Dérivation - Exercices Differentiation - Exercises Derivación - Ejercicios

a)

$f'(x) = 12x^2 - 10x + 2$

b)

$g'(x) = -x^2 + 2x$

c)

$h(x) = x^4 - 6x^2 + 9$, donc

$h'(x) = 4x^3 - 12x$

d)

$k'(x) = 30x^5 - x$

a)

$(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ et $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$.

$f'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{x}} + \dfrac{2}{x^2}$

b)

$g'(x) = 4e^x - 2x$

c)

$h'(x) = -\dfrac{5}{x^2} + 2$

On utilise $(uv)' = u'v + uv'$.

a)

$u = 3x - 1$, $u' = 3$, $v = v' = e^x$ : $f'(x) = 3e^x + (3x - 1)e^x$.

$f'(x) = (3x + 2)e^x$

b)

$g'(x) = 2xe^x + x^2e^x$.

$g'(x) = x(x + 2)e^x$

c)

$h'(x) = \sqrt{x} + \dfrac{x + 4}{2\sqrt{x}} = \dfrac{2x + x + 4}{2\sqrt{x}}$.

$h'(x) = \dfrac{3x + 4}{2\sqrt{x}}$

On utilise $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ et $\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$.

a)

$f'(x) = \dfrac{2(x - 1) - (2x + 3)}{(x - 1)^2}$

$f'(x) = \dfrac{-5}{(x - 1)^2}$

b)

$g'(x) = 3 \times \dfrac{-2x}{(x^2 + 2)^2} = \dfrac{-6x}{(x^2 + 2)^2}$

c)

$h'(x) = \dfrac{e^x \times x - e^x \times 1}{x^2}$

$h'(x) = \dfrac{(x - 1)e^x}{x^2}$

d)

$k'(x) = \dfrac{2x(x + 1) - x^2}{(x + 1)^2}$

$k'(x) = \dfrac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2} = \dfrac{x(x + 2)}{(x + 1)^2}$

a)

$(u^n)' = nu'u^{n-1}$ : $f'(x) = 3 \times 2 \times (2x + 5)^2$

$f'(x) = 6(2x + 5)^2$

b)

$g'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{3x + 1}}$

c)

$h'(x) = 4e^{4x - 1}$

d)

$k'(x) = -2xe^{-x^2}$

e)

$m'(x) = 5 \times 2x \times (x^2 + 1)^4 = 10x(x^2 + 1)^4$

1)

$f'(x) = 3x^2 - 4x$

2)

$f(2) = 8 - 8 + 3 = 3$ et $f'(2) = 12 - 8 = 4$ : $y = 4(x - 2) + 3$.

$T : y = 4x - 5$

3)

Tangente horizontale ⇔ $f'(x) = 0$ ⇔ $x(3x - 4) = 0$ ⇔ $x = 0$ ou $x = \dfrac{4}{3}$.

Oui, aux points d'abscisses $0$ et $\dfrac{4}{3}$

1)

$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x + 1)(x - 2)$ : positif à l'extérieur des racines $-1$ et $2$, négatif entre.

2)

$$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -1 & & 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & & \nearrow & 12 & \searrow & -15 & \nearrow & \\ \hline \end{array}$$

3)

Maximum local $f(-1) = 12$, minimum local $f(2) = -15$

1)

$f'(x) = -1 \times e^x + (2 - x)e^x = (1 - x)e^x$.

2)

$e^x > 0$ donc $f'(x)$ a le signe de $1 - x$ : positif pour $x < 1$, négatif pour $x > 1$.

$$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & 1 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & & \nearrow & e & \searrow & \\ \hline \end{array}$$

3)

Le maximum de $f$ est $f(1) = e \approx 2{,}72$

1)

$f'(x) = \dfrac{(x + 1) - (x + 3)}{(x + 1)^2}$

$f'(x) = \dfrac{-2}{(x + 1)^2}$

2)

$f'(x) < 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-1\,;\,+\infty[$

3)

$f(0) = 3$ et $f'(0) = -2$ : $y = -2(x - 0) + 3$.

$y = -2x + 3$

1)

$C_M'(x) = 1 - \dfrac{16}{x^2} = \dfrac{x^2 - 16}{x^2} = \dfrac{(x - 4)(x + 4)}{x^2}$.

2)

Sur $[1\,;\,10]$, $x + 4 > 0$ et $x^2 > 0$ : $C_M'(x)$ a le signe de $x - 4$.

$$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 1 & & 4 & & 10 \\ \hline C_M'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline C_M(x) & 19 & \searrow & 10 & \nearrow & 13{,}6 \\ \hline \end{array}$$

3)

Coût moyen minimal pour 400 objets : $C_M(4) = 10$, soit 10 000 €