Régularités et motifs évolutifs
1 - Comprendre la structure d'un motif
Définition 1 : Un motif évolutif est une suite de figures (les étapes) construites selon une règle : on passe d'une étape à la suivante toujours de la même façon.
On construit des carrés accolés avec des allumettes :
On observe la structure : il y a toujours $1$ allumette verticale au début, puis $3$ allumettes par carré ($2$ horizontales et $1$ verticale).
Étape 1 : $1 + 3 = 4$ ; étape 2 : $1 + 3 \times 2 = 7$ ; étape 3 : $1 + 3 \times 3 = 10$.
Remarque : Il y a souvent plusieurs façons de « voir » la structure d'un motif. Elles conduisent toutes au même nombre d'allumettes.
2 - Organiser les calculs pour prévoir une étape lointaine
Propriété 1 : Pour prévoir une étape lointaine sans dessiner toutes les figures, on range les résultats dans un tableau, on observe comment on passe d'une colonne à l'autre, puis on écrit un programme de calcul qui donne le résultat à partir du numéro de l'étape.
| Numéro de l'étape | 1 | 2 | 3 | 4 | 10 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre d'allumettes | 4 | 7 | 10 | 13 | $1 + 3 \times 10 = $$31$ | $1 + 3 \times 100 = $$301$ |
- D'une étape à la suivante, on ajoute $3$ allumettes.
- Programme de calcul : « on multiplie le numéro de l'étape par $3$, puis on ajoute $1$ ».
- À l'étape $50$, il faut $1 + 3 \times 50 = 151$ allumettes.
- Avec $61$ allumettes, on construit l'étape : $61 - 1 = 60$ et $60 \div 3 = 20$.
Un autre motif
Ici, l'étape $n$ est un carré de $n$ carreaux de côté. Étape 1 : $1$ ; étape 2 : $4$ ; étape 3 : $9$ ; …
À l'étape $10$ : $10 \times 10 = 100$ carreaux.
On n'ajoute pas toujours le même nombre : $+3$, $+5$, $+7$, …