FORME CANONIQUE D'UN POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ
Définition 1 : $a, b$ et $c$ sont des réels avec $a \neq 0$.
On appelle polynôme du second degré (ou trinôme) toute fonction $P$ définie sur $\mathbb{R}$ par $P(x) = ax^2 + bx + c$.
Propriété 1 : $a, b$ et $c$ sont des réels, $a \neq 0$.
Démonstration :
Vocabulaire : On appelle discriminant du polynôme $ax^2 + bx + c$ le réel $\Delta = b^2 - 4ac$.
Propriété 2 : $a, b$ et $c$ sont des réels, $a \neq 0$.
L'expression $a(x - \alpha)^2 + \beta$ est appelée forme canonique de $P(x)$.
Méthode : Mettre sous la forme canonique
on utilise les identités remarquables $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$ ou $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.
Propriété 3 : Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x \mapsto a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $a \neq 0$.
| $x$ |
$-\infty$
$\alpha$
$+\infty$
|
||
| $f(x)$ | |||
| $x$ |
$-\infty$
$\alpha$
$+\infty$
|
||
| $f(x)$ | |||
Démonstration : (cas où $a > 0$)
Soit $x_1, x_2 \in \mathopen{]}-\infty ; \alpha\mathclose{]}$ tels que $x_1 \leq x_2$
La fonction carré est décroissante sur $\mathopen{]}-\infty ; 0\mathclose{]}$
donc $f$ est décroissante sur $\mathopen{]}-\infty ; \alpha\mathclose{]}$.
Soit $x_1, x_2 \in \mathopen{[}\alpha ; +\infty\mathclose{[}$ tels que $x_1 \leq x_2$
La fonction carré est croissante sur $\mathopen{[}0 ; +\infty\mathclose{[}$
donc $f$ est croissante sur $\mathopen{[}\alpha ; +\infty\mathclose{[}$.
De plus, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $a(x - \alpha)^2 \geq 0$
donc $a(x - \alpha)^2 + \beta \geq \beta$ et $f(\alpha) = \beta$
$f$ admet pour minimum $\beta = f(\alpha)$
Propriété 4 : La représentation graphique d'une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x \mapsto a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $a \neq 0$ est une parabole de sommet $S(\alpha, \beta)$. La droite parallèle à $(O, y)$ passant par $S$ d'équation $x = \alpha$ est un axe de symétrie de la parabole.
Méthode : Variations et représentation graphique d'une fonction polynôme
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ telle que $h(x) = 3x^2 + 6x + 4$.
On calcule $\alpha$ et $\beta$ :
$$ \alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2 \times 3} = -1 $$ $$ \beta = h(\alpha) = h(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) + 4 = 1 $$On en déduit la forme canonique de $h$ :
$$ h(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta = 3(x - (-1))^2 + 1 = 3(x + 1)^2 + 1 $$On en déduit le tableau de variation de $h$ ($a = 3 > 0$) :
| $x$ |
$-\infty$
$-1$
$+\infty$
|
||
| $h(x)$ | |||
La droite d'équation $x = -1$ est l'axe de symétrie de la parabole.
CANONICAL FORM OF A QUADRATIC POLYNOMIAL
Definition 1: $a, b$, and $c$ are real numbers with $a \neq 0$.
A quadratic polynomial (or quadratic function) is any function $P$ defined on $\mathbb{R}$ by $P(x) = ax^2 + bx + c$.
Property 1: $a, b$, and $c$ are real numbers, $a \neq 0$.
Proof:
Vocabulary : The real number $\Delta = b^2 - 4ac$ is called the discriminant of the polynomial $ax^2 + bx + c$.
Property 2: $a, b$, and $c$ are real numbers, $a \neq 0$.
The expression $a(x - \alpha)^2 + \beta$ is called the canonical form (or vertex form) of $P(x)$.
Method: Convert to canonical form
we use the notable identities (perfect squares) $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$ or $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.
Property 3: Let $f$ be the function defined on $\mathbb{R}$ by $x \mapsto a(x - \alpha)^2 + \beta$ with $a \neq 0$.
| $x$ |
$-\infty$
$\alpha$
$+\infty$
|
||
| $f(x)$ | |||
| $x$ |
$-\infty$
$\alpha$
$+\infty$
|
||
| $f(x)$ | |||
Proof: (case where $a > 0$)
Let $x_1, x_2 \in \mathopen{]}-\infty ; \alpha\mathclose{]}$ such that $x_1 \leq x_2$
The square function is decreasing on $\mathopen{]}-\infty ; 0\mathclose{]}$
therefore $f$ is decreasing on $\mathopen{]}-\infty ; \alpha\mathclose{]}$.
Let $x_1, x_2 \in \mathopen{[}\alpha ; +\infty\mathclose{[}$ such that $x_1 \leq x_2$
The square function is increasing on $\mathopen{[}0 ; +\infty\mathclose{[}$
therefore $f$ is increasing on $\mathopen{[}\alpha ; +\infty\mathclose{[}$.
Moreover, for all $x \in \mathbb{R}$, $a(x - \alpha)^2 \geq 0$
therefore $a(x - \alpha)^2 + \beta \geq \beta$ and $f(\alpha) = \beta$
$f$ has a minimum of $\beta = f(\alpha)$
Property 4: The graphical representation of a function defined on $\mathbb{R}$ by $x \mapsto a(x - \alpha)^2 + \beta$ with $a \neq 0$ is a parabola with vertex $S(\alpha, \beta)$. The line parallel to the y-axis passing through $S$ with equation $x = \alpha$ is an axis of symmetry of the parabola.
Method: Variations and graphical representation of a polynomial function
Let $h$ be the function defined on $\mathbb{R}$ such that $h(x) = 3x^2 + 6x + 4$.
We calculate $\alpha$ and $\beta$:
$$ \alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2 \times 3} = -1 $$ $$ \beta = h(\alpha) = h(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) + 4 = 1 $$We deduce the canonical form of $h$:
$$ h(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta = 3(x - (-1))^2 + 1 = 3(x + 1)^2 + 1 $$We deduce the variation table of $h$ ($a = 3 > 0$):
| $x$ |
$-\infty$
$-1$
$+\infty$
|
||
| $h(x)$ | |||
The line with equation $x = -1$ is the axis of symmetry of the parabola.
FORMA CANÓNICA DE UN POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO
Definición 1: $a, b$ y $c$ son números reales con $a \neq 0$.
Un polinomio de segundo grado (o trinomio) es toda función $P$ definida en $\mathbb{R}$ por $P(x) = ax^2 + bx + c$.
Propiedad 1: $a, b$ y $c$ son números reales, $a \neq 0$.
Demostración:
Vocabulario : Al número real $\Delta = b^2 - 4ac$ se le llama discriminante del polinomio $ax^2 + bx + c$.
Propiedad 2: $a, b$ y $c$ son números reales, $a \neq 0$.
La expresión $a(x - \alpha)^2 + \beta$ se denomina forma canónica de $P(x)$.
Método: Convertir a la forma canónica
utilizamos las identidades notables (cuadrados perfectos) $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$ o $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.
Propiedad 3: Sea $f$ la función definida en $\mathbb{R}$ por $x \mapsto a(x - \alpha)^2 + \beta$ con $a \neq 0$.
| $x$ |
$-\infty$
$\alpha$
$+\infty$
|
||
| $f(x)$ | |||
| $x$ |
$-\infty$
$\alpha$
$+\infty$
|
||
| $f(x)$ | |||
Demostración: (caso donde $a > 0$)
Sean $x_1, x_2 \in \mathopen{]}-\infty ; \alpha\mathclose{]}$ tales que $x_1 \leq x_2$
La función cuadrado es decreciente en $\mathopen{]}-\infty ; 0\mathclose{]}$
por lo tanto $f$ es decreciente en $\mathopen{]}-\infty ; \alpha\mathclose{]}$.
Sean $x_1, x_2 \in \mathopen{[}\alpha ; +\infty\mathclose{[}$ tales que $x_1 \leq x_2$
La función cuadrado es creciente en $\mathopen{[}0 ; +\infty\mathclose{[}$
por lo tanto $f$ es creciente en $\mathopen{[}\alpha ; +\infty\mathclose{[}$.
Además, para todo $x \in \mathbb{R}$, $a(x - \alpha)^2 \geq 0$
por lo tanto $a(x - \alpha)^2 + \beta \geq \beta$ y $f(\alpha) = \beta$
$f$ alcanza un mínimo de $\beta = f(\alpha)$
Propiedad 4: La representación gráfica de una función definida en $\mathbb{R}$ por $x \mapsto a(x - \alpha)^2 + \beta$ con $a \neq 0$ es una parábola con vértice $S(\alpha, \beta)$. La recta paralela al eje y que pasa por $S$ de ecuación $x = \alpha$ es un eje de simetría de la parábola.
Método: Variaciones y representación gráfica de una función polinomial
Sea $h$ la función definida en $\mathbb{R}$ tal que $h(x) = 3x^2 + 6x + 4$.
Calculamos $\alpha$ y $\beta$:
$$ \alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2 \times 3} = -1 $$ $$ \beta = h(\alpha) = h(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) + 4 = 1 $$Deducimos la forma canónica de $h$:
$$ h(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta = 3(x - (-1))^2 + 1 = 3(x + 1)^2 + 1 $$Deducimos la tabla de variación de $h$ ($a = 3 > 0$):
| $x$ |
$-\infty$
$-1$
$+\infty$
|
||
| $h(x)$ | |||
La recta de ecuación $x = -1$ es el eje de simetría de la parábola.