Exercices corrigés : La médiatrice d'un segment
Exercice 1 : Reconnaître la médiatrice
Sur quelle figure la droite rouge est-elle la médiatrice de [AB] ? Justifier pour chaque figure.
Corrigé détaillé :
Figure 1 : perpendiculaire mais pas par le milieu : non. Figure 2 : oui (perpendiculaire et par le milieu). Figure 3 : par le milieu mais pas perpendiculaire : non.
Exercice 2 : Tracer à l'équerre
Tracer un segment [AB] de $7$ cm, puis sa médiatrice à la règle graduée et à l'équerre. Décrire les étapes.
Corrigé détaillé :
On place le milieu I de [AB] à $7 \div 2 = $ $3{,}5$ cm de A. Avec l'équerre, on trace la droite perpendiculaire à (AB) passant par I : c'est la médiatrice. On code le milieu et l'angle droit.
Exercice 3 : Utiliser la propriété 1
Le point M est sur la médiatrice du segment [AB] et MA $= 4{,}5$ cm. Que vaut MB ? Justifier.
Corrigé détaillé :
M appartient à la médiatrice de [AB], donc il est à égale distance de A et de B : MB $=$ MA $= $ $4{,}5$ cm.
Exercice 4 : Périmètre d'un triangle
M est sur la médiatrice de [AB], avec AB $= 6$ cm et MA $= 5$ cm. Calculer le périmètre du triangle MAB.
Corrigé détaillé :
MB $=$ MA $= 5$ cm (propriété 1). Périmètre : $6 + 5 + 5 = $ $16$ cm.
Exercice 5 : Utiliser la propriété 2
a) NA $=$ NB $= 5$ cm. Le point N est-il sur la médiatrice de [AB] ?
b) PA $= 4$ cm et PB $= 4{,}2$ cm. Le point P est-il sur la médiatrice de [AB] ?
Corrigé détaillé :
a) N est équidistant de A et de B : oui (propriété 2).
b) PA $\neq$ PB : non.
Exercice 6 : Construction au compas
AB $= 8$ cm. Pour construire la médiatrice de [AB] au compas, Hugo prend un écartement de $3$ cm. Que se passe-t-il ? Quel écartement peut-il choisir ?
Corrigé détaillé :
$3$ cm est plus petit que la moitié de AB ($4$ cm) : les arcs ne se coupent pas.
Il doit choisir un écartement plus grand que $4$ cm (par exemple $5$ cm).
Exercice 7 : Milieu sans règle graduée
Expliquer comment placer le milieu d'un segment [AB] avec seulement un compas et une règle non graduée.
Corrigé détaillé :
On construit la médiatrice (EF) de [AB] au compas. Le milieu de [AB] est le point d'intersection de (EF) et de [AB].
Exercice 8 : Retrouver le centre d'un cercle
On a tracé un cercle avec une assiette, mais on a perdu son centre. Comment le retrouver ?
Corrigé détaillé :
On trace deux cordes [AB] et [CD] non parallèles, puis leurs médiatrices. Le centre est sur chacune d'elles : c'est leur point d'intersection.
Exercice 9 : Problème : l'école
Deux villages A et B veulent construire une école sur une route droite $(d)$, à la même distance des deux villages. Comment trouver l'emplacement de l'école ?
Corrigé détaillé :
Les points équidistants de A et de B sont sur la médiatrice de [AB]. L'école est donc au point d'intersection de la médiatrice de [AB] et de la route $(d)$.
Exercice 10 : Tableau de distances
On donne les distances de plusieurs points à A et à B : C ($3$ cm ; $3$ cm), D ($2{,}5$ cm ; $4$ cm), E ($6{,}1$ cm ; $6{,}1$ cm), F ($5$ cm ; $5{,}5$ cm). Quels points sont sur la médiatrice de [AB] ?
Corrigé détaillé :
Les points équidistants de A et de B : C et E. D et F ne sont pas sur la médiatrice.