LES SUITES ARITHMÉTIQUES
I - Étude d'une suite arithmétique
Définition 1 :
On appelle suite arithmétique une suite $(u_n)$ définie par son premier terme et la relation de récurrence :
$\forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} = u_n + r, \quad r \in \mathbb{R}$
Vocabulaire :
Le nombre $r$ est appelé raison de la suite arithmétique.
Application: Suite arithmétique définie par récurrence
On considère la suite $(u_n)$ définie par : $\begin{cases} u_0 = 2 \\ \forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} = u_n + 5 \end{cases}$
$(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 2$ et de raison $r = 5$.
Propriété 1 :
$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$ si et seulement si :
$\forall n \in \mathbb{N},\, u_n = u_0 + nr$
Démonstration :
-
Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$ alors :
$ \begin{aligned} u_1 &= u_0 + r && \quad \text{ligne 1} \\ u_2 &= u_1 + r && \quad \text{ligne 2} \\ + \quad \dots &= \dots && \\ u_{n-1} &= u_{n-2} + r && \quad \text{ligne } n-1 \\ u_n &= u_{n-1} + r && \quad \text{ligne } n \\ \hline u_1 + u_2 + \dots + u_{n-1} + u_n &= u_0 + u_1 + \dots + u_{n-1} + n \times r && \end{aligned} $D'où $u_n = u_0 + nr$.
- Si $\forall n \in \mathbb{N},\, u_n = u_0 + nr$ alors $\forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} = u_0 + (n + 1)r = u_0 + nr + r = u_n + r$ et $u_0 = u_0 + 0 \times r = u_0$.
Donc $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$.
Conséquence :
Toute suite arithmétique $(u_n)$ a pour terme général $u_n = an + b$ avec $a, b \in \mathbb{R}$.
Elle caractérise donc une évolution linéaire. Les points $(n ; u_n)$ sont alignés.
Application: Représentation graphique d'une suite arithmétique
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 2$ et de raison $r = 1$. On a $u_n = u_0 + nr = 2 + n = n + 2$. Les points $(n ; u_n)$ appartiennent à la droite d'équation $y = x + 2$.
| $n$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $u_n$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Méthode: Déterminer si une suite est arithmétique
-
1er cas : l'expression de la suite étudiée est de la forme $u_{n+1} = u_n + r$.
Exemple : $u_{n+1} = u_n - 2$.
Dans ce cas, on dit que l'expression algébrique de la suite vérifie la définition d'une suite arithmétique avec $r = -2$. Donc $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = -2$. -
2e cas : la suite est de la forme $u_n = an + b$.
Exemple : $u_n = 3n + 1$.
Dans ce cas, on dit que l'expression algébrique de $u_n$ vérifie $u_n = u_0 + nr$ avec $r = 3$ et $u_0 = 1$.
Donc c'est une suite arithmétique de raison $r = 3$. -
3e cas : la suite ne vérifie ni la définition, ni la propriété.
Dans ce cas, on fera l'étude complète :- On calcule les premiers termes de la suite (ici, on les appelle $u_0$, $u_1$ et $u_2$).
- On calcule $u_1 - u_0$ et $u_2 - u_1$. Si $u_1 - u_0 \neq u_2 - u_1$ alors la suite n'est pas arithmétique ; sinon, on pose $r = u_1 - u_0$ et on calcule, $\forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} - u_n - r$.
- Si, $\forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} - u_n - r = 0$ alors la suite est arithmétique.
- $u_0 = -2 \times 0 + 1 = 1$ ; $u_1 = -2 \times 1 + 1 = -1$ ; $u_2 = -2 \times 2 + 1 = -3$.
- $u_1 - u_0 = -1 - 1 = -2$ et $u_2 - u_1 = -3 - (-1) = -2$ donc $u_1 - u_0 = u_2 - u_1$. On pose $r = -2$.
- $\forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} - u_n - r = -2(n + 1) + 1 - (-2n + 1) - (-2) = -2n - 2 + 1 + 2n - 1 + 2 = 0$.
Propriété 2 :
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ :
$\forall n, p \in \mathbb{N},\, u_n = u_p + (n - p)r$
Démonstration :
$\forall n \in \mathbb{N},\, u_n = u_0 + nr$ et $\forall p \in \mathbb{N},\, u_p = u_0 + pr$ donc $u_n - u_p = nr - pr = (n - p)r$.
D'où $u_n = u_p + (n - p)r$.
II - Somme des termes d'une suite arithmétique
Propriété 3 :
Soit $n$ un entier naturel non nul, on a :
$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$
Démonstration :
On pose : $S_n = 1 + 2 + \dots + (n - 1) + n$ d'où $S_n = n + (n - 1) + \dots + 2 + 1$.
D'où $2S_n = \underbrace{(n + 1) + (n + 1) + \dots + (n + 1)}_{n \text{ termes}} = n(n + 1)$.
Donc $S_n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$.
Conséquence :
Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$, alors :
$u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n + 1)\frac{u_0 + u_n}{2}$
Où :
- $n + 1$ est le nombre de termes de la somme,
- $u_0$ est le premier terme de la somme,
- $u_n$ est le dernier terme de la somme.
Démonstration :
Application: Calcul d'une somme avec Python
Calculer la somme des 20 premiers termes de la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = -2n + 1$.
1. Programme Python avec une boucle for :
Sans utiliser la formule explicite de la somme, on peut la calculer avec l'algorithme suivant :
S = 0
for n in range(0, 20, 1):
u = -2 * n + 1
S = S + u
print("Somme :", S)Ce programme parcourt les valeurs de $n$ de 0 à 19 (soit 20 termes). Il calcule chaque terme $u_n$ et l'ajoute à la somme $S$. Il affiche à la fin le résultat : -360.
2. Vérification avec la formule :
La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0 = -2 \times 0 + 1 = 1$ et de raison $r = -2$.
La somme de ses 20 premiers termes est $S_{19} = u_0 + u_1 + \dots + u_{19}$.
Le dernier terme de la somme est $u_{19} = -2 \times 19 + 1 = -37$.
On applique la formule du cours :
$\text{Somme} = \text{Nombre de termes} \times \frac{\text{Premier terme} + \text{Dernier terme}}{2}$
$S_{19} = 20 \times \frac{u_0 + u_{19}}{2} = 20 \times \frac{1 + (-37)}{2} = 20 \times \frac{-36}{2} = 20 \times (-18) = -360$
On retrouve bien le même résultat que le programme Python.
ARITHMETIC SEQUENCES
I - Study of an arithmetic sequence
Definition 1:
An arithmetic sequence is a sequence $(u_n)$ defined by its first term and the recurrence relation:
$\forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} = u_n + r, \quad r \in \mathbb{R}$
Vocabulary:
The number $r$ is called the common difference of the arithmetic sequence.
Application: Arithmetic sequence defined by recurrence
Consider the sequence $(u_n)$ defined by: $\begin{cases} u_0 = 2 \\ \forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} = u_n + 5 \end{cases}$
$(u_n)$ is an arithmetic sequence with first term $u_0 = 2$ and common difference $r = 5$.
Property 1:
$(u_n)$ is an arithmetic sequence with common difference $r$ and first term $u_0$ if and only if:
$\forall n \in \mathbb{N},\, u_n = u_0 + nr$
Proof:
-
If $(u_n)$ is an arithmetic sequence with common difference $r$ and first term $u_0$ then:
$ \begin{alined} u_1 &= u_0 + r && \quad \text{line 1} \\ u_2 &= u_1 + r && \quad \text{line 2} \\ + \quad \dots &= \dots && \\ u_{n-1} &= u_{n-2} + r && \quad \text{line } n-1 \\ u_n &= u_{n-1} + r && \quad \text{line } n \\ \hline u_1 + u_2 + \dots + u_{n-1} + u_n &= u_0 + u_1 + \dots + u_{n-1} + n \times r && \end{alined} $Hence $u_n = u_0 + nr$.
- If $\forall n \in \mathbb{N},\, u_n = u_0 + nr$ then $\forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} = u_0 + (n + 1)r = u_0 + nr + r = u_n + r$ et $u_0 = u_0 + 0 \times r = u_0$.
Therefore $(u_n)$ is an arithmetic sequence with common difference $r$ and first term $u_0$.
Consequence:
Any arithmetic sequence $(u_n)$ has the general term $u_n = an + b$ with $a, b \in \mathbb{R}$.
It thus characterizes a linear evolution. The points $(n ; u_n)$ are aligned.
Application: Graphical representation of an arithmetic sequence
Let $(u_n)$ be an arithmetic sequence with first term $u_0 = 2$ and common difference $r = 1$. We have $u_n = u_0 + nr = 2 + n = n + 2$. The points $(n ; u_n)$ belong to the line with equation $y = x + 2$.
| $n$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $u_n$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Method: Determine if a sequence is arithmetic
-
1st case: the expression of the studied sequence is of the form $u_{n+1} = u_n + r$.
Example: $u_{n+1} = u_n - 2$.
In this case, we say that the algebraic expression of the sequence verifies the definition of an arithmetic sequence with $r = -2$. Therefore $(u_n)$ is an arithmetic sequence with common difference $r = -2$. -
2nd case: the sequence is of the form $u_n = an + b$.
Example: $u_n = 3n + 1$.
In this case, we say that the algebraic expression of $u_n$ verifies $u_n = u_0 + nr$ with $r = 3$ and $u_0 = 1$.
Therefore it is an arithmetic sequence with common difference $r = 3$. -
3rd case: the sequence verifies neither the definition nor the property.
In this case, we will do the complete study:- We calculate the first terms of the sequence (here, we call them $u_0$, $u_1$ and $u_2$).
- We calculate $u_1 - u_0$ and $u_2 - u_1$. If $u_1 - u_0 \neq u_2 - u_1$ then the sequence is not arithmetic; otherwise, we set $r = u_1 - u_0$ and calculate, $\forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} - u_n - r$.
- If, $\forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} - u_n - r = 0$ then the sequence is arithmetic.
- $u_0 = -2 \times 0 + 1 = 1$ ; $u_1 = -2 \times 1 + 1 = -1$ ; $u_2 = -2 \times 2 + 1 = -3$.
- $u_1 - u_0 = -1 - 1 = -2$ et $u_2 - u_1 = -3 - (-1) = -2$ so $u_1 - u_0 = u_2 - u_1$. We set $r = -2$.
- $\forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} - u_n - r = -2(n + 1) + 1 - (-2n + 1) - (-2) = -2n - 2 + 1 + 2n - 1 + 2 = 0$.
Property 2:
Let $(u_n)$ be an arithmetic sequence with common difference $r$:
$\forall n, p \in \mathbb{N},\, u_n = u_p + (n - p)r$
Proof:
$\forall n \in \mathbb{N},\, u_n = u_0 + nr$ et $\forall p \in \mathbb{N},\, u_p = u_0 + pr$ so $u_n - u_p = nr - pr = (n - p)r$.
Hence $u_n = u_p + (n - p)r$.
II - Sum of the terms of an arithmetic sequence
Property 3:
Let $n$ be a non-zero natural integer, we have:
$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$
Proof:
Let: $S_n = 1 + 2 + \dots + (n - 1) + n$ d'où $S_n = n + (n - 1) + \dots + 2 + 1$.
Hence $2S_n = \underbrace{(n + 1) + (n + 1) + \dots + (n + 1)}_{n \text{ terms}} = n(n + 1)$.
Donc $S_n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$.
Consequence:
If $(u_n)$ is an arithmetic sequence with first term $u_0$ and common difference $r$, then:
$u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n + 1)\frac{u_0 + u_n}{2}$
Where:
- $n + 1$ est le nombre de terms de la somme,
- $u_0$ is the first term in the sum,
- $u_n$ is the last term in the sum.
Proof:
Application: Calculating a sum with Python
Calculer la somme des 20 premiers terms de la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = -2n + 1$.
1. Python program with a for loop:
Without using the explicit formula of the sum, it can be calculated with the following algorithm:
S = 0
for n in range(0, 20, 1):
u = -2 * n + 1
S = S + u
print("Somme :", S)Ce programme parcourt les valeurs de $n$ de 0 à 19 (soit 20 terms). Il calcule chaque terme $u_n$ et l'ajoute à la somme $S$. Il affiche à la fin le résultat : -360.
2. Verification with the formula:
The sequence $(u_n)$ is an arithmetic sequence with first term $u_0 = -2 \times 0 + 1 = 1$ and common difference $r = -2$.
La somme de ses 20 premiers terms est $S_{19} = u_0 + u_1 + \dots + u_{19}$.
The last term of the sum is $u_{19} = -2 \times 19 + 1 = -37$.
We apply the formula from the course:
$\text{Sum} = \text{Nombre de terms} \times \frac{\text{First term} + \text{Last term}}{2}$
$S_{19} = 20 \times \frac{u_0 + u_{19}}{2} = 20 \times \frac{1 + (-37)}{2} = 20 \times \frac{-36}{2} = 20 \times (-18) = -360$
We indeed find the same result as the Python program.
LAS SUCESIONES ARITMÉTICAS
I - Estudio de una sucesión aritmética
Definición 1:
Una sucesión aritmética es una sucesión $(u_n)$ definida por su primer término y la relación de recurrencia:
$\forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} = u_n + r, \quad r \in \mathbb{R}$
Vocabulario:
El número $r$ se llama la diferencia de la sucesión aritmética.
Aplicación: Sucesión aritmética definida por recurrencia
Consideremos la sucesión $(u_n)$ definida por: $\begin{cases} u_0 = 2 \\ \forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} = u_n + 5 \end{cases}$
$(u_n)$ es una sucesión aritmética con primer término $u_0 = 2$ y diferencia $r = 5$.
Propiedad 1:
$(u_n)$ es una sucesión aritmética con diferencia $r$ y primer término $u_0$ si y solo si:
$\forall n \in \mathbb{N},\, u_n = u_0 + nr$
Demostración:
-
Si $(u_n)$ es una sucesión aritmética con diferencia $r$ y primer término $u_0$ entonces:
$ \begin{alínead} u_1 &= u_0 + r && \quad \text{línea 1} \\ u_2 &= u_1 + r && \quad \text{línea 2} \\ + \quad \dots &= \dots && \\ u_{n-1} &= u_{n-2} + r && \quad \text{línea } n-1 \\ u_n &= u_{n-1} + r && \quad \text{línea } n \\ \hline u_1 + u_2 + \dots + u_{n-1} + u_n &= u_0 + u_1 + \dots + u_{n-1} + n \times r && \end{alínead} $De ahí que $u_n = u_0 + nr$.
- Si $\forall n \in \mathbb{N},\, u_n = u_0 + nr$ entonces $\forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} = u_0 + (n + 1)r = u_0 + nr + r = u_n + r$ et $u_0 = u_0 + 0 \times r = u_0$.
Por lo tanto, $(u_n)$ es una sucesión aritmética con diferencia $r$ y primer término $u_0$.
Consecuencia:
Cualquier sucesión aritmética $(u_n)$ tiene como término general $u_n = an + b$ con $a, b \in \mathbb{R}$.
Caracteriza así una evolución lineal. Los puntos $(n ; u_n)$ están alineados.
Aplicación: Representación gráfica de una sucesión aritmética
Sea $(u_n)$ una sucesión aritmética con primer término $u_0 = 2$ y diferencia $r = 1$. Tenemos $u_n = u_0 + nr = 2 + n = n + 2$. Los puntos $(n ; u_n)$ pertenecen a la recta de ecuación $y = x + 2$.
| $n$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $u_n$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Método: Determinar si una sucesión es aritmética
-
1er caso: la expresión de la sucesión estudiada es de la forma $u_{n+1} = u_n + r$.
Ejemplo: $u_{n+1} = u_n - 2$.
En este caso, decimos que la expresión algebraica de la sucesión verifica la definición de una sucesión aritmética con $r = -2$. Por lo tanto, $(u_n)$ es una sucesión aritmética con diferencia $r = -2$. -
2do caso: la sucesión es de la forma $u_n = an + b$.
Ejemplo: $u_n = 3n + 1$.
En este caso, decimos que la expresión algebraica de $u_n$ verifica $u_n = u_0 + nr$ con $r = 3$ y $u_0 = 1$.
Por lo tanto, es una sucesión aritmética con diferencia $r = 3$. -
3er caso: la sucesión no verifica ni la definición ni la propiedad.
En este caso, haremos el estudio completo:- Calculamos los primeros términos de la sucesión (aquí los llamamos $u_0$, $u_1$ y $u_2$).
- Calculamos $u_1 - u_0$ y $u_2 - u_1$. Si $u_1 - u_0 \neq u_2 - u_1$ entonces la sucesión no es aritmética; de lo contrario, establecemos $r = u_1 - u_0$ y calculamos, $\forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} - u_n - r$.
- Si, $\forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} - u_n - r = 0$ entonces la sucesión es aritmética.
- $u_0 = -2 \times 0 + 1 = 1$ ; $u_1 = -2 \times 1 + 1 = -1$ ; $u_2 = -2 \times 2 + 1 = -3$.
- $u_1 - u_0 = -1 - 1 = -2$ et $u_2 - u_1 = -3 - (-1) = -2$ así que $u_1 - u_0 = u_2 - u_1$. Establecemos $r = -2$.
- $\forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} - u_n - r = -2(n + 1) + 1 - (-2n + 1) - (-2) = -2n - 2 + 1 + 2n - 1 + 2 = 0$.
Propiedad 2:
Sea $(u_n)$ una sucesión aritmética con diferencia $r$:
$\forall n, p \in \mathbb{N},\, u_n = u_p + (n - p)r$
Demostración:
$\forall n \in \mathbb{N},\, u_n = u_0 + nr$ et $\forall p \in \mathbb{N},\, u_p = u_0 + pr$ así que $u_n - u_p = nr - pr = (n - p)r$.
De ahí que $u_n = u_p + (n - p)r$.
II - Suma de los términos de una sucesión aritmética
Propiedad 3:
Sea $n$ un entero natural no nulo, tenemos:
$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$
Demostración:
Sea: $S_n = 1 + 2 + \dots + (n - 1) + n$ d'où $S_n = n + (n - 1) + \dots + 2 + 1$.
De ahí que $2S_n = \underbrace{(n + 1) + (n + 1) + \dots + (n + 1)}_{n \text{ términos}} = n(n + 1)$.
Donc $S_n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$.
Consecuencia:
Si $(u_n)$ es una sucesión aritmética con primer término $u_0$ y diferencia $r$, entonces:
$u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n + 1)\frac{u_0 + u_n}{2}$
Donde:
- $n + 1$ est le nombre de términos de la somme,
- $u_0$ es el primer término de la suma,
- $u_n$ es el último término de la suma.
Demostración:
Aplicación: Cálculo de una suma con Python
Calculer la somme des 20 premiers términos de la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = -2n + 1$.
1. Programa Python con un bucle for:
Sin utilizar la fórmula explícita de la suma, se puede calcular con el siguiente algoritmo:
S = 0
for n in range(0, 20, 1):
u = -2 * n + 1
S = S + u
print("Somme :", S)Ce programme parcourt les valeurs de $n$ de 0 à 19 (soit 20 términos). Il calcule chaque terme $u_n$ et l'ajoute à la somme $S$. Il affiche à la fin le résultat : -360.
2. Verificación con la fórmula:
La sucesión $(u_n)$ es una sucesión aritmética con primer término $u_0 = -2 \times 0 + 1 = 1$ y diferencia $r = -2$.
La somme de ses 20 premiers términos est $S_{19} = u_0 + u_1 + \dots + u_{19}$.
El último término de la suma es $u_{19} = -2 \times 19 + 1 = -37$.
Aplicamos la fórmula del curso:
$\text{Suma} = \text{Nombre de términos} \times \frac{\text{Primer término} + \text{Último término}}{2}$
$S_{19} = 20 \times \frac{u_0 + u_{19}}{2} = 20 \times \frac{1 + (-37)}{2} = 20 \times \frac{-36}{2} = 20 \times (-18) = -360$
Efectivamente encontramos el mismo resultado que el programa Python.