LES SUITES ARITHMÉTIQUES
Exercice 1 : Étudier si une suite est arithmétique
Parmi les suites suivantes, reconnaître celles qui sont des suites arithmétiques. Pour les suites arithmétiques, préciser la raison.
1. $\begin{cases}u_{0}=-1\\ \forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=u_{n}+7\end{cases}$
2. Pour tout entier naturel $n$, $v_{n}=5-2n$
3. Pour tout entier naturel $n$, $w_{n}=n^2+1$
4. $z_{0}=3$ et, pour tout entier naturel $n$, $z_{n+1}=-z_{n}+3$
Corrigé :
1. Suite $(u_n)$ :
La suite est définie par la relation de récurrence $u_{n+1} = u_n + 7$. C'est la définition même d'une suite arithmétique de la forme $u_{n+1} = u_n + r$. $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = 7$ et de premier terme $u_0 = -1$.
2. Suite $(v_n)$ :
La suite est définie par $v_n = 5 - 2n$, soit $v_n = -2n + 5$. On reconnaît la forme explicite $v_n = r n + v_0$. Par identification, $r = -2$ et $v_0 = 5$. $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = -2$.
3. Suite $(w_n)$ :
On calcule les premiers termes. $w_0 = 0^2 + 1 = 1$ ; $w_1 = 1^2 + 1 = 2$ ; $w_2 = 2^2 + 1 = 5$.
$w_1 - w_0 = 1$. $w_2 - w_1 = 3$. La différence n'est pas constante. $(w_n)$ n'est pas une suite arithmétique.
4. Suite $(z_n)$ :
On calcule les premiers termes. $z_0 = 3$ ; $z_1 = -z_0 + 3 = 0$ ; $z_2 = -z_1 + 3 = 3$.
$z_1 - z_0 = -3$. $z_2 - z_1 = 3$. La différence n'est pas constante. $(z_n)$ n'est pas une suite arithmétique.
Exercice 2 : Étudier une suite arithmétique
Soit $u$ une suite arithmétique de premier terme $u_{0}=8$ et de raison $r = 2$.
1. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
2. Calculer $u_{20}$.
3. Quel est le sens de variation de cette suite ?
4. a) Résoudre dans $\mathbb{N}$ l'équation $u_{n}=50$.
b) Déterminer le rang $n$ à partir duquel $u_{n} > 100$.
5. a) Exprimer la somme $S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n$ en fonction de $n$.
b) Calculer la somme $S_{10} = u_0 + ... + u_{10}$.
Corrigé :
1. Terme général : $u_n = u_0 + n \times r = 8 + 2n$
2. Calcul : $u_{20} = 8 + 2 \times 20 = 48$.
3. Sens de variation : $u_{n+1} - u_n = 2 > 0$. La suite est strictement croissante.
4. Résolutions :
a) $8 + 2n = 50 \iff 2n = 42 \iff n = 21$.
b) $8 + 2n > 100 \iff 2n > 92 \iff n > 46$. À partir de $n = 47$.
5. Somme :
a) $S_n = (n+1) \times \dfrac{u_0 + u_n}{2} = (n+1) \times \dfrac{8 + 8 + 2n}{2} = (n+1)(8+n)$.
b) $S_{10} = (10+1)(8+10) = 11 \times 18 = 198$.
Exercice 3 : Déterminer une suite arithmétique
Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique définie sur $\mathbb{N}$. On donne $u_{5}=12$ et $u_{13}=4$.
1. Déterminer la raison de $(u_{n})$.
2. Déterminer l'expression du terme général de $(u_{n})$.
Corrigé :
1. Raison : On sait que $u_{13} = u_5 + (13-5)r \iff 4 = 12 + 8r \iff 8r = -8 \iff r = -1$.
2. Terme général : $u_n = u_5 + (n-5)r = 12 + (n-5)(-1) = 12 - n + 5 = 17 - n$. L'expression est $u_n = 17 - n$.
Exercice 4 : Application concrète
Un capital de 10 000 € est placé au taux annuel de 3% à intérêts simples. On note $C_{0}$ le capital initial et $C_{n}$ celui au bout de $n$ années.
1. Calculer $C_{1}$ et $C_{2}$.
2. a) Quelle est la nature de la suite $(C_{n})$ ?
b) Exprimer $C_{n}$ en fonction de $n$.
3. À partir de quelle année le capital aura-t-il doublé ?
Corrigé :
1. Calculs : Les intérêts annuels sont constants et s'élèvent à $3\%$ de $10\ 000$, soit $300$ €.
$C_1 = 10\ 000 + 300 = 10\ 300$ €.
$C_2 = 10\ 300 + 300 = 10\ 600$ €.
2. a) La suite $(C_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $C_0 = 10\ 000$ et de raison $r = 300$.
b) $C_n = C_0 + n \times r = 10\ 000 + 300n$.
3. Doublement : On cherche $n$ tel que $C_n \ge 20\ 000$.
$10\ 000 + 300n \ge 20\ 000 \iff 300n \ge 10\ 000 \iff n \ge \dfrac{100}{3} \approx 33.33$.
À partir de la $34$-ème année, le capital aura doublé.
Exercice 5 : Calcul d'une somme
On considère la somme suivante : $S = 7 + 11 + 15 + ... + 87$
1. Montrer que ce sont les termes d'une suite arithmétique. Préciser $u_0$ et $r$.
2. Déterminer le nombre de termes.
3. Calculer $S$.
Corrigé :
1. Identification : L'écart entre deux termes consécutifs est constant ($11-7=4$, $15-11=4$). Il s'agit des termes d'une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 7$ et de raison $r = 4$.
2. Nombre de termes : On sait que le dernier terme est $87$, et que $u_n = 7 + 4n$.
$87 = 7 + 4n \iff 4n = 80 \iff n = 20$.
Le premier terme étant $u_0$, il y a $n - 0 + 1 = 20 + 1 = 21$ termes dans cette somme.
3. Somme : $S = (\text{nombre de termes}) \times \dfrac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$
$S = 21 \times \dfrac{7 + 87}{2} = 21 \times \dfrac{94}{2} = 21 \times 47 = 987$.