La fonction carré
Exercices
Exercice 1 : Application Économique (Coût et Bénéfice)
Une entreprise fabrique des plaques de métal carrées de côté $x$ (en mètres). Le coût de production d'une plaque est donné par la fonction $C(x) = 3x^2 + 50$ (en euros). Le prix de vente d'une plaque est strictement proportionnel à son aire, et l'entreprise la vend de sorte que sa recette est $R(x) = 15x^2$.
- Exprimer le bénéfice $B(x)$ réalisé sur la vente d'une plaque en fonction de son côté $x$.
- Étudier le signe de $B(x)$ et en déduire à partir de quelle dimension de plaque l'entreprise réalise un profit (c'est-à-dire un bénéfice strictement positif).
- Calculer le taux d'accroissement du bénéfice entre $x = 2$ et $x = 2+h$.
- En déduire le nombre dérivé du bénéfice pour $x = 2$ et interpréter ce résultat (bénéfice marginal).
Corrigé :
- Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût de production :
$B(x) = R(x) - C(x) = 15x^2 - (3x^2 + 50)$.
Donc, $B(x) = 12x^2 - 50$. - L'entreprise réalise un profit lorsque $B(x) > 0$.
$12x^2 - 50 > 0 \iff 12x^2 > 50 \iff x^2 > \dfrac{50}{12} = \dfrac{25}{6}$.
Puisque la dimension $x$ d'une plaque est obligatoirement positive ($x > 0$), la fonction carré conservant l'ordre sur les réels positifs, on obtient : $x > \sqrt{\dfrac{25}{6}} = \dfrac{5}{\sqrt{6}} \approx 2,04$.
L'entreprise réalise un profit pour des plaques d'un côté supérieur à environ $2,04$ m. - Le taux d'accroissement $\tau$ entre $2$ et $2+h$ est :
$\tau = \dfrac{B(2+h) - B(2)}{h}$
$B(2+h) = 12(2+h)^2 - 50 = 12(4 + 4h + h^2) - 50 = 12h^2 + 48h - 2$
$B(2) = 12(2)^2 - 50 = 48 - 50 = -2$
$\tau = \dfrac{(12h^2 + 48h - 2) - (-2)}{h} = \dfrac{12h^2 + 48h}{h} = \dfrac{h(12h + 48)}{h}$.
Donc $\tau = 12h + 48$. - Le nombre dérivé $B'(2)$ s'obtient en faisant tendre $h$ vers $0$ dans le taux d'accroissement :
$\lim_{h \to 0} (12h + 48) = 48$. Donc $B'(2) = 48$.
Interprétation : Lorsque le côté de la plaque atteint $2$ mètres, une augmentation infinitésimale de la dimension de la plaque génère un bénéfice supplémentaire à un taux de 48 euros par mètre supplémentaire (bénéfice marginal).
Exercice 2 : Application Géométrique (Distance Minimale)
Soit $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y = x^2$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$. On considère le point $A$ de coordonnées $(0 ; 1)$ situé sur l'axe des ordonnées.
Soit $M(x ; x^2)$ un point quelconque appartenant à la parabole $\mathcal{P}$. On cherche à déterminer la position de $M$ pour laquelle la distance $AM$ est minimale.
- Exprimer la distance au carré $AM^2$ en fonction de l'abscisse $x$ du point $M$.
- Montrer que $AM^2 = x^4 - x^2 + 1$.
- Pour étudier les variations de cette distance, on pose $X = x^2$. L'expression devient alors $g(X) = X^2 - X + 1$ pour $X \ge 0$. Déterminer le sommet de la parabole représentative de la fonction $g$ et en déduire la valeur de $X$ qui minimise $g(X)$.
- En déduire les coordonnées des deux points $M_1$ et $M_2$ de la parabole $\mathcal{P}$ les plus proches de $A$, ainsi que la distance minimale $AM$.
Corrigé :
- Dans un repère orthonormé, la distance $AM^2$ s'écrit :
$AM^2 = (x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2$
En remplaçant par les coordonnées, $M(x ; x^2)$ et $A(0 ; 1)$ :
$AM^2 = (x - 0)^2 + (x^2 - 1)^2$. Donc $AM^2 = x^2 + (x^2 - 1)^2$. - On développe l'expression obtenue :
$AM^2 = x^2 + (x^4 - 2x^2 + 1) = x^4 - x^2 + 1$.
L'expression est bien $AM^2 = x^4 - x^2 + 1$. - La fonction $g(X) = X^2 - X + 1$ est un trinôme du second degré avec $a=1, b=-1, c=1$.
L'abscisse de son sommet est $\alpha = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{1}{2}$.
Puisque $a = 1 > 0$, la fonction $g$ admet un minimum en ce point.
Le minimum est donc atteint pour $X = \dfrac{1}{2}$. - Sachant que $X = x^2$, la distance est minimale lorsque $x^2 = \dfrac{1}{2}$.
Les solutions de cette équation sont $x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et $x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Les coordonnées des points les plus proches sont donc $M_1\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} ; \dfrac{1}{2}\right)$ et $M_2\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}} ; \dfrac{1}{2}\right)$.
La distance minimale au carré est $g\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{4} + \dfrac{4}{4} = \dfrac{3}{4}$.
La distance minimale $AM$ est donc $AM = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Exercice 3 : Tangente et Position Relative
On considère la fonction carré $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$ et on appelle $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
Soit $a$ un réel quelconque. On s'intéresse à la tangente $\mathcal{T}_a$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$.
- Rappeler l'expression de la dérivée $f'(x)$. En déduire l'équation réduite de la tangente $\mathcal{T}_a$ en fonction de $a$.
- On étudie la position de la courbe par rapport à sa tangente en analysant le signe de la différence $d(x) = f(x) - (2ax - a^2)$. Exprimer $d(x)$ sous la forme d'un produit remarquable.
- En déduire le signe de $d(x)$ pour tout réel $x$.
- Que peut-on conclure géométriquement sur la position de la parabole $\mathcal{C}_f$ par rapport à toutes ses tangentes ? Comment appelle-t-on cette propriété de la parabole ?
Corrigé :
- La dérivée de la fonction carré est $f'(x) = 2x$.
L'équation de la tangente $\mathcal{T}_a$ est donnée par la formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
On obtient : $y = 2a(x - a) + a^2 = 2ax - 2a^2 + a^2$.
Donc l'équation réduite est $y = 2ax - a^2$. - On étudie la différence $d(x) = x^2 - (2ax - a^2)$.
$d(x) = x^2 - 2ax + a^2$.
On reconnaît une identité remarquable : $d(x) = (x - a)^2$. - Le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul.
On en déduit que pour tout réel $x$, $d(x) \ge 0$ (et $d(x) = 0$ si et seulement si $x = a$). - Puisque $d(x) \ge 0 \iff f(x) \ge 2ax - a^2$, cela signifie que l'ordonnée d'un point de la courbe est toujours supérieure ou égale à l'ordonnée du point de la tangente de même abscisse.
Géométriquement, la parabole $\mathcal{C}_f$ est située entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes.
On dit que la fonction carré est convexe.
Exercice 4 : Encadrements et Inéquations (Algèbre)
On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = 4 - 3x^2$.
- Déterminer les variations de $h$ sur $\mathbb{R}$ en justifiant soigneusement.
- Donner le meilleur encadrement possible de $h(x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle $[-2 ; 1]$. (Indication : commencer par encadrer $x^2$).
- Résoudre l'inéquation $h(x) > -8$ dans $\mathbb{R}$.
Corrigé :
- La fonction carré $x \mapsto x^2$ est décroissante sur $\mathbb{R}^-$ et croissante sur $\mathbb{R}^+$.
En multipliant par un nombre négatif ($-3$), l'ordre des variations est inversé. Ainsi, $x \mapsto -3x^2$ est croissante sur $\mathbb{R}^-$ et décroissante sur $\mathbb{R}^+$.
L'ajout de la constante $4$ ne modifie pas les variations.
Donc $h$ est croissante sur $]-\infty ; 0]$ et décroissante sur $[0 ; +\infty[$. Son maximum est $h(0) = 4$. - Si $x \in [-2 ; 1]$, l'intervalle contient $0$.
Le minimum de $x^2$ sur cet intervalle est atteint en $x=0$ (et vaut $0$), et son maximum est atteint pour la plus grande valeur absolue, soit en $x=-2$ (et vaut $(-2)^2=4$).
On a donc : $0 \le x^2 \le 4$.
On multiplie par $-3$ (on inverse le sens) : $-12 \le -3x^2 \le 0$.
On ajoute $4$ : $-12 + 4 \le 4 - 3x^2 \le 0 + 4$.
L'encadrement final est $-8 \le h(x) \le 4$. - $h(x) > -8 \iff 4 - 3x^2 > -8 \iff -3x^2 > -12 \iff x^2 < 4$.
Résoudre $x^2 < 4$ revient à trouver les nombres dont le carré est strictement inférieur à $4$. Cela correspond aux réels compris strictement entre $-2$ et $2$.
L'ensemble des solutions est $S = ]-2 ; 2[$.