, donc on doit avoir $x - 3 \ge 0 \iff x \ge 3$.
On élève au carré : $4x \le (x - 3)^2 \iff 4x \le x^2 - 6x + 9 \iff x^2 - 10x + 9 \ge 0$.
Les racines de $x^2 - 10x + 9$ sont $1$ et $9$. C'est positif à l'extérieur des racines : $]-\infty ; 1] \cup [9 ; +\infty[$.
En croisant avec $x \ge 3$, il ne reste que $[9 ; +\infty[$.
Résultat : $S = [9 ; +\infty[$
Une entreprise est en situation de concurrence. Elle produit une quantité $q$ d'objets (en milliers). Le marché absorbe toute la production, et la recette (en milliers d'euros) est modélisée par $R(q) = 20\sqrt{q}$.
Le coût total de production est donné par $C(q) = 2q + 18$.
Le bénéfice est donc $B(q) = R(q) - C(q)$, défini sur $[0 ; +\infty[$.
Exprimer $B(q)$ en fonction de $q$.
Calculer la dérivée $B'(q)$ sur $]0 ; +\infty[$.
En déduire la quantité $q$ à produire pour maximiser le bénéfice.
Quel est ce bénéfice maximal (en milliers d'euros) ?
A company is in a competitive situation. It produces a quantity $q$ of objects (in thousands). The market absorbs all the production, and the revenue (in thousands of euros) is modeled by $R(q) = 20\sqrt{q}$.
The total production cost is given by $C(q) = 2q + 18$.
The profit is therefore $B(q) = R(q) - C(q)$, defined on $[0 ; +\infty[$.
Express $B(q)$ as a function of $q$.
Calculate the derivative $B'(q)$ on $]0 ; +\infty[$.
Deduce the quantity $q$ to produce to maximize the profit.
What is this maximum profit (in thousands of euros)?
Una empresa se encuentra en situación de competencia. Produce una cantidad $q$ de objetos (en miles). El mercado absorbe toda la producción, y el ingreso (en miles de euros) está modelado por $R(q) = 20\sqrt{q}$.
El costo total de producción está dado por $C(q) = 2q + 18$.
El beneficio es por tanto $B(q) = R(q) - C(q)$, definido en $[0 ; +\infty[$.
Expresar $B(q)$ en función de $q$.
Calcular la derivada $B'(q)$ en $]0 ; +\infty[$.
Deducir la cantidad $q$ a producir para maximizar el beneficio.
¿Cuál es este beneficio máximo (en miles de euros)?
Corrigé :Solution:Solución:
Le bénéfice est : $B(q) = 20\sqrt{q} - (2q + 18) = 20\sqrt{q} - 2q - 18$.
On dérive $B(q)$ sur $]0 ; +\infty[$ en utilisant la dérivée de $\sqrt{q}$ qui est $\dfrac{1}{2\sqrt{q}}$ :
$B'(q) = 20 \times \dfrac{1}{2\sqrt{q}} - 2 = \dfrac{10}{\sqrt{q}} - 2$.
Étudions le signe de $B'(q)$ :
$B'(q) = 0 \iff \dfrac{10}{\sqrt{q}} = 2 \iff \sqrt{q} = \dfrac{10}{2} = 5 \iff q = 25$.
Si $0 < q < 25$, alors $\sqrt{q} < 5$, donc $\dfrac{10}{\sqrt{q}} > 2$, soit $B'(q) > 0$.
Si $q > 25$, alors $\sqrt{q} > 5$, donc $\dfrac{10}{\sqrt{q}} < 2$, soit $B'(q) < 0$.
Le bénéfice est donc strictement croissant sur $[0 ; 25]$ et strictement décroissant sur $[25 ; +\infty[$.
Le bénéfice est maximal pour $q = 25 \text{ (milliers d'objets)}$.
Le bénéfice maximal vaut $B(25)$ :
$B(25) = 20\sqrt{25} - 2(25) - 18 = 20(5) - 50 - 18 = 100 - 68 = 32$.
Le bénéfice maximal est de 32 milliers d'euros (soit 32 000 euros).
The profit is: $B(q) = 20\sqrt{q} - (2q + 18) = 20\sqrt{q} - 2q - 18$.
We calculate the derivative of $B(q)$ on $]0 ; +\infty[$ using the derivative of $\sqrt{q}$ which is $\dfrac{1}{2\sqrt{q}}$:
$B'(q) = 20 \times \dfrac{1}{2\sqrt{q}} - 2 = \dfrac{10}{\sqrt{q}} - 2$.
Let's study the sign of $B'(q)$:
$B'(q) = 0 \iff \dfrac{10}{\sqrt{q}} = 2 \iff \sqrt{q} = \dfrac{10}{2} = 5 \iff q = 25$.
If $0 < q < 25$, then $\sqrt{q} < 5$, so $\dfrac{10}{\sqrt{q}} > 2$, meaning $B'(q) > 0$.
If $q > 25$, then $\sqrt{q} > 5$, so $\dfrac{10}{\sqrt{q}} < 2$, meaning $B'(q) < 0$.
The profit is therefore strictly increasing on $[0 ; 25]$ and strictly decreasing on $[25 ; +\infty[$.
The profit is maximized for $q = 25 \text{ (thousands of objects)}$.
The maximum profit is $B(25)$:
$B(25) = 20\sqrt{25} - 2(25) - 18 = 20(5) - 50 - 18 = 100 - 68 = 32$.
The maximum profit is 32 thousands of euros (or 32,000 euros).
Derivamos $B(q)$ en $]0 ; +\infty[$ usando la derivada de $\sqrt{q}$ que es $\dfrac{1}{2\sqrt{q}}$:
$B'(q) = 20 \times \dfrac{1}{2\sqrt{q}} - 2 = \dfrac{10}{\sqrt{q}} - 2$.
Estudiemos el signo de $B'(q)$:
$B'(q) = 0 \iff \dfrac{10}{\sqrt{q}} = 2 \iff \sqrt{q} = \dfrac{10}{2} = 5 \iff q = 25$.
Si $0 < q < 25$, entonces $\sqrt{q} < 5$, luego $\dfrac{10}{\sqrt{q}} > 2$, es decir $B'(q) > 0$.
Si $q > 25$, entonces $\sqrt{q} > 5$, luego $\dfrac{10}{\sqrt{q}} < 2$, es decir $B'(q) < 0$.
El beneficio es por tanto estrictamente creciente en $[0 ; 25]$ y estrictamente decreciente en $[25 ; +\infty[$.
El beneficio es máximo para $q = 25 \text{ (miles de objetos)}$.
El beneficio máximo vale $B(25)$:
$B(25) = 20\sqrt{25} - 2(25) - 18 = 20(5) - 50 - 18 = 100 - 68 = 32$.
El beneficio máximo es de 32 miles de euros (o 32.000 euros).
Exercice 4 : Optimisation de distance (Application Géométrique)Exercise 4: Distance Optimization (Geometric Application)Ejercicio 4: Optimización de la distancia (Aplicación Geométrica)
Dans un repère orthonormé, on considère le point $A(2 ; 0)$ et la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction racine carrée définie sur $[0 ; +\infty[$.
Soit $M(x ; \sqrt{x})$ un point appartenant à la courbe $\mathcal{C}$ avec $x \ge 0$.
Exprimer le carré de la distance $AM^2$ en fonction de $x$.
On pose $f(x) = AM^2$. Calculer la dérivée $f'(x)$ et étudier ses variations sur $[0 ; +\infty[$.
En déduire les coordonnées du point $M$ de $\mathcal{C}$ le plus proche du point $A$.
Calculer cette distance minimale (sous la forme d'une fraction irréductible avec racine).
In an orthonormal coordinate system, consider the point $A(2 ; 0)$ and the curve $\mathcal{C}$ representative of the square root function defined on $[0 ; +\infty[$.
Let $M(x ; \sqrt{x})$ be a point belonging to the curve $\mathcal{C}$ with $x \ge 0$.
Express the square of the distance $AM^2$ as a function of $x$.
Let $f(x) = AM^2$. Calculate the derivative $f'(x)$ and study its variations on $[0 ; +\infty[$.
Deduce the coordinates of the point $M$ on $\mathcal{C}$ closest to the point $A$.
Calculate this minimum distance (in the form of an irreducible fraction with a root).
En un sistema de coordenadas ortonormal, se considera el punto $A(2 ; 0)$ y la curva $\mathcal{C}$ representativa de la función raíz cuadrada definida en $[0 ; +\infty[$.
Sea $M(x ; \sqrt{x})$ un punto que pertenece a la curva $\mathcal{C}$ con $x \ge 0$.
Expresar el cuadrado de la distancia $AM^2$ en función de $x$.
Sea $f(x) = AM^2$. Calcular la derivada $f'(x)$ y estudiar sus variaciones en $[0 ; +\infty[$.
Deducir las coordenadas del punto $M$ de $\mathcal{C}$ más cercano al punto $A$.
Calcular esta distancia mínima (en forma de fracción irreducible con raíz).
Corrigé :Solution:Solución:
La formule de la distance au carré est : $AM^2 = (x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2$.
Ici, $A(2 ; 0)$ et $M(x ; \sqrt{x})$, donc $AM^2 = (x - 2)^2 + (\sqrt{x} - 0)^2$.
$AM^2 = x^2 - 4x + 4 + x = x^2 - 3x + 4$.
Soit $f(x) = x^2 - 3x + 4$. On calcule la dérivée :
$f'(x) = 2x - 3$.
$f'(x) = 0 \iff 2x = 3 \iff x = 1,5$.
$f'(x) < 0$ sur $[0 ; 1,5[$ (la fonction $f$ y est strictement décroissante).
$f'(x) > 0$ sur $]1,5 ; +\infty[$ (la fonction $f$ y est strictement croissante).
Le carré de la distance, et donc la distance elle-même, est minimale pour $x = 1,5$.
Les coordonnées du point le plus proche sont $M(1,5 ; \sqrt{1,5})$, soit en fractions : $M\left(\dfrac{3}{2} ; \sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)$.
La distance minimale $AM$ est $\sqrt{f(1,5)}$.
$f(1,5) = 1,5^2 - 3(1,5) + 4 = 2,25 - 4,5 + 4 = 1,75 = \dfrac{7}{4}$.
Donc $AM = \sqrt{\dfrac{7}{4}} = $ $\dfrac{\sqrt{7}}{2}$.
The squared distance formula is: $AM^2 = (x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2$.
Here, $A(2 ; 0)$ and $M(x ; \sqrt{x})$, so $AM^2 = (x - 2)^2 + (\sqrt{x} - 0)^2$.
$AM^2 = x^2 - 4x + 4 + x = x^2 - 3x + 4$.
Let $f(x) = x^2 - 3x + 4$. We calculate the derivative:
$f'(x) = 2x - 3$.
$f'(x) = 0 \iff 2x = 3 \iff x = 1.5$.
$f'(x) < 0$ on $[0 ; 1.5[$ (the function $f$ is strictly decreasing there).
$f'(x) > 0$ on $]1.5 ; +\infty[$ (the function $f$ is strictly increasing there).
The square of the distance, and therefore the distance itself, is minimal for $x = 1.5$.
The coordinates of the closest point are $M(1.5 ; \sqrt{1.5})$, or in fractions: $M\left(\dfrac{3}{2} ; \sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)$.
The minimum distance $AM$ is $\sqrt{f(1.5)}$.
$f(1.5) = 1.5^2 - 3(1.5) + 4 = 2.25 - 4.5 + 4 = 1.75 = \dfrac{7}{4}$.
So $AM = \sqrt{\dfrac{7}{4}} = $ $\dfrac{\sqrt{7}}{2}$.
La fórmula de la distancia al cuadrado es: $AM^2 = (x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2$.
Aquí, $A(2 ; 0)$ y $M(x ; \sqrt{x})$, luego $AM^2 = (x - 2)^2 + (\sqrt{x} - 0)^2$.
$AM^2 = x^2 - 4x + 4 + x = x^2 - 3x + 4$.
Sea $f(x) = x^2 - 3x + 4$. Calculamos la derivada:
$f'(x) = 2x - 3$.
$f'(x) = 0 \iff 2x = 3 \iff x = 1,5$.
$f'(x) < 0$ en $[0 ; 1,5[$ (la función $f$ es allí estrictamente decreciente).
$f'(x) > 0$ en $]1,5 ; +\infty[$ (la función $f$ es allí estrictamente creciente).
El cuadrado de la distancia, y por tanto la distancia en sí, es mínima para $x = 1,5$.
Las coordenadas del punto más cercano son $M(1,5 ; \sqrt{1,5})$, o en fracciones: $M\left(\dfrac{3}{2} ; \sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)$.
La distancia mínima $AM$ es $\sqrt{f(1,5)}$.
$f(1,5) = 1,5^2 - 3(1,5) + 4 = 2,25 - 4,5 + 4 = 1,75 = \dfrac{7}{4}$.
Por lo tanto $AM = \sqrt{\dfrac{7}{4}} = $ $\dfrac{\sqrt{7}}{2}$.
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