Limites de suites

I - Notion intuitive de limite d'une suite

1 - Limite finie

Quand, à partir d'un certain rang, l'écart entre les termes d'une suite $(u_n)$ et un réel $\ell$ peut être rendu aussi petit que l'on veut, on dit que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ (ou a pour limite $\ell$). On note $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$.

Exemple d'une suite convergente

Soit $u_n = \dfrac{1}{n+1}$. Un tableau de valeurs donne :

$n$	0	10	20	30	40	50	60
$u_n$	1	0,0909	0,0476	0,0323	0,0244	0,0196	0,0164

On conjecture que la suite converge vers $0$ : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.

Exemple d'une suite qui n'a pas de limite

$u_n = (-1)^n$ vaut $1$ si $n$ est pair et $-1$ si $n$ est impair : la suite n'a pas de limite.

2 - Limite infinie

Exemple d'une suite qui a pour limite $+\infty$

Soit $u_n = n^2$ :

$n$	0	10	20	30	40	50	60
$u_n$	0	100	400	900	1 600	2 500	3 600

Les termes deviennent aussi grands que l'on veut : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

Propriété 1 : $$\forall k \in \mathbb{N}^*,\ \lim_{n \to +\infty} n^k = +\infty \quad ; \quad \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$$

II - Calculs de limites

1 - Limite d'une somme

Propriété 2 : Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites, $\ell$ et $\ell'$ deux réels.

$\lim u_n$	$\ell$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim v_n$	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\lim (u_n + v_n)$	$\ell + \ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	Forme indéterminée

2 - Limite d'un produit

Propriété 3 : $\infty$ désigne $+\infty$ ou $-\infty$ ; le signe s'obtient par la règle des signes.

$\lim u_n$	$\ell$	$\ell \neq 0$	$\infty$	$0$
$\lim v_n$	$\ell'$	$\infty$	$\infty$	$\infty$
$\lim (u_n \times v_n)$	$\ell \times \ell'$	$\infty$	$\infty$	Forme indéterminée

3 - Limite d'un quotient

Propriété 4 : Les termes $v_n$ sont non nuls et $\ell' \neq 0$.

$\lim u_n$	$\ell$	$\ell \neq 0$ ou $\infty$	$\ell$	$\infty$	$\infty$	$0$
$\lim v_n$	$\ell'$	$0$	$\infty$	$\ell'$	$\infty$	$0$
$\lim \dfrac{u_n}{v_n}$	$\dfrac{\ell}{\ell'}$	$\infty$ (*)	$0$	$\infty$	Forme indéterminée	Forme indéterminée

(*) à condition que $v_n$ garde un signe constant à partir d'un certain rang.

Propriété 5 : $$\forall k \in \mathbb{N}^*,\ \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^k} = 0 \quad ; \quad \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0$$

Méthode : limite d'un polynôme

$u_n = n^2 - n$ : on obtient la forme indéterminée « $+\infty - \infty$ ». On factorise par le terme de plus haut degré :

$$n^2 - n = n^2\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)$$

$\lim n^2 = +\infty$ et $\lim\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) = 1$ donc, par produit, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

Méthode : limite d'un quotient de polynômes

$u_n = \dfrac{n+2}{n^2+1}$ : forme indéterminée « $\dfrac{\infty}{\infty}$ ». On factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré :

$$\dfrac{n+2}{n^2+1} = \dfrac{n\left(1 + \frac{2}{n}\right)}{n^2\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)} = \dfrac{1 + \frac{2}{n}}{n\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)}$$

Le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur vers $+\infty$ donc, par quotient, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.

4 - Limites et comparaison

Propriété 6 :

Si, à partir d'un certain rang, $u_n \leqslant v_n$ et $\lim u_n = +\infty$, alors $\lim v_n = +\infty$.
Si, à partir d'un certain rang, $u_n \leqslant v_n$ et $\lim v_n = -\infty$, alors $\lim u_n = -\infty$.

Propriété 7 : Théorème des gendarmes. Si, à partir d'un certain rang, $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$ et si $\lim v_n = \lim w_n = \ell$, alors $\lim u_n = \ell$.

Exemple : théorème des gendarmes

Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$. Comme $-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1$, on a $-\dfrac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n}$. Or $\lim\left(-\dfrac{1}{n}\right) = \lim \dfrac{1}{n} = 0$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.

Propriété 8 : Si $0 < q < 1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0$ ; si $q > 1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.

Limits of sequences

I - Intuitive notion of the limit of a sequence

1 - Finite limit

When, from a certain rank onwards, the gap between the terms of a sequence $(u_n)$ and a real number $\ell$ can be made as small as we want, we say that the sequence $(u_n)$ converges to $\ell$ (or has limit $\ell$). We write $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$.

Example of a convergent sequence

Let $u_n = \dfrac{1}{n+1}$. A table of values gives:

$n$	0	10	20	30	40	50	60
$u_n$	1	0,0909	0,0476	0,0323	0,0244	0,0196	0,0164

We conjecture that the sequence converges to $0$: $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.

Example of a sequence with no limit

$u_n = (-1)^n$ equals $1$ if $n$ is even and $-1$ if $n$ is odd: the sequence has no limit.

2 - Infinite limit

Example of a sequence tending to $+\infty$

Let $u_n = n^2$:

$n$	0	10	20	30	40	50	60
$u_n$	0	100	400	900	1 600	2 500	3 600

The terms become as large as we want: $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

Property 1 : $$\forall k \in \mathbb{N}^*,\ \lim_{n \to +\infty} n^k = +\infty \quad ; \quad \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$$

II - Computing limits

1 - Limit of a sum

Property 2 : Let $(u_n)$ and $(v_n)$ be two sequences, $\ell$ and $\ell'$ two real numbers.

$\lim u_n$	$\ell$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim v_n$	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\lim (u_n + v_n)$	$\ell + \ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	Indeterminate form

2 - Limit of a product

Property 3 : $\infty$ means $+\infty$ or $-\infty$; the sign follows the rule of signs.

$\lim u_n$	$\ell$	$\ell \neq 0$	$\infty$	$0$
$\lim v_n$	$\ell'$	$\infty$	$\infty$	$\infty$
$\lim (u_n \times v_n)$	$\ell \times \ell'$	$\infty$	$\infty$	Indeterminate form

3 - Limit of a quotient

Property 4 : The terms $v_n$ are non-zero and $\ell' \neq 0$.

$\lim u_n$	$\ell$	$\ell \neq 0$ or $\infty$	$\ell$	$\infty$	$\infty$	$0$
$\lim v_n$	$\ell'$	$0$	$\infty$	$\ell'$	$\infty$	$0$
$\lim \dfrac{u_n}{v_n}$	$\dfrac{\ell}{\ell'}$	$\infty$ (*)	$0$	$\infty$	Indeterminate form	Indeterminate form

(*) provided that $v_n$ keeps a constant sign from a certain rank.

Property 5 : $$\forall k \in \mathbb{N}^*,\ \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^k} = 0 \quad ; \quad \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0$$

Method: limit of a polynomial

$u_n = n^2 - n$: we get the indeterminate form “$+\infty - \infty$”. We factor by the highest-degree term:

$$n^2 - n = n^2\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)$$

$\lim n^2 = +\infty$ and $\lim\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) = 1$ so, by product, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

Method: limit of a quotient of polynomials

$u_n = \dfrac{n+2}{n^2+1}$: indeterminate form “$\dfrac{\infty}{\infty}$”. We factor the numerator and the denominator by their highest-degree term:

$$\dfrac{n+2}{n^2+1} = \dfrac{n\left(1 + \frac{2}{n}\right)}{n^2\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)} = \dfrac{1 + \frac{2}{n}}{n\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)}$$

The numerator tends to $1$ and the denominator to $+\infty$ so, by quotient, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.

4 - Limits and comparison

Property 6 :

If, from a certain rank, $u_n \leqslant v_n$ and $\lim u_n = +\infty$, then $\lim v_n = +\infty$.
If, from a certain rank, $u_n \leqslant v_n$ and $\lim v_n = -\infty$, then $\lim u_n = -\infty$.

Property 7 : Squeeze theorem. If, from a certain rank, $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$ and $\lim v_n = \lim w_n = \ell$, then $\lim u_n = \ell$.

Example: squeeze theorem

For $n \in \mathbb{N}^*$, $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$. Since $-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1$, we get $-\dfrac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n}$. As $\lim\left(-\dfrac{1}{n}\right) = \lim \dfrac{1}{n} = 0$, we have $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.

Property 8 : If $0 < q < 1$ then $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0$; if $q > 1$ then $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.

Límites de sucesiones

I - Noción intuitiva de límite de una sucesión

1 - Límite finito

Cuando, a partir de cierto rango, la diferencia entre los términos de una sucesión $(u_n)$ y un número real $\ell$ puede hacerse tan pequeña como se quiera, se dice que la sucesión $(u_n)$ converge hacia $\ell$ (o tiene límite $\ell$). Se escribe $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$.

Ejemplo de una sucesión convergente

Sea $u_n = \dfrac{1}{n+1}$. Una tabla de valores da:

$n$	0	10	20	30	40	50	60
$u_n$	1	0,0909	0,0476	0,0323	0,0244	0,0196	0,0164

Se conjetura que la sucesión converge hacia $0$: $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.

Ejemplo de una sucesión sin límite

$u_n = (-1)^n$ vale $1$ si $n$ es par y $-1$ si $n$ es impar: la sucesión no tiene límite.

2 - Límite infinito

Ejemplo de una sucesión con límite $+\infty$

Sea $u_n = n^2$:

$n$	0	10	20	30	40	50	60
$u_n$	0	100	400	900	1 600	2 500	3 600

Los términos se vuelven tan grandes como se quiera: $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

Propiedad 1 : $$\forall k \in \mathbb{N}^*,\ \lim_{n \to +\infty} n^k = +\infty \quad ; \quad \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$$

II - Cálculo de límites

1 - Límite de una suma

Propiedad 2 : Sean $(u_n)$ y $(v_n)$ dos sucesiones, $\ell$ y $\ell'$ dos números reales.

$\lim u_n$	$\ell$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim v_n$	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\lim (u_n + v_n)$	$\ell + \ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	Forma indeterminada

2 - Límite de un producto

Propiedad 3 : $\infty$ designa $+\infty$ o $-\infty$; el signo se obtiene con la regla de los signos.

$\lim u_n$	$\ell$	$\ell \neq 0$	$\infty$	$0$
$\lim v_n$	$\ell'$	$\infty$	$\infty$	$\infty$
$\lim (u_n \times v_n)$	$\ell \times \ell'$	$\infty$	$\infty$	Forma indeterminada

3 - Límite de un cociente

Propiedad 4 : Los términos $v_n$ son no nulos y $\ell' \neq 0$.

$\lim u_n$	$\ell$	$\ell \neq 0$ o $\infty$	$\ell$	$\infty$	$\infty$	$0$
$\lim v_n$	$\ell'$	$0$	$\infty$	$\ell'$	$\infty$	$0$
$\lim \dfrac{u_n}{v_n}$	$\dfrac{\ell}{\ell'}$	$\infty$ (*)	$0$	$\infty$	Forma indeterminada	Forma indeterminada

(*) siempre que $v_n$ conserve un signo constante a partir de cierto rango.

Propiedad 5 : $$\forall k \in \mathbb{N}^*,\ \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^k} = 0 \quad ; \quad \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0$$

Método: límite de un polinomio

$u_n = n^2 - n$: se obtiene la forma indeterminada «$+\infty - \infty$». Se factoriza por el término de mayor grado:

$$n^2 - n = n^2\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)$$

$\lim n^2 = +\infty$ y $\lim\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) = 1$ así que, por producto, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

Método: límite de un cociente de polinomios

$u_n = \dfrac{n+2}{n^2+1}$: forma indeterminada «$\dfrac{\infty}{\infty}$». Se factorizan el numerador y el denominador por su término de mayor grado:

$$\dfrac{n+2}{n^2+1} = \dfrac{n\left(1 + \frac{2}{n}\right)}{n^2\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)} = \dfrac{1 + \frac{2}{n}}{n\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)}$$

El numerador tiende a $1$ y el denominador a $+\infty$ así que, por cociente, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.

4 - Límites y comparación

Propiedad 6 :

Si, a partir de cierto rango, $u_n \leqslant v_n$ y $\lim u_n = +\infty$, entonces $\lim v_n = +\infty$.
Si, a partir de cierto rango, $u_n \leqslant v_n$ y $\lim v_n = -\infty$, entonces $\lim u_n = -\infty$.

Propiedad 7 : Teorema del sándwich. Si, a partir de cierto rango, $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$ y $\lim v_n = \lim w_n = \ell$, entonces $\lim u_n = \ell$.

Ejemplo: teorema del sándwich

Para $n \in \mathbb{N}^*$, $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$. Como $-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1$, se tiene $-\dfrac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n}$. Como $\lim\left(-\dfrac{1}{n}\right) = \lim \dfrac{1}{n} = 0$, resulta $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.

Propiedad 8 : Si $0 < q < 1$ entonces $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0$; si $q > 1$ entonces $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.