ÉTUDE DES VARIATIONS D'UNE FONCTION
I - Sens de variation d'une fonction : rappel
$\mathcal{C}_f$ monte signifie que la fonction $f$ est croissante.
Soit $(x_1, f(x_1))$ et $(x_2, f(x_2))$ deux points de $\mathcal{C}_f$, on observe que si $x_1 \leq x_2$ alors $f(x_1) \leq f(x_2)$.
$\mathcal{C}_g$ descend signifie que la fonction $g$ est décroissante.
Soit $(x_1, g(x_1))$ et $(x_2, g(x_2))$ deux points de $\mathcal{C}_g$, on observe que si $x_1 \leq x_2$ alors $g(x_1) \geq g(x_2)$.
Définition 1 :
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I.
-
On dit que la fonction $f$ est croissante sur I, lorsque pour tous réels $x_1$ et $x_2$ de I,
si $x_1 \leq x_2$ alors $f(x_1) \leq f(x_2)$ -
On dit que la fonction $f$ est décroissante sur I, lorsque pour tous réels $x_1$ et $x_2$ de I,
si $x_1 \leq x_2$ alors $f(x_1) \geq f(x_2)$
Remarque :
Le sens de variation d'une fonction s'étudie localement c'est à dire que $x_1$ et $x_2$ sont très proches. Il faut donc que la fonction $f$ soit définie sur $[x_1 ; x_2]$. C'est pour cela que dans la définition, on impose à la fonction $f$ d'être définie sur un intervalle I contenant $x_1$ et $x_2$.
II - Signe de la dérivée et sens de variation
Propriété 1 : Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I.
- Si $f$ est croissante sur I alors $\forall x \in \text{I},\ f'(x) \geq 0$.
- Si $f$ est décroissante sur I alors $\forall x \in \text{I},\ f'(x) \leq 0$.
- Si $f$ est constante sur I alors $\forall x \in \text{I},\ f'(x) = 0$.
Démonstration : (première proposition)
$f$ est dérivable sur un intervalle I ;
Si $a \in \text{I}$ et $h \neq 0$ tels que $a+h \in \text{I}$ alors $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
-
Si $h > 0$ alors $a+h > a$ or $f$ est croissante donc $f(a+h) \geq f(a)$
donc $f(a+h) - f(a) \geq 0$ donc $\frac{f(a+h) - f(a)}{h} \geq 0$ donc $f'(a) \geq 0$. -
Si $h < 0$ alors $a+h < a$ or $f$ est croissante donc $f(a+h) \leq f(a)$
donc $f(a+h) - f(a) \leq 0$ donc $\frac{f(a+h) - f(a)}{h} \geq 0$ donc $f'(a) \geq 0$.
Donc $\forall a \in \text{I},\ f'(a) \geq 0$.
Propriété 2 : Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I.
- Si $\forall x \in \text{I},\ f'(x) \geq 0$ alors $f$ est croissante sur I.
- Si $\forall x \in \text{I},\ f'(x) \leq 0$ alors $f$ est décroissante sur I.
- Si $\forall x \in \text{I},\ f'(x) = 0$ alors $f$ est constante sur I.
Exemple: étude du sens de variation d'une fonction
On considère la fonction $f : x \mapsto x^3 + 2x^2 - 4x + 8$ dérivable sur $\mathbb{R}$.
$\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x) = 3x^2 + 2 \times 2x - 4 \times 1 + 0 = 3x^2 + 4x - 4$ d'où $f'(x) = 0 \iff 3x^2 + 4x - 4 = 0$
$\Delta = 4^2 - 4 \times 3 \times (-4) = 64 = 8^2$ d'où $x_1 = \frac{-4 - 8}{2 \times 3} = -2$ et $x_2 = \frac{-4 + 8}{2 \times 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$f'(x)$ est du signe de $a = 3$ à l'extérieur de ses racines donc
$f'(x) < 0 \text{ si } x \in \left]-2 ; \frac{2}{3}\right[$
donc $f$ est croissante sur $\left]-\infty ; -2\right[ \cup \left]\frac{2}{3} ; +\infty\right[$ et $f$ est décroissante sur $\left]-2 ; \frac{2}{3}\right[$.
Tableau de variation :
| $x$ |
$-\infty$
$-2$
$\frac{2}{3}$
$+\infty$
|
|---|---|
| $f'(x)$ |
$+$
$0$
$-$
$0$
$+$
|
| $f(x)$ |
16
$\frac{176}{27}$
|
Définition 2 :
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I et $a$ un réel appartenant à I.
- On dit que $f(a)$ est le maximum de la fonction $f$ sur I, lorsque : $\forall x \in \text{I},\ f(x) \leq f(a)$.
- On dit que $f(a)$ est le minimum de la fonction $f$ sur I, lorsque : $\forall x \in \text{I},\ f(x) \geq f(a)$.
Exemple: de recherche d'extremum
On reprend l'exemple précédent avec $f : x \mapsto x^3 + 2x^2 - 4x + 8$ définie sur $[-5 ; 5]$.
Tableau de variation :
| $x$ |
$-5$
$-2$
$\frac{2}{3}$
$5$
|
|---|---|
| $f'(x)$ |
$+$
$0$
$-$
$0$
$+$
|
| $f(x)$ |
16
163
-47
$\frac{176}{27}$
|
Le minimum de $f$ sur $[-5 ; 5]$ est $-47$ atteint en $-5$ et le maximum de $f$ sur $[-5 ; 5]$ est $163$ atteint en $5$.
Propriété 3 :
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et $a$ un réel appartenant à I.
$f'$ s'annule en changeant de signe en $a$ si et seulement si $f$ admet un extremum local en $a$.
STUDY OF FUNCTION VARIATIONS
I - Direction of variation of a function: reminder
$\mathcal{C}_f$ riifng means that the function $f$ is increaifng.
Let $(x_1, f(x_1))$ and $(x_2, f(x_2))$ be two points on $\mathcal{C}_f$, we observe that if $x_1 \leq x_2$ then $f(x_1) \leq f(x_2)$.
$\mathcal{C}_g$ falling means that the function $g$ is decreaifng.
Let $(x_1, g(x_1))$ and $(x_2, g(x_2))$ be two points on $\mathcal{C}_g$, we observe that if $x_1 \leq x_2$ then $g(x_1) \geq g(x_2)$.
Definition 1:
Let $f$ be a function defined on an interval I.
-
The function $f$ is said to be increaifng on I, when for all real numbers $x_1$ and $x_2$ in I,
if $x_1 \leq x_2$ then $f(x_1) \leq f(x_2)$ -
The function $f$ is said to be decreaifng on I, when for all real numbers $x_1$ and $x_2$ in I,
if $x_1 \leq x_2$ then $f(x_1) \geq f(x_2)$
Remark:
The direction of variation of a function is studied locally, meaning $x_1$ and $x_2$ are very close. Therefore, the function $f$ must be defined on $[x_1 ; x_2]$. This is why in the definition, we require the function $f$ to be defined on an interval I containing $x_1$ and $x_2$.
II - Sign of the derivative and direction of variation
Property 1: Let $f$ be a differentiable function on an interval I.
- If $f$ is increaifng on I then $\forall x \in \text{I},\ f'(x) \geq 0$.
- If $f$ is decreaifng on I then $\forall x \in \text{I},\ f'(x) \leq 0$.
- If $f$ is constant on I then $\forall x \in \text{I},\ f'(x) = 0$.
Proof: (first propoiftion)
$f$ is differentiable on an interval I;
If $a \in \text{I}$ and $h \neq 0$ such that $a+h \in \text{I}$ then $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
-
If $h > 0$ then $a+h > a$, but $f$ is increaifng so $f(a+h) \geq f(a)$
thus $f(a+h) - f(a) \geq 0$ thus $\frac{f(a+h) - f(a)}{h} \geq 0$ thus $f'(a) \geq 0$. -
If $h < 0$ then $a+h < a$, but $f$ is increaifng so $f(a+h) \leq f(a)$
thus $f(a+h) - f(a) \leq 0$ thus $\frac{f(a+h) - f(a)}{h} \geq 0$ thus $f'(a) \geq 0$.
Therefore $\forall a \in \text{I},\ f'(a) \geq 0$.
Property 2: Let $f$ be a differentiable function on an interval I.
- If $\forall x \in \text{I},\ f'(x) \geq 0$ then $f$ is increaifng on I.
- If $\forall x \in \text{I},\ f'(x) \leq 0$ then $f$ is decreaifng on I.
- If $\forall x \in \text{I},\ f'(x) = 0$ then $f$ is constant on I.
Example: study of the direction of variation of a function
Conifder the function $f : x \mapsto x^3 + 2x^2 - 4x + 8$ differentiable on $\mathbb{R}$.
$\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x) = 3x^2 + 2 \times 2x - 4 \times 1 + 0 = 3x^2 + 4x - 4$ hence $f'(x) = 0 \iff 3x^2 + 4x - 4 = 0$
$\Delta = 4^2 - 4 \times 3 \times (-4) = 64 = 8^2$ hence $x_1 = \frac{-4 - 8}{2 \times 3} = -2$ et $x_2 = \frac{-4 + 8}{2 \times 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$f'(x)$ has the ifgn of $a = 3$ outifde its roots, so
$f'(x) < 0 \text{ if } x \in \left]-2 ; \frac{2}{3}\right[$
therefore $f$ is increasing on $\left]-\infty ; -2\right[ \cup \left]\frac{2}{3} ; +\infty\right[$ and $f$ is decreasing on $\left]-2 ; \frac{2}{3}\right[$.
Variation table:
| $x$ |
$-\infty$
$-2$
$\frac{2}{3}$
$+\infty$
|
|---|---|
| $f'(x)$ |
$+$
$0$
$-$
$0$
$+$
|
| $f(x)$ |
16
$\frac{176}{27}$
|
Definition 2:
Let $f$ be a function defined on an interval I and $a$ a real number belonging to I.
- $f(a)$ is said to be the maximum of the function $f$ on I, when: $\forall x \in \text{I},\ f(x) \leq f(a)$.
- $f(a)$ is said to be the minimum of the function $f$ on I, when: $\forall x \in \text{I},\ f(x) \geq f(a)$.
Example: finding extremums
We take the previous example with $f : x \mapsto x^3 + 2x^2 - 4x + 8$ defined on $[-5 ; 5]$.
Variation table:
| $x$ |
$-5$
$-2$
$\frac{2}{3}$
$5$
|
|---|---|
| $f'(x)$ |
$+$
$0$
$-$
$0$
$+$
|
| $f(x)$ |
16
163
-47
$\frac{176}{27}$
|
The minimum of $f$ on $[-5 ; 5]$ is $-47$ reached at $-5$ and the maximum of $f$ on $[-5 ; 5]$ is $163$ reached at $5$.
Property 3:
Let $f$ be a differentiable function on an open interval I and $a$ a real number belonging to I.
$f'$ s'annule en changeant de ifgne en $a$ if et seulement if $f$ admet un extremum local en $a$.
ESTUDIO DE LAS VARIACIONES DE UNA FUNCIÓN
I - Sentido de variación de una función: recordatorio
Que $\mathcal{C}_f$ suba significa que la función $f$ es creciente.
Sean $(x_1, f(x_1))$ y $(x_2, f(x_2))$ dos puntos de $\mathcal{C}_f$, observamos que si $x_1 \leq x_2$ entonces $f(x_1) \leq f(x_2)$.
Que $\mathcal{C}_g$ baje significa que la función $g$ es decreciente.
Sean $(x_1, g(x_1))$ y $(x_2, g(x_2))$ dos puntos de $\mathcal{C}_g$, observamos que si $x_1 \leq x_2$ entonces $g(x_1) \geq g(x_2)$.
Definición 1:
Sea $f$ una función definida en un intervalo I.
-
Se dice que la función $f$ es creciente en I, cuando para todos los números reales $x_1$ y $x_2$ de I,
si $x_1 \leq x_2$ entonces $f(x_1) \leq f(x_2)$ -
Se dice que la función $f$ es decreciente en I, cuando para todos los números reales $x_1$ y $x_2$ de I,
si $x_1 \leq x_2$ entonces $f(x_1) \geq f(x_2)$
Observación:
El sentido de variación de una función se estudia localmente, es decir que $x_1$ y $x_2$ están muy próximos. Por tanto, es necesario que la función $f$ esté definida en $[x_1 ; x_2]$. Es por esto que en la definición, imponemos a la función $f$ estar definida en un intervalo I que contenga $x_1$ y $x_2$.
II - Signo de la derivada y sentido de variación
Propiedad 1: Sea $f$ una función derivable en un intervalo I.
- Si $f$ es creciente en I entonces $\forall x \in \text{I},\ f'(x) \geq 0$.
- Si $f$ es decreciente en I entonces $\forall x \in \text{I},\ f'(x) \leq 0$.
- Si $f$ es constante en I entonces $\forall x \in \text{I},\ f'(x) = 0$.
Demostración: (primera proposición)
$f$ es derivable en un intervalo I;
Si $a \in \text{I}$ y $h \neq 0$ tales que $a+h \in \text{I}$ entonces $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
-
Si $h > 0$ entonces $a+h > a$, pero $f$ es creciente así que $f(a+h) \geq f(a)$
así que $f(a+h) - f(a) \geq 0$ así que $\frac{f(a+h) - f(a)}{h} \geq 0$ así que $f'(a) \geq 0$. -
Si $h < 0$ entonces $a+h < a$, pero $f$ es creciente así que $f(a+h) \leq f(a)$
así que $f(a+h) - f(a) \leq 0$ así que $\frac{f(a+h) - f(a)}{h} \geq 0$ así que $f'(a) \geq 0$.
Por lo tanto $\forall a \in \text{I},\ f'(a) \geq 0$.
Propiedad 2: Sea $f$ una función derivable en un intervalo I.
- Si $\forall x \in \text{I},\ f'(x) \geq 0$ entonces $f$ es creciente en I.
- Si $\forall x \in \text{I},\ f'(x) \leq 0$ entonces $f$ es decreciente en I.
- Si $\forall x \in \text{I},\ f'(x) = 0$ entonces $f$ es constante en I.
Ejemplo: estudio del sentido de variación de una función
Consideremos la función $f : x \mapsto x^3 + 2x^2 - 4x + 8$ derivable en $\mathbb{R}$.
$\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x) = 3x^2 + 2 \times 2x - 4 \times 1 + 0 = 3x^2 + 4x - 4$ de donde $f'(x) = 0 \iff 3x^2 + 4x - 4 = 0$
$\Delta = 4^2 - 4 \times 3 \times (-4) = 64 = 8^2$ de donde $x_1 = \frac{-4 - 8}{2 \times 3} = -2$ et $x_2 = \frac{-4 + 8}{2 \times 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$f'(x)$ tiene el signo de $a = 3$ fuera de sus raíces, así que
$f'(x) < 0 \text{ si } x \in \left]-2 ; \frac{2}{3}\right[$
por lo tanto $f$ es creciente en $\left]-\infty ; -2\right[ \cup \left]\frac{2}{3} ; +\infty\right[$ y $f$ es decreciente en $\left]-2 ; \frac{2}{3}\right[$.
Tabla de variación:
| $x$ |
$-\infty$
$-2$
$\frac{2}{3}$
$+\infty$
|
|---|---|
| $f'(x)$ |
$+$
$0$
$-$
$0$
$+$
|
| $f(x)$ |
16
$\frac{176}{27}$
|
Definición 2:
Sea $f$ una función definida en un intervalo I y $a$ un número real perteneciente a I.
- Se dice que $f(a)$ es el máximo de la función $f$ en I, cuando: $\forall x \in \text{I},\ f(x) \leq f(a)$.
- Se dice que $f(a)$ es el mínimo de la función $f$ en I, cuando: $\forall x \in \text{I},\ f(x) \geq f(a)$.
Ejemplo: búsqueda de extremos
Tomamos el ejemplo anterior con $f : x \mapsto x^3 + 2x^2 - 4x + 8$ definida en $[-5 ; 5]$.
Tabla de variación:
| $x$ |
$-5$
$-2$
$\frac{2}{3}$
$5$
|
|---|---|
| $f'(x)$ |
$+$
$0$
$-$
$0$
$+$
|
| $f(x)$ |
16
163
-47
$\frac{176}{27}$
|
El mínimo de $f$ en $[-5 ; 5]$ es $-47$ alcanzado en $-5$ y el máximo de $f$ en $[-5 ; 5]$ es $163$ alcanzado en $5$.
Propiedad 3:
Sea $f$ una función derivable en un intervalo abierto I y $a$ un número real perteneciente a I.
$f'$ se anula y cambia de signo en $a$ si y solo si $f$ admite un extremo local en $a$.