Variations d'une fonctionVariations of a functionVariaciones de una función
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Exercice 1 : Dérivée et variations simplesExercise 1: Derivative and simple variationsEjercicio 1: Derivada y variaciones simples
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la dérivée, déterminer son signe et en déduire le sens de variation de la fonction sur l'intervalle donné :
$f(x) = x^2 - 6x + 5$ sur $\mathbb{R}$
$g(x) = -2x^2 + 8x - 3$ sur $\mathbb{R}$
$h(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$ sur $\mathbb{R}$
$k(x) = \dfrac{3x-1}{x-2}$ sur $]2 \,; +\infty[$
For each of the following functions, calculate the derivative, determine its sign, and deduce the direction of variation of the function on the given interval:
$f(x) = x^2 - 6x + 5$ on $\mathbb{R}$
$g(x) = -2x^2 + 8x - 3$ on $\mathbb{R}$
$h(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$ on $\mathbb{R}$
$k(x) = \dfrac{3x-1}{x-2}$ on $]2 \,; +\infty[$
Para cada una de las siguientes funciones, calcule la derivada, determine su signo y deduzca el sentido de variación de la función en el intervalo dado:
$f(x) = x^2 - 6x + 5$ en $\mathbb{R}$
$g(x) = -2x^2 + 8x - 3$ en $\mathbb{R}$
$h(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$ en $\mathbb{R}$
$k(x) = \dfrac{3x-1}{x-2}$ en $]2 \,; +\infty[$
Corrigé :Solution:Solución:
$f'(x) = 2x - 6$. $f'(x) > 0 \iff 2x > 6 \iff x > 3$. Donc $f$ est décroissante sur $]-\infty ; 3]$ et croissante sur $[3 ; +\infty[$.
$g'(x) = -4x + 8$. $g'(x) > 0 \iff -4x > -8 \iff x < 2$. Donc $g$ est croissante sur $]-\infty ; 2]$ et décroissante sur $[2 ; +\infty[$.
$h'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2)$. Les racines sont $-1$ et $2$. $h'(x)$ est du signe de $a=6 > 0$ à l'extérieur des racines. Donc $h$ est croissante sur $]-\infty ; -1]$ et sur $[2 ; +\infty[$, et décroissante sur $[-1 ; 2]$.
$k = \dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=3x-1$ ($u'=3$) et $v(x)=x-2$ ($v'=1$). $k'(x) = \dfrac{3(x-2) - (3x-1)(1)}{(x-2)^2} = \dfrac{3x-6-3x+1}{(x-2)^2} = \dfrac{-5}{(x-2)^2}$. Comme $(x-2)^2 > 0$ sur l'intervalle, $k'(x) < 0$. $k$ est donc strictement décroissante sur $]2 ; +\infty[$.
$f'(x) = 2x - 6$. $f'(x) > 0 \iff 2x > 6 \iff x > 3$. Thus $f$ is decreasing on $]-\infty ; 3]$ and increasing on $[3 ; +\infty[$.
$g'(x) = -4x + 8$. $g'(x) > 0 \iff -4x > -8 \iff x < 2$. Thus $g$ is increasing on $]-\infty ; 2]$ and decreasing on $[2 ; +\infty[$.
$h'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2)$. Roots are $-1$ and $2$. $h'(x)$ has the sign of $a=6 > 0$ outside roots. Thus $h$ is increasing on $]-\infty ; -1]$ and $[2 ; +\infty[$, and decreasing on $[-1 ; 2]$.
$k'(x) = \dfrac{3(x-2) - (3x-1)(1)}{(x-2)^2} = \dfrac{-5}{(x-2)^2}$. Since $(x-2)^2 > 0$, $k'(x) < 0$. $k$ is therefore strictly decreasing on $]2 ; +\infty[$.
$f'(x) = 2x - 6$. $f'(x) > 0 \iff 2x > 6 \iff x > 3$. Luego $f$ es decreciente en $]-\infty ; 3]$ y creciente en $[3 ; +\infty[$.
$g'(x) = -4x + 8$. $g'(x) > 0 \iff -4x > -8 \iff x < 2$. Luego $g$ es creciente en $]-\infty ; 2]$ y decreciente en $[2 ; +\infty[$.
$h'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2)$. Las raíces son $-1$ y $2$. $h'(x)$ tiene el signo de $a=6 > 0$ fuera de las raíces. Luego $h$ es creciente en $]-\infty ; -1]$ y $[2 ; +\infty[$, y decreciente en $[-1 ; 2]$.
$k'(x) = \dfrac{3(x-2) - (3x-1)(1)}{(x-2)^2} = \dfrac{-5}{(x-2)^2}$. Como $(x-2)^2 > 0$, $k'(x) < 0$. $k$ es entonces estrictamente decreciente en $]2 ; +\infty[$.
Exercice 2 : Tableaux de variationsExercise 2: Variation tablesEjercicio 2: Tablas de variaciones
Pour chacune des fonctions suivantes, dresser le tableau de variations complet sur l'intervalle donné (inclure les valeurs aux extremums locaux) :
$f(x) = -x^3 + 3x - 1$ sur $\mathbb{R}$
$g(x) = \dfrac{x^2+2x+2}{x+1}$ sur $]-1 \,; +\infty[$
For each of the following functions, draw the complete variation table on the given interval (include local extrema values):
$f(x) = -x^3 + 3x - 1$ on $\mathbb{R}$
$g(x) = \dfrac{x^2+2x+2}{x+1}$ on $]-1 \,; +\infty[$
Para cada una de las siguientes funciones, elabore la tabla de variaciones completa en el intervalo dado (incluya los valores en los extremos locales):
$f(x) = -x^3 + 3x - 1$ en $\mathbb{R}$
$g(x) = \dfrac{x^2+2x+2}{x+1}$ en $]-1 \,; +\infty[$
Corrigé :Solution:Solución:
$f'(x) = -3x^2 + 3 = -3(x^2 - 1)$. Les racines sont $-1$ et $1$. $f'(x)$ est positif entre les racines, négatif à l'extérieur. $f(-1) = -(-1) - 3 - 1 = -3$ et $f(1) = -1 + 3 - 1 = 1$.
$x$
$-\infty$$-1$$1$$+\infty$
$f'(x)$
$-$$0$$+$$0$$-$
$f(x)$
$1$$-3$
$g'(x) = \dfrac{(2x+2)(x+1) - (x^2+2x+2)(1)}{(x+1)^2} = \dfrac{2x^2+4x+2 - x^2-2x-2}{(x+1)^2} = \dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2} = \dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2}$.
Sur $]-1 ; +\infty[$, $x+2 > 0$ et le signe de $g'$ ne dépend que de $x$. Donc $g'(x)$ s'annule en $0$, est négatif sur $]-1 ; 0]$ et positif sur $[0 ; +\infty[$. $g(0) = 2$.
$x$
$-1$$0$$+\infty$
$g'(x)$
$-$$0$$+$
$g(x)$
$2$
$f'(x) = -3x^2 + 3 = -3(x^2 - 1)$. Roots are $-1$ and $1$. $f(-1) = -3$, $f(1) = 1$.
$x$
$-\infty$
$-1$
$1$
$+\infty$
$f'(x)$
$-$
$0$
$+$
$0$
$-$
$f$
$\searrow$
$-3$
$
earrow$
$1$
$\searrow$
$g'(x) = \dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2} = \dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2}$. On $]-1 ; +\infty[$, $g'$ vanishes at $0$, is negative on $]-1 ; 0]$ and positive on $[0 ; +\infty[$. $g(0) = 2$.
$x$
$-1$$0$$+\infty$
$g'(x)$
$-$$0$$+$
$g(x)$
$2$
$f'(x) = -3x^2 + 3 = -3(x^2 - 1)$. Las raíces son $-1$ y $1$. $f(-1) = -3$, $f(1) = 1$.
$x$
$-\infty$
$-1$
$1$
$+\infty$
$f'(x)$
$-$
$0$
$+$
$0$
$-$
$f$
$\searrow$
$-3$
$
earrow$
$1$
$\searrow$
$g'(x) = \dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2} = \dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2}$. En $]-1 ; +\infty[$, $g'$ se anula en $0$, es negativa en $]-1 ; 0]$ y positiva en $[0 ; +\infty[$. $g(0) = 2$.
$x$
$-1$$0$$+\infty$
$g'(x)$
$-$$0$$+$
$g(x)$
$2$
Exercice 3 : Étude complète d'une fonctionExercise 3: Complete study of a functionEjercicio 3: Estudio completo de una función
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
Calculer $f'(x)$.
Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ et étudier le signe de $f'(x)$.
En déduire le tableau de variations de $f$ (préciser les extremums).
Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x=0$.
Étudier la position relative de $T$ par rapport à $\mathcal{C}_f$.
Consider the function $f$ defined on $\mathbb{R}$ by $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$. Let $\mathcal{C}_f$ be its curve.
Calculate $f'(x)$.
Solve $f'(x) = 0$ and study the sign of $f'(x)$.
Deduce the variation table of $f$ (specify extrema).
Determine the equation of the tangent $T$ to $\mathcal{C}_f$ at $x=0$.
Study the relative position of $T$ with respect to $\mathcal{C}_f$.
Se considera la función $f$ definida en $\mathbb{R}$ por $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$. Sea $\mathcal{C}_f$ su curva representativa.
Calcular $f'(x)$.
Resolver $f'(x) = 0$ y estudiar el signo de $f'(x)$.
Deducir la tabla de variaciones de $f$ (precisar los extremos).
Determinar la ecuación de la tangente $T$ a $\mathcal{C}_f$ en el punto de abscisa $x=0$.
Estudiar la posición relativa de $T$ respecto a $\mathcal{C}_f$.
$f$ est croissante sur $]-\infty;1]$, décroissante sur $[1;3]$, et croissante sur $[3;+\infty[$. Max local $f(1) = 2$, min local $f(3) = -2$.
$x$
$-\infty$$1$$3$$+\infty$
$f'(x)$
$+$$0$$-$$0$$+$
$f(x)$
$2$$-2$
En $x=0$, $f'(0) = 9$ et $f(0) = -2$. L'équation de $T$ est $y = f'(0)(x-0) + f(0) \Rightarrow$ $y = 9x - 2$.
On étudie le signe de $d(x) = f(x) - (9x-2) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2 - 9x + 2 = x^3 - 6x^2 = x^2(x - 6)$. Comme $x^2 \geq 0$, le signe de $d(x)$ est celui de $x-6$. Pour $x < 6$, $\mathcal{C}_f$ est en-dessous de $T$. Pour $x > 6$, $\mathcal{C}_f$ est au-dessus. Au point d'abscisse 6, elles se croisent.
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3)$.
Roots are $x=1$ and $x=3$. $f'(x) > 0$ on $]-\infty;1] \cup [3;+\infty[$ and $f'(x) < 0$ on $[1;3]$.
$f$ is increasing on $]-\infty;1]$, decreasing on $[1;3]$, increasing on $[3;+\infty[$. Local max $f(1) = 2$, local min $f(3) = -2$.
$d(x) = f(x) - (9x-2) = x^2(x - 6)$. Para $x < 6$, $\mathcal{C}_f$ está por debajo de $T$. Para $x > 6$, $\mathcal{C}_f$ está por encima de $T$.
Exercice 4 : Déduction de formules à partir d'extremumsExercise 4: Deduction of formulas from extremaEjercicio 4: Deducción de fórmulas a partir de extremos
Déterminer l'expression d'une fonction polynôme du second degré $f(x) = ax^2+bx+c$ dont la courbe représentative admet pour sommet $S(1; -2)$ et passe par le point $A(0; 1)$.
Déterminer l'expression d'une fonction $g(x) = ax^3 + bx$ sachant que sa courbe admet un extremum local au point $B(2; -16)$.
Determine the expression of a second-degree polynomial function $f(x) = ax^2+bx+c$ whose curve has a vertex at $S(1; -2)$ and passes through $A(0; 1)$.
Determine the expression of $g(x) = ax^3 + bx$ knowing that its curve has a local extremum at the point $B(2; -16)$.
Determine la expresión de una función polinomial de segundo grado $f(x) = ax^2+bx+c$ cuya curva tiene su vértice en $S(1; -2)$ y pasa por $A(0; 1)$.
Determine la expresión de $g(x) = ax^3 + bx$ sabiendo que su curva tiene un extremo local en el punto $B(2; -16)$.
Corrigé :Solution:Solución:
La forme canonique est $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$. Avec $S(1;-2)$, on a $\alpha=1, \beta=-2 \Rightarrow f(x) = a(x-1)^2 - 2$. Le point $A(0;1)$ donne $f(0) = a(-1)^2 - 2 = 1 \Rightarrow a - 2 = 1 \Rightarrow a = 3$. L'expression est donc $f(x) = 3(x-1)^2 - 2 = 3x^2 - 6x + 1$.
$g'(x) = 3ax^2 + b$. Au point $B(2; -16)$, $g'$ s'annule : $g'(2) = 12a + b = 0 \Rightarrow b = -12a$. De plus, $g(2) = -16 \Rightarrow a(2)^3 + b(2) = -16 \Rightarrow 8a + 2b = -16 \Rightarrow 4a + b = -8$. En remplaçant $b$ : $4a - 12a = -8 \Rightarrow -8a = -8 \Rightarrow a = 1$. Donc $b = -12$. L'expression est $g(x) = x^3 - 12x$.
Using the vertex form $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ with $S(1;-2)$, we get $f(x) = a(x-1)^2 - 2$. Passing through $A(0;1)$ yields $f(0) = a(-1)^2 - 2 = 1 \Rightarrow a = 3$. Thus, $f(x) = 3(x-1)^2 - 2 = 3x^2 - 6x + 1$.
$g'(x) = 3ax^2 + b$. At $B(2; -16)$, $g'(2) = 12a + b = 0 \Rightarrow b = -12a$. Also, $g(2) = 8a + 2b = -16 \Rightarrow 4a + b = -8$. Substituting $b$: $4a - 12a = -8 \Rightarrow -8a = -8 \Rightarrow a = 1$. Then $b = -12$. The expression is $g(x) = x^3 - 12x$.
Usando la forma canónica $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ con $S(1;-2)$, obtenemos $f(x) = a(x-1)^2 - 2$. Pasar por $A(0;1)$ da $f(0) = a(-1)^2 - 2 = 1 \Rightarrow a = 3$. Así, $f(x) = 3(x-1)^2 - 2 = 3x^2 - 6x + 1$.
$g'(x) = 3ax^2 + b$. En $B(2; -16)$, $g'(2) = 12a + b = 0 \Rightarrow b = -12a$. Además, $g(2) = 8a + 2b = -16 \Rightarrow 4a + b = -8$. Sustituyendo $b$: $4a - 12a = -8 \Rightarrow -8a = -8 \Rightarrow a = 1$. Luego $b = -12$. La expresión es $g(x) = x^3 - 12x$.
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