Exercices corrigés : Dénombrement et empilements de cubes
Exercice 1 : Escalier de 4 étages
On construit un escalier contre deux murs, comme dans le cours, mais avec $4$ étages. Combien de cubes faut-il ?
Corrigé détaillé :
Étages : $4 \times 4 = 16$ ; $3 \times 3 = 9$ ; $2 \times 2 = 4$ ; $1$. Total : $16 + 9 + 4 + 1 = $ $30$ cubes.
Exercice 2 : Vue codée (1)
Voici la vue de dessus codée d'un empilement. a) Combien de cubes le composent ? b) Combien a-t-il d'étages ?
Corrigé détaillé :
a) $1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = $ $12$ cubes. b) La colonne la plus haute a $3$ cubes : $3$ étages.
Exercice 3 : Vue codée (2)
Même questions avec cette vue codée. Compter aussi les cubes de l'étage du bas.
Corrigé détaillé :
Total : $2 + 1 + 3 + 2 + 1 + 4 + 3 + 2 = $ $18$ cubes ; $4$ étages ; étage du bas : une case par colonne, soit $8$ cubes.
Exercice 4 : De l'empilement à la vue codée
Dessiner la vue de dessus codée de cet empilement (chaque cube repose sur la table ou sur un autre cube), puis compter ses cubes.
Corrigé détaillé :
Vue codée ci-dessous : $3 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 = $ $12$ cubes.
Exercice 5 : Compléter en pavé
On veut compléter l'empilement de l'exercice 2 pour obtenir un pavé de $3 \times 3$ cubes au sol et $3$ étages. Combien de cubes faut-il ajouter ?
Corrigé détaillé :
Le pavé contient $3 \times 3 \times 3 = 27$ cubes ; l'empilement en a $12$ : il faut en ajouter $27 - 12 = $ $15$.
Exercice 6 : La pyramide
Une pyramide de cubes a un étage du bas de $5 \times 5$ cubes, puis $4 \times 4$, $3 \times 3$, $2 \times 2$ et $1$ cube au sommet. Combien de cubes la composent ?
Corrigé détaillé :
$25 + 16 + 9 + 4 + 1 = $ $55$ cubes.
Exercice 7 : Le mur
Un mur est formé de cubes : $8$ cubes en longueur, $2$ en épaisseur et $5$ en hauteur. Compter ses cubes de deux façons différentes.
Corrigé détaillé :
Par étages : $8 \times 2 = 16$ cubes par étage, $5$ étages : $16 \times 5 = $ $80$.
Par colonnes : $8 \times 2 = 16$ colonnes de $5$ cubes : $80$. Les deux méthodes donnent $80$ cubes.
Exercice 8 : Cubes cachés
Dans l'escalier de $3$ étages du cours ($14$ cubes), on ne voit que $12$ cubes. Expliquer pourquoi il y a des cubes cachés et où ils se trouvent.
Corrigé détaillé :
Les cubes du haut doivent reposer sur d'autres cubes. $2$ cubes sont cachés sous les étages supérieurs, contre les murs : un dans l'étage du bas et un dans l'étage du milieu, sous le cube du sommet.
Exercice 9 : Vérifier avec une autre méthode
Pour la vue codée de l'exercice 2, compter les cubes étage par étage et vérifier le résultat.
Corrigé détaillé :
Étage 1 : toutes les colonnes ($7$). Étage 2 : colonnes de hauteur $\geqslant 2$ ($4$). Étage 3 : colonnes de hauteur $3$ ($1$). Total : $7 + 4 + 1 = $ $12$ : on retrouve le même résultat.
Exercice 10 : Problème : les gradins
Des gradins sont construits avec des cubes : la première marche a $10$ cubes de long sur $1$ de haut, la deuxième $10$ sur $2$, la troisième $10$ sur $3$ (profondeur : $1$ cube par marche). Combien de cubes faut-il pour $3$ marches ? pour $5$ marches ?
Corrigé détaillé :
$3$ marches : $10 \times (1 + 2 + 3) = $ $60$ cubes. $5$ marches : $10 \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = $ $150$ cubes.