FONCTION DÉRIVÉE
I - Définition de la fonction dérivée
Définition 1 :
Si une fonction $f$ est dérivable en tout point d'un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ alors on dit que $f$ est dérivable sur $I$.
On appelle fonction dérivée de $f$ sur $I$, la fonction $f' : x \mapsto f'(x)$ définie sur $I$.
Dérivée de la fonction carré
Soit la fonction $f : x \mapsto x^2$ définie sur $\mathbb{R}$ et $a$ un réel fixé.
Pour tout $h \neq 0$, $T(h) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = \dfrac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \dfrac{(a+h-a)(a+h+a)}{h} = \dfrac{h(2a+h)}{h} = 2a+h$
Donc si $h$ tend vers $0$ alors $2a+h$ tend vers $2a$ d'où $f'(a) = 2a$.
La fonction $f : x \mapsto x^2$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Sa fonction dérivée est définie sur $\mathbb{R}$ par $f' : x \mapsto 2x$.
Dérivée de la fonction inverse
Soit la fonction $f : x \mapsto \dfrac{1}{x}$ définie sur $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$ et $a$ un réel non nul fixé tel que $a+h \neq 0$.
$T(h) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = \dfrac{\dfrac{1}{a+h} - \dfrac{1}{a}}{h} = \dfrac{\dfrac{a - (a+h)}{a(a+h)}}{h} = \dfrac{-h}{a(a+h)h} = \dfrac{-1}{a(a+h)}$
Donc si $h$ tend vers $0$ alors $\dfrac{-1}{a(a+h)}$ tend vers $-\dfrac{1}{a^2}$. Donc $f'(a) = -\dfrac{1}{a^2}$.
La fonction $f : x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est dérivable sur $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$ telle que $f' : x \mapsto -\dfrac{1}{x^2}$.
Dérivée de la fonction racine carrée
Soit la fonction $f : x \mapsto \sqrt{x}$ définie sur $[0 ; +\infty[$, $a$ un réel positif fixé et $h$ un réel non nul tel que $a+h > 0$.
Donc si $h$ tend vers $0$ alors $\dfrac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt{a}}$ tend vers $\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$.
Donc $f'(a) = \dfrac{1}{2\sqrt{a}}$ et $f'(a)$ n'existe que si $a > 0$. Donc la fonction $f : x \mapsto \sqrt{x}$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$.
Sa fonction dérivée est définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f' : x \mapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
| Fonction | Dérivée | Dérivable sur $I$ |
|---|---|---|
| $x \mapsto k$, $k \in \mathbb{R}$ | $x \mapsto 0$ | $I = \mathbb{R}$ |
| $x \mapsto x^n$, $n \in \mathbb{N}$, $n \geq 1$ | $x \mapsto nx^{n-1}$ | $I = \mathbb{R}$ |
| $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ | $x \mapsto -\dfrac{1}{x^2}$ | $I = ]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$ |
| $x \mapsto \sqrt{x}$ | $x \mapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | $I = ]0 ; +\infty[$ |
II - Formules de dérivées
Dérivée d'une somme
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. On pose : $f = u+v$ et $a$ est un réel fixé de $I$.
Or $u$ est dérivable sur $I$ donc $\dfrac{u(a+h) - u(a)}{h}$ tend vers $u'(a)$ quand $h$ tend vers $0$,
$v$ est dérivable sur $I$ donc $\dfrac{v(a+h) - v(a)}{h}$ tend vers $v'(a)$ quand $h$ tend vers $0$.
Donc $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ tend vers $u'(a) + v'(a)$ quand $h$ tend vers $0$.
Donc $f$ est dérivable en $a$ telle que $f'(a) = u'(a) + v'(a)$.
Dérivée d'un produit
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. On pose : $f = u \times v$ et $a$ est un réel fixé de $I$.
Or $u$ est dérivable sur $I$ donc $\dfrac{u(a+h) - u(a)}{h}$ tend vers $u'(a)$ quand $h$ tend vers $0$,
$v$ est dérivable sur $I$ donc $\dfrac{v(a+h) - v(a)}{h}$ tend vers $v'(a)$ quand $h$ tend vers $0$ et $v(a+h)$ tend vers $v(a)$ quand $h$ tend vers $0$.
Donc $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ tend vers $u'(a) \times v(a) + v'(a) \times u(a)$ quand $h$ tend vers $0$.
Donc $f$ est dérivable en $a$ telle que $f'(a) = u'(a) \times v(a) + v'(a) \times u(a)$.
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| $u+v$ | $u' + v'$ |
| $k \times u$, $k \in \mathbb{R}$ | $k \times u'$ |
| $u \times v$ | $u' \times v + u \times v'$ |
| $\dfrac{1}{u}$ | $-\dfrac{u'}{u^2}$ |
| $\dfrac{u}{v}$ | $\dfrac{u' \times v - u \times v'}{v^2}$ |
| $u(ax+b)$ | $a \times u'(ax+b)$ |
Exemples: calcul d'une dérivée
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On considère la fonction $f : x \mapsto x^3 - 3x^2 + 3x + 1$ dérivable sur $\mathbb{R}$.
Les formules de dérivation relative à $u+v$ et $k \times u$, $k \in \mathbb{R}$, permettent de dériver « par morceaux ».
$f(x) = x^3 - 3 \times x^2 + 3 \times x^1 + 1$ donc $f'(x) = 3x^2 - 3 \times 2x^1 + 3 \times 1 + 0 = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x-1)^2$
-
On considère la fonction $f : x \mapsto \dfrac{x+3}{2x-4}$ dérivable sur $]-\infty ; 2[ \cup ]2 ; +\infty[$.
On pose $u(x) = x+3$ et $v(x) = 2x-4$ d'où $u'(x) = 1$ et $v'(x) = 2$
Avec la formule de la dérivée du quotient, on obtient :
$f'(x) = \dfrac{u'(x) \times v(x) - u(x) \times v'(x)}{[v(x)]^2} = \dfrac{1 \times (2x-4) - (x+3) \times 2}{(2x-4)^2} = \dfrac{2x - 4 - 2x - 6}{(2x-4)^2} = \dfrac{-10}{(2x-4)^2}$
DERIVATIVE FUNCTION
I - Definition of the derivative function
Definition 1:
If a function $f$ is differentiable at every point of an interval $I$ of $\mathbb{R}$, then $f$ is said to be differentiable on $I$.
The derivative function of $f$ on $I$ is the function $f' : x \mapsto f'(x)$ defined on $I$.
Derivative of the square function
Let the function $f : x \mapsto x^2$ be defined on $\mathbb{R}$ and $a$ be a fixed real number.
For any $h \neq 0$, $T(h) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = \dfrac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \dfrac{(a+h-a)(a+h+a)}{h} = \dfrac{h(2a+h)}{h} = 2a+h$
So if $h$ tends to $0$, then $2a+h$ tends to $2a$, hence $f'(a) = 2a$.
The function $f : x \mapsto x^2$ is differentiable on $\mathbb{R}$. Its derivative function is defined on $\mathbb{R}$ by $f' : x \mapsto 2x$.
Derivative of the inverse function
Let the function $f : x \mapsto \dfrac{1}{x}$ be defined on $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$ and $a$ be a fixed non-zero real number such that $a+h \neq 0$.
$T(h) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = \dfrac{\dfrac{1}{a+h} - \dfrac{1}{a}}{h} = \dfrac{\dfrac{a - (a+h)}{a(a+h)}}{h} = \dfrac{-h}{a(a+h)h} = \dfrac{-1}{a(a+h)}$
So if $h$ tends to $0$, then $\dfrac{-1}{a(a+h)}$ tends to $-\dfrac{1}{a^2}$. Thus $f'(a) = -\dfrac{1}{a^2}$.
The function $f : x \mapsto \dfrac{1}{x}$ is differentiable on $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$ with $f' : x \mapsto -\dfrac{1}{x^2}$.
Derivative of the square root function
Let the function $f : x \mapsto \sqrt{x}$ be defined on $[0 ; +\infty[$, $a$ be a fixed positive real number and $h$ a non-zero real number such that $a+h > 0$.
So if $h$ tends to $0$, then $\dfrac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt{a}}$ tends to $\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$.
Thus $f'(a) = \dfrac{1}{2\sqrt{a}}$ and $f'(a)$ exists only if $a > 0$. Therefore, the function $f : x \mapsto \sqrt{x}$ is differentiable on $]0 ; +\infty[$.
Its derivative function is defined on $]0 ; +\infty[$ by $f' : x \mapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
| Function | Derivative | Differentiable on $I$ |
|---|---|---|
| $x \mapsto k$, $k \in \mathbb{R}$ | $x \mapsto 0$ | $I = \mathbb{R}$ |
| $x \mapsto x^n$, $n \in \mathbb{N}$, $n \geq 1$ | $x \mapsto nx^{n-1}$ | $I = \mathbb{R}$ |
| $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ | $x \mapsto -\dfrac{1}{x^2}$ | $I = ]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$ |
| $x \mapsto \sqrt{x}$ | $x \mapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | $I = ]0 ; +\infty[$ |
II - Differentiation rules
Derivative d'une somme
Let $u$ and $v$ be two differentiable functions on an interval $I$ of $\mathbb{R}$. Let $f = u+v$ and $a$ be a fixed real number in $I$.
But $u$ is differentiable on $I$, so $\dfrac{u(a+h) - u(a)}{h}$ tends to $u'(a)$ as $h$ tends to $0$,
$v$ is differentiable on $I$, so $\dfrac{v(a+h) - v(a)}{h}$ tends to $v'(a)$ as $h$ tends to $0$.
Therefore, $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ tends to $u'(a) + v'(a)$ as $h$ tends to $0$.
Thus $f$ is differentiable at $a$ with $f'(a) = u'(a) + v'(a)$.
Derivative d'un produit
Let $u$ and $v$ be two differentiable functions on an interval $I$ of $\mathbb{R}$. Let $f = u \times v$ and $a$ be a fixed real number in $I$.
But $u$ is differentiable on $I$, so $\dfrac{u(a+h) - u(a)}{h}$ tends to $u'(a)$ as $h$ tends to $0$,
$v$ est dérivable sur $I$ so $\dfrac{v(a+h) - v(a)}{h}$ tend vers $v'(a)$ quand $h$ tend vers $0$ and $v(a+h)$ tends to $v(a)$ as $h$ tends to $0$.
Therefore, $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ tends to $u'(a) \times v(a) + v'(a) \times u(a)$ as $h$ tends to $0$.
Thus $f$ is differentiable at $a$ with $f'(a) = u'(a) \times v(a) + v'(a) \times u(a)$.
Let $u$ and $v$ be two differentiable functions on an interval $I$ of $\mathbb{R}$.
| Function | Derivative |
|---|---|
| $u+v$ | $u' + v'$ |
| $k \times u$, $k \in \mathbb{R}$ | $k \times u'$ |
| $u \times v$ | $u' \times v + u \times v'$ |
| $\dfrac{1}{u}$ | $-\dfrac{u'}{u^2}$ |
| $\dfrac{u}{v}$ | $\dfrac{u' \times v - u \times v'}{v^2}$ |
| $u(ax+b)$ | $a \times u'(ax+b)$ |
Examples: calculating a derivative
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Consider the function $f : x \mapsto x^3 - 3x^2 + 3x + 1$ differentiable on $\mathbb{R}$.
The differentiation rules for $u+v$ and $k \times u$, $k \in \mathbb{R}$, allow differentiating "piece by piece".
$f(x) = x^3 - 3 \times x^2 + 3 \times x^1 + 1$ so $f'(x) = 3x^2 - 3 \times 2x^1 + 3 \times 1 + 0 = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x-1)^2$
-
Consider the function $f : x \mapsto \dfrac{x+3}{2x-4}$ differentiable on $]-\infty ; 2[ \cup ]2 ; +\infty[$.
Let $u(x) = x+3$ and $v(x) = 2x-4$, hence $u'(x) = 1$ and $v'(x) = 2$.
Using the quotient rule, we obtain:
$f'(x) = \dfrac{u'(x) \times v(x) - u(x) \times v'(x)}{[v(x)]^2} = \dfrac{1 \times (2x-4) - (x+3) \times 2}{(2x-4)^2} = \dfrac{2x - 4 - 2x - 6}{(2x-4)^2} = \dfrac{-10}{(2x-4)^2}$
FUNCIÓN DERIVADA
I - Definición de la función derivada
Definición 1:
Si una función $f$ es derivable en cada punto de un intervalo $I$ de $\mathbb{R}$, entonces se dice que $f$ es derivable en $I$.
La función derivada de $f$ en $I$ es la función $f' : x \mapsto f'(x)$ definida en $I$.
Derivada de la función cuadrado
Sea la función $f : x \mapsto x^2$ definida en $\mathbb{R}$ y $a$ un número real fijo.
Para todo $h \neq 0$, $T(h) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = \dfrac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \dfrac{(a+h-a)(a+h+a)}{h} = \dfrac{h(2a+h)}{h} = 2a+h$
Así que si $h$ tiende a $0$, entonces $2a+h$ tiende a $2a$, de donde $f'(a) = 2a$.
La función $f : x \mapsto x^2$ es derivable en $\mathbb{R}$. Su función derivada se define en $\mathbb{R}$ por $f' : x \mapsto 2x$.
Derivada de la función inversa
Sea la función $f : x \mapsto \dfrac{1}{x}$ definida en $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$ y $a$ un número real no nulo fijo tal que $a+h \neq 0$.
$T(h) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = \dfrac{\dfrac{1}{a+h} - \dfrac{1}{a}}{h} = \dfrac{\dfrac{a - (a+h)}{a(a+h)}}{h} = \dfrac{-h}{a(a+h)h} = \dfrac{-1}{a(a+h)}$
Así que si $h$ tiende a $0$, entonces $\dfrac{-1}{a(a+h)}$ tiende a $-\dfrac{1}{a^2}$. Por lo tanto $f'(a) = -\dfrac{1}{a^2}$.
La función $f : x \mapsto \dfrac{1}{x}$ es derivable en $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$ con $f' : x \mapsto -\dfrac{1}{x^2}$.
Derivada de la función raíz cuadrada
Sea la función $f : x \mapsto \sqrt{x}$ definida en $[0 ; +\infty[$, $a$ un número real positivo fijo y $h$ un número real no nulo tal que $a+h > 0$.
Así que si $h$ tiende a $0$, entonces $\dfrac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt{a}}$ tiende a $\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$.
Por lo tanto $f'(a) = \dfrac{1}{2\sqrt{a}}$ y $f'(a)$ solo existe si $a > 0$. Por lo tanto, la función $f : x \mapsto \sqrt{x}$ es derivable en $]0 ; +\infty[$.
Su función derivada se define en $]0 ; +\infty[$ por $f' : x \mapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
| Función | Derivada | Derivable en $I$ |
|---|---|---|
| $x \mapsto k$, $k \in \mathbb{R}$ | $x \mapsto 0$ | $I = \mathbb{R}$ |
| $x \mapsto x^n$, $n \in \mathbb{N}$, $n \geq 1$ | $x \mapsto nx^{n-1}$ | $I = \mathbb{R}$ |
| $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ | $x \mapsto -\dfrac{1}{x^2}$ | $I = ]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$ |
| $x \mapsto \sqrt{x}$ | $x \mapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | $I = ]0 ; +\infty[$ |
II - Reglas de derivación
Derivada d'une somme
Sean $u$ y $v$ dos funciones derivables en un intervalo $I$ de $\mathbb{R}$. Sea $f = u+v$ y $a$ un número real fijo en $I$.
Pero $u$ es derivable en $I$, así que $\dfrac{u(a+h) - u(a)}{h}$ tiende a $u'(a)$ cuando $h$ tiende a $0$,
$v$ es derivable en $I$, así que $\dfrac{v(a+h) - v(a)}{h}$ tiende a $v'(a)$ cuando $h$ tiende a $0$.
Por lo tanto, $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ tiende a $u'(a) + v'(a)$ cuando $h$ tiende a $0$.
Por lo tanto $f$ es derivable en $a$ con $f'(a) = u'(a) + v'(a)$.
Derivada d'un produit
Sean $u$ y $v$ dos funciones derivables en un intervalo $I$ de $\mathbb{R}$. Sea $f = u \times v$ y $a$ un número real fijo en $I$.
Pero $u$ es derivable en $I$, así que $\dfrac{u(a+h) - u(a)}{h}$ tiende a $u'(a)$ cuando $h$ tiende a $0$,
$v$ est dérivable sur $I$ así que $\dfrac{v(a+h) - v(a)}{h}$ tend vers $v'(a)$ quand $h$ tend vers $0$ y $v(a+h)$ tiende a $v(a)$ cuando $h$ tiende a $0$.
Por lo tanto, $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ tiende a $u'(a) \times v(a) + v'(a) \times u(a)$ cuando $h$ tiende a $0$.
Por lo tanto $f$ es derivable en $a$ con $f'(a) = u'(a) \times v(a) + v'(a) \times u(a)$.
Sean $u$ y $v$ dos funciones derivables en un intervalo $I$ de $\mathbb{R}$.
| Función | Derivada |
|---|---|
| $u+v$ | $u' + v'$ |
| $k \times u$, $k \in \mathbb{R}$ | $k \times u'$ |
| $u \times v$ | $u' \times v + u \times v'$ |
| $\dfrac{1}{u}$ | $-\dfrac{u'}{u^2}$ |
| $\dfrac{u}{v}$ | $\dfrac{u' \times v - u \times v'}{v^2}$ |
| $u(ax+b)$ | $a \times u'(ax+b)$ |
Ejemplos: cálculo de una derivada
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Consideremos la función $f : x \mapsto x^3 - 3x^2 + 3x + 1$ derivable en $\mathbb{R}$.
Las reglas de derivación para $u+v$ y $k \times u$, $k \in \mathbb{R}$, permiten derivar "por partes".
$f(x) = x^3 - 3 \times x^2 + 3 \times x^1 + 1$ así que $f'(x) = 3x^2 - 3 \times 2x^1 + 3 \times 1 + 0 = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x-1)^2$
-
Consideremos la función $f : x \mapsto \dfrac{x+3}{2x-4}$ derivable en $]-\infty ; 2[ \cup ]2 ; +\infty[$.
Sean $u(x) = x+3$ y $v(x) = 2x-4$, de donde $u'(x) = 1$ y $v'(x) = 2$.
Con la regla de la derivada del cociente, obtenemos:
$f'(x) = \dfrac{u'(x) \times v(x) - u(x) \times v'(x)}{[v(x)]^2} = \dfrac{1 \times (2x-4) - (x+3) \times 2}{(2x-4)^2} = \dfrac{2x - 4 - 2x - 6}{(2x-4)^2} = \dfrac{-10}{(2x-4)^2}$