Équations différentielles - Exercices Differential equations - Exercises Ecuaciones diferenciales - Ejercicios

a)

$f'(x) = -20e^{-4x}$ et $f'(x) + 4f(x) = -20e^{-4x} + 20e^{-4x}$

$f'(x) + 4f(x) = 0$

b)

$f'(x) = 2e^x$ et $f(x) + 3 = 2e^x$

$f'(x) = f(x) + 3$

c)

$f'(x) = 2x$

a)

$y(x) = A\,e^{-5x}$, $A \in \mathbb{R}$

b)

$y' - 0{,}3y = 0$, $a = -0{,}3$.

$y(x) = A\,e^{0{,}3x}$, $A \in \mathbb{R}$

c)

$y' - \dfrac{1}{2}y = 0$.

$y(x) = A\,e^{\frac{x}{2}}$, $A \in \mathbb{R}$

d)

$y(x) = A\,e^{-\frac{3}{4}x}$, $A \in \mathbb{R}$

a)

$f(x) = A\,e^{-2x}$ et $f(0) = A = 3$.

$f(x) = 3e^{-2x}$

b)

$f(x) = A\,e^{x}$ et $f(1) = Ae = 2$ donc $A = \dfrac{2}{e} = 2e^{-1}$.

$f(x) = 2e^{x - 1}$

c)

$y' + \dfrac{1}{3}y = 0$ : $f(x) = A\,e^{-\frac{x}{3}}$ ; $f(3) = A\,e^{-1} = e$ donc $A = e^2$.

$f(x) = e^{2 - \frac{x}{3}}$

a)

$a = 3$, $b = 12$, $\dfrac{b}{a} = 4$.

$y(x) = K\,e^{-3x} + 4$

b)

$y' - 2y = 5$ : $a = -2$, $b = 5$, $\dfrac{b}{a} = -\dfrac{5}{2}$.

$y(x) = K\,e^{2x} - \dfrac{5}{2}$

c)

$y' + \dfrac{1}{2}y = \dfrac{1}{4}$ : $\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{2}$.

$y(x) = K\,e^{-\frac{x}{2}} + \dfrac{1}{2}$

d)

$y' + 0{,}1y = 2$ : $\dfrac{b}{a} = 20$.

$y(x) = K\,e^{-0{,}1x} + 20$

a)

$f(x) = K\,e^{-2x} + 2$ et $f(0) = K + 2 = 0$.

$f(x) = -2e^{-2x} + 2$

b)

$y' - 3y = -6$ : $\dfrac{b}{a} = 2$, $f(x) = K\,e^{3x} + 2$ et $K + 2 = 1$.

$f(x) = -e^{3x} + 2$

c)

$f(x) = K\,e^{-x} + 1$ ; $f(\ln 2) = K \times \dfrac{1}{2} + 1 = 3$ donc $K = 4$.

$f(x) = 4e^{-x} + 1$

1)

Si $y = c$ est constante, $y' = 0$ et $0{,}5c = 3$.

$y = 6$

2)

$y(x) = K\,e^{-0{,}5x} + 6$, $K \in \mathbb{R}$

3)

$\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-0{,}5x} = 0$ donc, pour tout $K$ :

$\lim\limits_{x \to +\infty} y(x) = 6$

4)

$K + 6 = 10$ donc $K = 4$ : $f(x) = 4e^{-0{,}5x} + 6$. $f'(x) = -2e^{-0{,}5x} < 0$.

$f(x) = 4e^{-0{,}5x} + 6$, strictement décroissante sur $\mathbb{R}$

1)

$N(t) = 5e^{0{,}4t}$

2)

$N(6) = 5e^{2{,}4} \approx 55{,}116$.

environ $55\,116$ bactéries

3)

$5e^{0{,}4t} = 10 \iff e^{0{,}4t} = 2 \iff t = \dfrac{\ln 2}{0{,}4} \approx 1{,}73$ h.

au bout d'environ $1$ h $44$ min

1)

$u' + 0{,}5u = 0$ : $u(t) = A\,e^{-0{,}5t}$ et $A = 12$.

$u(t) = 12e^{-0{,}5t}$

2)

$12e^{-0{,}5t} = 6 \iff e^{-0{,}5t} = \dfrac{1}{2} \iff -0{,}5t = -\ln 2$.

$t_1 = 2\ln 2 \approx 1{,}39$ ms

3)

$\lim\limits_{t \to +\infty} u(t) = 0$ : le condensateur se décharge complètement

1)

$\theta' = -0{,}04\theta + 0{,}8$, soit $\theta' + 0{,}04\theta = 0{,}8$.

2)

$\dfrac{b}{a} = \dfrac{0{,}8}{0{,}04} = 20$ : $\theta(t) = K\,e^{-0{,}04t} + 20$ et $\theta(0) = K + 20 = 180$.

$\theta(t) = 160e^{-0{,}04t} + 20$

3)

$160e^{-0{,}04t} + 20 < 40 \iff e^{-0{,}04t} < \dfrac{1}{8} \iff -0{,}04t < -\ln 8 \iff t > 25\ln 8 \approx 51{,}99$.

au bout de $52$ minutes

1)

$y' + y = 2$ : $f(x) = K\,e^{-x} + 2$ et $K + 2 = 0$.

$f(x) = 2 - 2e^{-x}$

2)

$f'(x) = 2e^{-x} > 0$ : $f$ est strictement croissante ; $e^{-x} \to 0$.

$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2$

3)

$v_n = 2 - u_n = 2e^{-n}$, donc $v_{n+1} = 2e^{-n-1} = e^{-1}\,v_n$.

$(v_n)$ est géométrique de raison $e^{-1}$ et de premier terme $v_0 = 2$