À l'aide du tableau des dérivées usuelles, donner la fonction dérivée $f'$ de chacune des fonctions suivantes, en précisant l'ensemble sur lequel $f$ est dérivable.
$f(x) = x^7$
$f(x) = -12$
$f(x) = \dfrac{1}{x}$
$f(x) = \sqrt{x}$
$f(x) = x^8$
Using the table of standard derivatives, give the derivative function $f'$ for each of the following functions, specifying the set on which $f$ is differentiable.
$f(x) = x^7$
$f(x) = -12$
$f(x) = \dfrac{1}{x}$
$f(x) = \sqrt{x}$
$f(x) = x^8$
Usando la tabla de derivadas habituales, da la función derivada $f'$ de cada una de las siguientes funciones, especificando el conjunto sobre el cual $f$ es derivable.
$f(x) = x^7$
$f(x) = -12$
$f(x) = \dfrac{1}{x}$
$f(x) = \sqrt{x}$
$f(x) = x^8$
Corrigé :Solution:Solución:
La formule est $(x^n)' = nx^{n-1}$. Ici $n=7$, donc $f'(x) = 7x^6$. La fonction est dérivable sur $\mathbb{R}$.
La dérivée d'une constante est $0$. Donc $f'(x) = 0$. La fonction est dérivable sur $\mathbb{R}$.
La dérivée de la fonction inverse est connue du cours. $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$. La fonction est dérivable sur $]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[$.
La dérivée de la fonction racine carrée est connue du cours. $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. La fonction est dérivable sur $]0; +\infty[$.
La formule est $(x^n)' = nx^{n-1}$. Ici $n=8$, donc $f'(x) = 8x^7$. La fonction est dérivable sur $\mathbb{R}$.
The formula is $(x^n)' = nx^{n-1}$. Here $n=7$, so $f'(x) = 7x^6$. The function is differentiable on $\mathbb{R}$.
The derivative of a constant is $0$. So $f'(x) = 0$. The function is differentiable on $\mathbb{R}$.
The derivative of the reciprocal function is a standard result. $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$. The function is differentiable on $]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[$.
The derivative of the square root function is a standard result. $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. The function is differentiable on $]0; +\infty[$.
The formula is $(x^n)' = nx^{n-1}$. Here $n=8$, so $f'(x) = 8x^7$. The function is differentiable on $\mathbb{R}$.
La fórmula es $(x^n)' = nx^{n-1}$. Aquí $n=7$, por lo tanto $f'(x) = 7x^6$. La función es derivable en $\mathbb{R}$.
La derivada de una constante es $0$. Por lo tanto $f'(x) = 0$. La función es derivable en $\mathbb{R}$.
La derivada de la función inversa es un resultado estándar. $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$. La función es derivable en $]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[$.
La derivada de la función raíz cuadrada es un resultado estándar. $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. La función es derivable en $]0; +\infty[$.
La fórmula es $(x^n)' = nx^{n-1}$. Aquí $n=8$, por lo tanto $f'(x) = 8x^7$. La función es derivable en $\mathbb{R}$.
Exercice 2 : Somme et produit par un réelExercise 2: Sum and scalar multipleEjercicio 2: Suma y producto por un real
En utilisant les formules de dérivée d'une somme et d'un produit par un réel, calculer $f'(x)$ pour chacune des fonctions suivantes, dérivables sur $\mathbb{R}$ (ou sur l'ensemble précisé).
$f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 7x - 9$
$f(x) = -2x^4 + 5x^2 - 3x$
$f(x) = 3x^2 - \dfrac{5}{x}$, sur $]0; +\infty[$
$f(x) = 4\sqrt{x} - 3x + 2$, sur $]0; +\infty[$
$f(x) = x^4 + \dfrac{2}{x}$, sur $]0; +\infty[$
Using the sum and scalar multiple derivative formulas, calculate $f'(x)$ for each of the following functions, differentiable on $\mathbb{R}$ (or on the specified set).
$f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 7x - 9$
$f(x) = -2x^4 + 5x^2 - 3x$
$f(x) = 3x^2 - \dfrac{5}{x}$, on $]0; +\infty[$
$f(x) = 4\sqrt{x} - 3x + 2$, on $]0; +\infty[$
$f(x) = x^4 + \dfrac{2}{x}$, on $]0; +\infty[$
Usando las fórmulas de la derivada de una suma y de un producto por un número real, calcula $f'(x)$ para cada una de las siguientes funciones, derivables en $\mathbb{R}$ (o en el conjunto especificado).
$f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 7x - 9$
$f(x) = -2x^4 + 5x^2 - 3x$
$f(x) = 3x^2 - \dfrac{5}{x}$, en $]0; +\infty[$
$f(x) = 4\sqrt{x} - 3x + 2$, en $]0; +\infty[$
$f(x) = x^4 + \dfrac{2}{x}$, en $]0; +\infty[$
Corrigé :Solution:Solución:
La formule est $(u+v)' = u'+v'$ et $(ku)'=ku'$. On dérive terme à terme : $f'(x) = 12x^2 - 4x + 7$.
On dérive terme à terme : $f'(x) = -8x^3 + 10x - 3$.
On a $(1/x)' = -1/x^2$. Donc $(-5/x)' = 5/x^2$. $f'(x) = 6x + \dfrac{5}{x^2}$.
On a $(\sqrt{x})' = 1/(2\sqrt{x})$. Donc $(4\sqrt{x})' = 4/(2\sqrt{x}) = 2/\sqrt{x}$. $f'(x) = \dfrac{2}{\sqrt{x}} - 3$.
On dérive terme à terme : $f'(x) = 4x^3 - \dfrac{2}{x^2}$.
The formula is $(u+v)' = u'+v'$ and $(ku)'=ku'$. We differentiate term by term: $f'(x) = 12x^2 - 4x + 7$.
We differentiate term by term: $f'(x) = -8x^3 + 10x - 3$.
We have $(1/x)' = -1/x^2$. So $(-5/x)' = 5/x^2$. $f'(x) = 6x + \dfrac{5}{x^2}$.
We have $(\sqrt{x})' = 1/(2\sqrt{x})$. So $(4\sqrt{x})' = 4/(2\sqrt{x}) = 2/\sqrt{x}$. $f'(x) = \dfrac{2}{\sqrt{x}} - 3$.
We differentiate term by term: $f'(x) = 4x^3 - \dfrac{2}{x^2}$.
La fórmula es $(u+v)' = u'+v'$ y $(ku)'=ku'$. Derivamos término a término: $f'(x) = 12x^2 - 4x + 7$.