La forme canonique
Exercices
Exercice 1 : Identification et calculs préliminaires
Soit la fonction $f(x) = 2x^2 - 12x + 10$.
- Développer l'expression $2(x-3)^2 - 8$ et vérifier qu'elle est égale à $f(x)$.
- Identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$ de $f(x)$.
- Calculer les coordonnées du sommet $S(\alpha, \beta)$ à l'aide des formules $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$.
- Vérifier que les résultats de la question 3 sont cohérents avec la forme donnée à la question 1.
- Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
Corrigé :
- $2(x-3)^2 - 8 = 2(x^2 - 6x + 9) - 8 = 2x^2 - 12x + 18 - 8 = 2x^2 - 12x + 10$.
On a bien $2(x-3)^2 - 8 = f(x)$. - Par identification avec $f(x) = ax^2 + bx + c$, on trouve : $a = 2$ ; $b = -12$ ; $c = 10$.
- $\alpha = -\frac{-12}{2 \times 2} = \frac{12}{4} = 3$.
$\beta = f(3) = 2(3)^2 - 12(3) + 10 = 18 - 36 + 10 = -8$.
Le sommet a pour coordonnées $S(3, -8)$. - Dans la question 1, on a trouvé $f(x) = 2(x-3)^2 - 8$. Cela correspond bien à $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha = 3$ et $\beta = -8$. C'est cohérent.
- Comme $a = 2 > 0$, la parabole est orientée vers le haut. La fonction est décroissante puis croissante, avec un minimum atteint en $x = 3$ valant $-8$.
Variations : Décroissante sur $]-\infty ; 3]$, croissante sur $[3 ; +\infty[$. Minimum = $-8$.
Exercice 2 : Forme canonique à l'aide des identités remarquables
Déterminer la forme canonique de chacun des polynômes suivants, sans utiliser les formules donnant $\alpha$ et $\beta$, mais en utilisant le début du développement d'une identité remarquable :
- $f_1(x) = x^2 + 4x + 3$
- $f_2(x) = x^2 - 6x + 10$
- $f_3(x) = 2x^2 - 8x + 6$
- $f_4(x) = -3x^2 + 12x - 5$
- $f_5(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x + \frac{5}{2}$
- $f_6(x) = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x + 2$
Corrigé :
- $f_1(x) = x^2 + 4x + 3$. On reconnaît dans $x^2 + 4x$ le début de $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$. Donc $x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4$.
$f_1(x)$ $= (x+2)^2 - 4 + 3 = $$(x+2)^2 - 1$. - $f_2(x) = x^2 - 6x + 10$. On reconnaît dans $x^2 - 6x$ le début de $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$. Donc $x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9$.
$f_2(x)$ $= (x-3)^2 - 9 + 10 = $$(x-3)^2 + 1$. - $f_3(x) = 2x^2 - 8x + 6$. On factorise d'abord par $2$ : $f_3(x) = 2(x^2 - 4x) + 6$.
On reconnaît dans $x^2 - 4x$ le début de $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$, donc $x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$.
$f_3(x)$ $= 2[(x-2)^2 - 4] + 6 = 2(x-2)^2 - 8 + 6 = $$2(x-2)^2 - 2$. - $f_4(x) = -3x^2 + 12x - 5$. On factorise d'abord par $-3$ : $f_4(x) = -3(x^2 - 4x) - 5$.
On reconnaît dans $x^2 - 4x$ le début de $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$, donc $x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$.
$f_4(x)$ $= -3[(x-2)^2 - 4] - 5 = -3(x-2)^2 + 12 - 5 = $$-3(x-2)^2 + 7$. - $f_5(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x + \frac{5}{2}$. On factorise d'abord par $\frac{1}{2}$ : $f_5(x) = \frac{1}{2}(x^2 + 6x) + \frac{5}{2}$.
On reconnaît dans $x^2 + 6x$ le début de $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$, donc $x^2 + 6x = (x+3)^2 - 9$.
$f_5(x)$ $= \frac{1}{2}[(x+3)^2 - 9] + \frac{5}{2} = \frac{1}{2}(x+3)^2 - \frac{9}{2} + \frac{5}{2} = \frac{1}{2}(x+3)^2 - \frac{4}{2} = $$\frac{1}{2}(x+3)^2 - 2$. - $f_6(x) = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x + 2$. On factorise d'abord par $\frac{1}{4}$ : $f_6(x) = \frac{1}{4}(x^2 - 2x) + 2$.
On reconnaît dans $x^2 - 2x$ le début de $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$, donc $x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$.
$f_6(x)$ $= \frac{1}{4}[(x-1)^2 - 1] + 2 = \frac{1}{4}(x-1)^2 - \frac{1}{4} + \frac{8}{4} = $$\frac{1}{4}(x-1)^2 + \frac{7}{4}$.
Exercice 3 : Lecture graphique
On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré $f$.
Déterminer l'expression de $f(x)$ sous sa forme canonique en utilisant les informations lues sur le graphique.
Corrigé :
La forme canonique d'un polynôme du second degré est $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$.
Les coordonnées du sommet de la parabole sont $(\alpha; \beta)$. Par lecture graphique, le sommet est le point $S(2; 3)$.
Donc $\alpha = 2$ et $\beta = 3$. L'expression de $f$ est de la forme : $f(x) = a(x - 2)^2 + 3$.
Pour déterminer $a$, on utilise un autre point de la courbe. Par exemple, le point $A(0; -1)$ appartient à la courbe, donc $f(0) = -1$.
On résout : $a(0 - 2)^2 + 3 = -1 \iff 4a + 3 = -1 \iff 4a = -4 \iff a = -1$.
L'expression de $f(x)$ est donc : $f(x) = -(x - 2)^2 + 3$.
Exercice 4 : Lecture graphique et détermination de l'équation
On donne la parabole $\mathcal{P}$ représentant une fonction du second degré $h(x) = ax^2 + bx + c$. On sait que son sommet est le point $S(-1 ; 4)$ et qu'elle coupe l'axe des ordonnées au point $A(0 ; 2)$.
- Donner, par lecture directe des coordonnées du sommet, la valeur de $\alpha$ et de $\beta$.
- En déduire l'expression de $h(x)$ en fonction du coefficient $a$.
- Utiliser les coordonnées du point $A$ pour calculer la valeur exacte de $a$.
- Écrire la forme canonique complète de la fonction $h$.
- Déterminer la forme développée de $h(x)$.
Corrigé :
- Le sommet est $S(-1 ; 4)$, donc $\alpha = -1$ et $\beta = 4$.
- La forme canonique est $h(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$, donc $h(x) = a(x+1)^2 + 4$.
- La parabole passe par $A(0 ; 2)$, donc $h(0) = 2$.
On résout : $a(0+1)^2 + 4 = 2 \iff a + 4 = 2 \iff $ $a = -2$. - La forme canonique complète est $h(x) = -2(x+1)^2 + 4$.
- On développe : $h(x) = -2(x^2 + 2x + 1) + 4 = -2x^2 - 4x - 2 + 4$.
Donc la forme développée est $h(x) = -2x^2 - 4x + 2$.
Exercice 5 : Choix de la forme adaptée
Soit la fonction $k(x) = 4(x+2)^2 - 16$.
- Démontrer que la forme développée de $k$ est $k(x) = 4x^2 + 16x$.
- Démontrer que la forme factorisée de $k$ est $k(x) = 4x(x+4)$.
- Choisir la forme la plus adaptée pour résoudre l'équation $k(x) = 0$, puis la résoudre.
- Choisir la forme la plus adaptée pour résoudre l'équation $k(x) = -16$, puis la résoudre.
- Dresser le tableau de signes de la fonction $k$ sur $\mathbb{R}$.
Corrigé :
- $k(x) = 4(x^2 + 4x + 4) - 16 = 4x^2 + 16x + 16 - 16 = $ $4x^2 + 16x$.
- En factorisant la forme développée par $4x$ : $4x^2 + 16x = $ $4x(x+4)$.
- Pour $k(x) = 0$, on utilise la forme factorisée (équation produit nul).
$4x(x+4) = 0 \iff 4x = 0$ ou $x+4 = 0$. Soit $x = 0$ ou $x = -4$. - Pour $k(x) = -16$, on utilise la forme canonique (le terme constant s'annule).
$4(x+2)^2 - 16 = -16 \iff 4(x+2)^2 = 0 \iff x+2 = 0$. Soit $x = -2$. - On utilise la forme factorisée $4x(x+4)$. Les racines sont $0$ et $-4$. Le coefficient $a=4$ est positif. La fonction est donc positive à l'extérieur des racines et négative entre les racines.
Sur $]-\infty; -4] \cup [0; +\infty[$, $k(x) \geqslant 0$. Sur $[-4; 0]$, $k(x) \leqslant 0$.
Exercice 6 : Problème d'optimisation (Bénéfice)
Une entreprise modélise son bénéfice journalier en euros, pour $x$ dizaines de produits vendus, par la fonction : $B(x) = -5x^2 + 200x - 1500$, où $x \in [10 ; 40]$.
- Mettre la fonction $B(x)$ sous sa forme canonique.
- Quel est le nombre de produits (en dizaines) à vendre pour maximiser le bénéfice ?
- Quel est le montant de ce bénéfice maximal ?
- L'entreprise peut-elle réaliser un bénéfice de $600$ € ? Si oui, pour quelle(s) quantité(s) ?
- Résoudre l'équation $B(x) = 0$ en utilisant la forme canonique. Que représentent ces valeurs ?
Corrigé :
- On calcule $\alpha = -\frac{200}{2 \times (-5)} = \frac{200}{10} = 20$. Puis $\beta = B(20) = -5(20)^2 + 200(20) - 1500 = -2000 + 4000 - 1500 = 500$.
La forme canonique est $B(x) = -5(x-20)^2 + 500$. - Puisque $a = -5 < 0$, le bénéfice admet un maximum en $x = \alpha$.
Il faut donc vendre $20$ dizaines de produits (soit 200 produits). - Le bénéfice maximal correspond à $\beta$, il est de $500$ €.
- Le bénéfice maximal étant de $500$ €, il est impossible d'atteindre $600$ €. L'équation $B(x) = 600$ n'a pas de solution.
- $B(x) = 0 \iff -5(x-20)^2 + 500 = 0 \iff (x-20)^2 = 100 \iff x-20 = 10$ ou $x-20 = -10$. Soit $x = 30$ ou $x = 10$.
Ces valeurs représentent les quantités (en dizaines) pour lesquelles le bénéfice est nul (seuils de rentabilité).