LA FONCTION CARRÉ
Définition 1: On appelle fonction carré la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x \mapsto x^2$.
Étude de la fonction $f : x \mapsto x^2$
Parité :
$\forall x \in \mathbb{R},\ f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ donc $f$ est paire.
Dérivée :
La fonction carré $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x) = 2x$.
Tableau de variation :
| $x$ |
$-\infty$
$0$
$+\infty$
|
| $f'(x)$ |
−
0
+
|
| $f(x)=x^2$ |
$0$
|
La fonction carré a pour minimum $0$. Ce minimum est atteint en $0$.
Représentation graphique :
$f$ est paire donc sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Propriété 1 : Soient $x_1$ et $x_2$ des réels ;
- $0 \leq x_1 < x_2 \implies 0 \leq x_1^2 < x_2^2$
- $x_1 < x_2 \leq 0 \implies 0 \leq x_2^2 < x_1^2$
- $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$
Démonstration :
Elle découle directement du tableau de variation de la fonction carré.
THE SQUARE FUNCTION
Definition 1: The square function is the function defined on $\mathbb{R}$ by $x \mapsto x^2$.
Study of the function $f : x \mapsto x^2$
Parity:
$\forall x \in \mathbb{R},\ f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ thus $f$ is even.
Derivative:
The square function $f$ is differentiable on $\mathbb{R}$ such that $\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x) = 2x$.
Variation table:
| $x$ |
$-\infty$
$0$
$+\infty$
|
| $f'(x)$ |
−
0
+
|
| $f(x)=x^2$ |
$0$
|
The square function has a minimum of $0$. This minimum is reached at $0$.
Graphical representation:
$f$ is even, so its representative curve $\mathcal{C}_f$ is symmetric with respect to the y-axis.
Property 1: Let $x_1$ and $x_2$ be real numbers;
- $0 \leq x_1 < x_2 \implies 0 \leq x_1^2 < x_2^2$
- $x_1 < x_2 \leq 0 \implies 0 \leq x_2^2 < x_1^2$
- $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$
Proof:
It follows directly from the variation table of the square function.
LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Definición 1: Se llama función cuadrática a la función definida en $\mathbb{R}$ por $x \mapsto x^2$.
Estudio de la función $f : x \mapsto x^2$
Paridad:
$\forall x \in \mathbb{R},\ f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ por lo tanto $f$ es par.
Derivada:
La función cuadrática $f$ es derivable en $\mathbb{R}$ de modo que $\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x) = 2x$.
Tabla de variación:
| $x$ |
$-\infty$
$0$
$+\infty$
|
| $f'(x)$ |
−
0
+
|
| $f(x)=x^2$ |
$0$
|
La función cuadrática tiene un mínimo de $0$. Este mínimo se alcanza en $0$.
Representación gráfica:
$f$ es par, por lo tanto su curva representativa $\mathcal{C}_f$ es simétrica respecto al eje de ordenadas.
Propiedad 1: Sean $x_1$ y $x_2$ números reales;
- $0 \leq x_1 < x_2 \implies 0 \leq x_1^2 < x_2^2$
- $x_1 < x_2 \leq 0 \implies 0 \leq x_2^2 < x_1^2$
- $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$
Demostración:
Se deduce directamente de la tabla de variación de la función cuadrática.